Номер 1560, страница 426 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1560, страница 426.

Условие.

Решить уравнение (1560—1566).

1560 1) $\sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 6;$

2) $\sqrt[3]{(8 - x)^2} - \sqrt[3]{(8 - x)(27 + x)} + \sqrt[3]{(27 + x)^2} = 7;$

3) $\sqrt[4]{8 - x} + \sqrt[4]{89 + x} = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 6$

Первым шагом упростим выражения под знаками квадратного корня. Заметим, что оба выражения являются полными квадратами:

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

$\sqrt{(x+2)^2} - \sqrt{(x-3)^2} = 6$

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, мы получаем уравнение с модулями:

$|x+2| - |x-3| = 6$

Для решения этого уравнения рассмотрим три случая, раскрывая модули на разных промежутках. Критические точки, в которых выражения под модулем меняют знак, это $x = -2$ и $x = 3$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.

Случай 1: $x < -2$.
На этом интервале $x+2 < 0$ и $x-3 < 0$. Следовательно, $|x+2| = -(x+2)$ и $|x-3| = -(x-3)$. Уравнение принимает вид:

$-(x+2) - (-(x-3)) = 6$

$-x-2 + x-3 = 6$

$-5 = 6$

Получено неверное равенство, значит, в этом промежутке решений нет.

Случай 2: $-2 \le x < 3$.
На этом интервале $x+2 \ge 0$ и $x-3 < 0$. Следовательно, $|x+2| = x+2$ и $|x-3| = -(x-3)$. Уравнение принимает вид:

$(x+2) - (-(x-3)) = 6$

$x+2 + x-3 = 6$

$2x-1 = 6$

$2x = 7$

$x = 3.5$

Полученное значение $x=3.5$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $[-2; 3)$, поэтому оно не является решением.

Случай 3: $x \ge 3$.
На этом интервале $x+2 > 0$ и $x-3 \ge 0$. Следовательно, $|x+2| = x+2$ и $|x-3| = x-3$. Уравнение принимает вид:

$(x+2) - (x-3) = 6$

$x+2 - x+3 = 6$

$5 = 6$

Получено неверное равенство, значит, и в этом промежутке решений нет.

Так как ни на одном из промежутков нет решений, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

---

2) $\sqrt[3]{(8-x)^2} - \sqrt[3]{(8-x)(27+x)} + \sqrt[3]{(27+x)^2} = 7$

Заметим, что левая часть уравнения напоминает неполный квадрат суммы. Сделаем замену:

$a = \sqrt[3]{8-x}$, $b = \sqrt[3]{27+x}$

Тогда уравнение принимает вид:

$a^2 - ab + b^2 = 7$

Это выражение является частью формулы суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Умножим обе части нашего уравнения на $(a+b)$. Предварительно проверим, может ли $(a+b)$ быть равным нулю. Если $a+b=0$, то $\sqrt[3]{8-x} + \sqrt[3]{27+x} = 0$, откуда $8-x = -(27+x)$, что приводит к неверному равенству $8=-27$. Значит, $a+b \neq 0$.

Умножаем:

$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = 7(a+b)$

$a^3 + b^3 = 7(a+b)$

Теперь найдем $a^3$ и $b^3$:

$a^3 = (\sqrt[3]{8-x})^3 = 8-x$

$b^3 = (\sqrt[3]{27+x})^3 = 27+x$

$a^3 + b^3 = (8-x) + (27+x) = 35$

Подставляем это значение в преобразованное уравнение:

$35 = 7(a+b)$

$a+b = 5$

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt[3]{8-x} + \sqrt[3]{27+x} = 5$

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(u+v)^3 = u^3+v^3+3uv(u+v)$:

$(\sqrt[3]{8-x} + \sqrt[3]{27+x})^3 = 5^3$

$(8-x) + (27+x) + 3\sqrt[3]{(8-x)(27+x)}(\sqrt[3]{8-x} + \sqrt[3]{27+x}) = 125$

Мы знаем, что $\sqrt[3]{8-x} + \sqrt[3]{27+x} = 5$, поэтому подставляем это в уравнение:

$35 + 3\sqrt[3]{(8-x)(27+x)} \cdot 5 = 125$

$15\sqrt[3]{(8-x)(27+x)} = 90$

$\sqrt[3]{(8-x)(27+x)} = 6$

Возведем обе части в куб:

$(8-x)(27+x) = 6^3 = 216$

$216 + 8x - 27x - x^2 = 216$

$-x^2 - 19x = 0$

$-x(x+19) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -19$.

Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение.

При $x=0$: $\sqrt[3]{8^2} - \sqrt[3]{8 \cdot 27} + \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{64} - \sqrt[3]{216} + \sqrt[3]{729} = 4 - 6 + 9 = 7$. Равенство $7=7$ верное.

При $x=-19$: $\sqrt[3]{(8-(-19))^2} - \sqrt[3]{(8-(-19))(27-19)} + \sqrt[3]{(27-19)^2} = \sqrt[3]{27^2} - \sqrt[3]{27 \cdot 8} + \sqrt[3]{8^2} = 9 - 6 + 4 = 7$. Равенство $7=7$ верное.

Оба корня подходят.

Ответ: 0; -19.

---

3) $\sqrt[4]{8-x} + \sqrt[4]{89+x} = 5$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем четвертой степени должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 8-x \ge 0 \\ 89+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 8 \\ x \ge -89 \end{cases} \implies -89 \le x \le 8$

Введем замены:

$u = \sqrt[4]{8-x}$, $v = \sqrt[4]{89+x}$

По определению корня, $u \ge 0$ и $v \ge 0$. Уравнение примет вид:

$u+v = 5$

Возведем наши замены в четвертую степень:

$u^4 = 8-x$

$v^4 = 89+x$

Сложим эти два равенства:

$u^4 + v^4 = (8-x) + (89+x) = 97$

Теперь у нас есть система уравнений:

$\begin{cases} u+v = 5 \\ u^4+v^4 = 97 \end{cases}$

Выразим $u^4+v^4$ через $u+v$ и $uv$:

$u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv = 5^2 - 2uv = 25 - 2uv$

$u^4+v^4 = (u^2+v^2)^2 - 2u^2v^2 = (25-2uv)^2 - 2(uv)^2$

Подставим значение $u^4+v^4=97$:

$97 = (25-2uv)^2 - 2(uv)^2$

$97 = 625 - 100uv + 4(uv)^2 - 2(uv)^2$

$2(uv)^2 - 100uv + 528 = 0$

$(uv)^2 - 50uv + 264 = 0$

Пусть $z = uv$. Решим квадратное уравнение $z^2-50z+264=0$.

Дискриминант $D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 264 = 2500 - 1056 = 1444 = 38^2$.

$z_{1,2} = \frac{50 \pm 38}{2}$

$z_1 = \frac{88}{2} = 44$, $z_2 = \frac{12}{2} = 6$.

Рассмотрим два случая для $uv$:

1. $uv = 44$. Система $\begin{cases} u+v = 5 \\ uv = 44 \end{cases}$ сводится к квадратному уравнению $t^2 - 5t + 44 = 0$. Его дискриминант $D = 25 - 4 \cdot 44 < 0$, поэтому действительных решений нет.

2. $uv = 6$. Система $\begin{cases} u+v = 5 \\ uv = 6 \end{cases}$ сводится к квадратному уравнению $t^2 - 5t + 6 = 0$, корни которого $t_1=2, t_2=3$. Значит, $\{u,v\} = \{2,3\}$.

Вернемся к переменной $x$:

а) Если $u=2$, то $\sqrt[4]{8-x} = 2$. Возводим в 4-ю степень: $8-x = 16 \implies x = -8$. Это значение входит в ОДЗ.

б) Если $u=3$, то $\sqrt[4]{8-x} = 3$. Возводим в 4-ю степень: $8-x = 81 \implies x = -73$. Это значение также входит в ОДЗ.

Ответ: -73; -8.