Номер 1546, страница 425 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1546, страница 425.

Условие.

1546 Найти значения $x$, при которых значения производной функции $f(x) = x^3 - 1,5x^2 - 18x + \sqrt{3}$ отрицательны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти значения $x$, при которых значения производной функции $f(x) = x^3 - 1,5x^2 - 18x + \sqrt{3}$ отрицательны, необходимо сначала найти производную этой функции, а затем решить неравенство $f'(x) < 0$.

1. Находим производную функции.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и тот факт, что производная константы равна нулю.

$f'(x) = (x^3 - 1,5x^2 - 18x + \sqrt{3})'$

$f'(x) = (x^3)' - (1,5x^2)' - (18x)' + (\sqrt{3})'$

$f'(x) = 3x^2 - 1,5 \cdot 2x - 18 \cdot 1 + 0$

$f'(x) = 3x^2 - 3x - 18$

2. Решаем неравенство $f'(x) < 0$.

Подставляем найденную производную в неравенство:

$3x^2 - 3x - 18 < 0$

Для упрощения разделим все члены неравенства на 3:

$x^2 - x - 6 < 0$

3. Находим корни соответствующего квадратного уравнения.

Чтобы решить квадратное неравенство, найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

4. Определяем интервал, на котором неравенство выполняется.

Мы имеем неравенство $x^2 - x - 6 < 0$. График функции $y = x^2 - x - 6$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Парабола пересекает ось $x$ в точках -2 и 3. Значения функции будут отрицательными на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-2; 3)$.

Ответ: значения производной функции отрицательны при $x \in (-2; 3)$.