Номер 1540, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1540, страница 424.

Условие.

1540 1) $y=\sqrt{x}$, $y=2$, $x=9$;

2) $y=x^2+3$, $y=x+5$.

Решение 1.

Решение 7.

Решение 8.

1) Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\sqrt{x}$, $y=2$ и $x=9$.

Для начала определим границы области интегрирования. Фигура ограничена снизу горизонтальной прямой $y=2$ и справа вертикальной прямой $x=9$. Чтобы найти левую границу, найдем точку пересечения кривой $y=\sqrt{x}$ и прямой $y=2$:

$\sqrt{x} = 2$

Возведя обе части в квадрат, получим:

$x = 4$

Таким образом, область интегрирования по оси $x$ находится в пределах от $x=4$ до $x=9$.

В указанном интервале $[4, 9]$ график функции $y=\sqrt{x}$ находится выше прямой $y=2$. Например, при $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$, что больше 2.

Площадь $S$ фигуры можно вычислить как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) dx$

Теперь вычислим этот интеграл. Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = \sqrt{x} - 2 = x^{1/2} - 2$ равна:

$F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 2x = \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2x = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(9) - F(4) = \left(\frac{2}{3} \cdot 9\sqrt{9} - 2 \cdot 9\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} - 2 \cdot 4\right)$

$S = \left(\frac{2}{3} \cdot 9 \cdot 3 - 18\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 - 8\right)$

$S = \left(\frac{2}{3} \cdot 27 - 18\right) - \left(\frac{16}{3} - 8\right)$

$S = (18 - 18) - \left(\frac{16}{3} - \frac{24}{3}\right)$

$S = 0 - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}$

Ответ: $S = \frac{8}{3}$

2) Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2+3$ и прямой $y=x+5$.

Сначала найдем точки пересечения этих двух линий, чтобы определить пределы интегрирования. Для этого приравняем выражения для $y$:

$x^2 + 3 = x + 5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или разложить на множители:

$(x-2)(x+1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это и будут наши пределы интегрирования.

Теперь нужно определить, какая из функций является верхней, а какая — нижней на интервале $[-1, 2]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=0$:

Для параболы: $y = 0^2 + 3 = 3$

Для прямой: $y = 0 + 5 = 5$

Поскольку $5 > 3$, на интервале $[-1, 2]$ прямая $y=x+5$ находится выше параболы $y=x^2+3$.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах:

$S = \int_{-1}^{2} ((x+5) - (x^2+3)) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{-1}^{2} (x+5 - x^2 - 3) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = -x^2 + x + 2$:

$F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(2) - F(-1) = \left(-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1)\right)$

$S = \left(-\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right)$

$S = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{2+3-12}{6}\right)$

$S = \left(6 - \frac{8}{3}\right) - \left(-\frac{7}{6}\right)$

$S = \left(\frac{18-8}{3}\right) + \frac{7}{6} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$

$S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Ответ: $S = \frac{9}{2}$