Номер 1542, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1542, страница 424.

Условие.

1542 1) $y = \cos x$, $x = \frac{\pi}{4}$, $y = 0$;

2) $y = 3^x$, $x = -1$, $x = 1$, $y = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $x=\frac{\pi}{4}$ и $y = 0$. Данные линии определяют криволинейную трапецию. Поскольку указана только одна вертикальная граница $x = \frac{\pi}{4}$, в качестве второй границы обычно принимается ось ординат $x=0$, так как это образует замкнутую область в первой координатной четверти, где косинус пересекает ось $y$. Таким образом, фигура ограничена графиком функции $y=\cos x$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=0$ и $x=\frac{\pi}{4}$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$ функция $y=\cos x$ является неотрицательной, поэтому площадь этой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x)dx$.

В данном случае $f(x) = \cos x$, $a=0$ и $b=\frac{\pi}{4}$.

Вычислим интеграл:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$

Первообразная для функции $\cos x$ есть $\sin x$. По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(0) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь фигуры равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=3^x$, $x=-1$, $x=1$ и $y=0$. Эти линии определяют криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y=3^x$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=-1$ и $x=1$.

Показательная функция $y=3^x$ всегда положительна, в том числе и на отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, площадь фигуры можно вычислить как определенный интеграл:

$S = \int_{-1}^{1} 3^x \,dx$

Первообразная для функции $f(x)=a^x$ находится по формуле $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$. В нашем случае первообразная для $3^x$ есть $\frac{3^x}{\ln 3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[\frac{3^x}{\ln 3}\right]_{-1}^{1} = \frac{3^1}{\ln 3} - \frac{3^{-1}}{\ln 3} = \frac{3}{\ln 3} - \frac{1/3}{\ln 3} = \frac{1}{\ln 3} \left(3 - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{\ln 3} \left(\frac{9-1}{3}\right) = \frac{8}{3 \ln 3}$.

Площадь фигуры равна $\frac{8}{3 \ln 3}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{8}{3 \ln 3}$