Номер 1555, страница 425 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1555, страница 425.

Условие.

1555 Определить знак числа f'(2), если:

1) $f(x) = e^{3-2x} \cdot x^2$;

2) $f(x) = \frac{x^2}{e^{1-x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы определить знак числа $f'(2)$, необходимо найти производную функции $f(x) = e^{3-2x} \cdot x^2$ и вычислить её значение при $x=2$.
Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = e^{3-2x}$ и $v(x) = x^2$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Сначала найдем производные для каждой из функций:
Производная $u(x)$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:
$u'(x) = (e^{3-2x})' = e^{3-2x} \cdot (3-2x)' = e^{3-2x} \cdot (-2) = -2e^{3-2x}$.
Производная $v(x)$:
$v'(x) = (x^2)' = 2x$.
Теперь подставим полученные производные в формулу для производной произведения:
$f'(x) = (-2e^{3-2x}) \cdot x^2 + e^{3-2x} \cdot (2x)$.
Упростим выражение, вынеся общий множитель $2xe^{3-2x}$ за скобки:
$f'(x) = 2xe^{3-2x}(-x + 1) = 2x(1-x)e^{3-2x}$.
Вычислим значение производной в точке $x=2$:
$f'(2) = 2 \cdot 2 \cdot (1-2) \cdot e^{3-2 \cdot 2} = 4 \cdot (-1) \cdot e^{3-4} = -4e^{-1} = -\frac{4}{e}$.
Так как число $e$ (основание натурального логарифма, $e \approx 2.718$) является положительной константой, то $4/e$ — положительное число. Соответственно, $-\frac{4}{e}$ — отрицательное число.
Таким образом, знак числа $f'(2)$ — минус.
Ответ: знак минус (–).

2) Чтобы определить знак числа $f'(2)$, найдем производную функции $f(x) = \frac{x^2}{e^{1-x}}$ и вычислим её значение при $x=2$.
Для упрощения дифференцирования можно преобразовать функцию, избавившись от дроби, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$f(x) = x^2 \cdot e^{-(1-x)} = x^2 \cdot e^{x-1}$.
Теперь функция представляет собой произведение $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{x-1}$. Применим правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$.
$v'(x) = (e^{x-1})' = e^{x-1} \cdot (x-1)' = e^{x-1} \cdot 1 = e^{x-1}$.
Подставим в формулу производной произведения:
$f'(x) = (2x) \cdot e^{x-1} + x^2 \cdot e^{x-1}$.
Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $xe^{x-1}$:
$f'(x) = xe^{x-1}(2 + x)$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x=2$:
$f'(2) = 2 \cdot e^{2-1} \cdot (2+2) = 2 \cdot e^1 \cdot 4 = 8e$.
Поскольку число $e$ — положительная константа, то произведение $8e$ также является положительным числом.
Таким образом, знак числа $f'(2)$ — плюс.
Ответ: знак плюс (+).