Номер 1548, страница 425 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1548, страница 425.

Условие.

1548 Колесо вращается так, что угол поворота прямо пропорционален кубу времени. Первый оборот был сделан колесом за 2 с. Определить угловую скорость колеса через 4 с после начала вращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

По условию задачи, угол поворота колеса $\phi$ прямо пропорционален кубу времени $t$. Это можно записать в виде формулы:
$\phi(t) = k \cdot t^3$
где $k$ — это коэффициент пропорциональности.

Известно, что первый полный оборот, который соответствует углу $2\pi$ радиан, колесо совершило за $t_1 = 2$ с. Используем эти данные для нахождения коэффициента $k$:
$\phi(t_1) = 2\pi$
$k \cdot (2)^3 = 2\pi$
$k \cdot 8 = 2\pi$
$k = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ рад/с³

Таким образом, закон вращения колеса (зависимость угла поворота от времени) имеет вид:
$\phi(t) = \frac{\pi}{4} t^3$

Угловая скорость $\omega$ является первой производной от угла поворота по времени: $\omega(t) = \frac{d\phi(t)}{dt}$. Найдем эту производную:
$\omega(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi}{4} t^3 \right) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{d}{dt}(t^3) = \frac{\pi}{4} \cdot 3t^2 = \frac{3\pi}{4} t^2$

Теперь мы можем найти угловую скорость в интересующий нас момент времени, $t_2 = 4$ с, подставив это значение в полученное выражение для $\omega(t)$:
$\omega(4) = \frac{3\pi}{4} \cdot (4)^2 = \frac{3\pi}{4} \cdot 16 = 3\pi \cdot 4 = 12\pi$ рад/с

Ответ: $12\pi$ рад/с.