Номер 1545, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1545, страница 424.

Условие.

1545 1) $f(x)=(2x-1)^3$

2) $f(x)=(1-3x)^5$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения производной функции $f(x)=(2x-1)^3$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (также известное как цепное правило). Общая формула для производной степенной функции вида $(u(x))^n$ выглядит так: $((u(x))^n)' = n \cdot (u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$.

В данном случае, основание степени $u(x) = 2x-1$, а показатель степени $n = 3$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (2x-1)' = 2$.

Теперь подставим все в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = 3 \cdot (2x-1)^{3-1} \cdot (2x-1)'$

$f'(x) = 3 \cdot (2x-1)^2 \cdot 2$

Выполним умножение:

$f'(x) = 6(2x-1)^2$

Ответ: $6(2x-1)^2$.

2) Аналогично, для функции $f(x)=(1-3x)^5$ применяем правило дифференцирования сложной функции.

Здесь основание степени $u(x) = 1-3x$, а показатель степени $n=5$.

Найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (1-3x)' = -3$.

Подставляем значения в формулу $((u(x))^n)' = n \cdot (u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$:

$f'(x) = 5 \cdot (1-3x)^{5-1} \cdot (1-3x)'$

$f'(x) = 5 \cdot (1-3x)^4 \cdot (-3)$

Упрощаем выражение:

$f'(x) = -15(1-3x)^4$

Ответ: $-15(1-3x)^4$.