Номер 1565, страница 426 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1565, страница 426.

Условие.

1565 $\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\sin 3x} = 2 \cos 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Исходное уравнение: $$ \frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\sin 3x} = 2 \cos 2x $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю: $ \sin x \neq 0 $ и $ \sin 3x \neq 0 $. Из первого условия получаем $ x \neq k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Из второго условия получаем $ 3x \neq n\pi $, то есть $ x \neq \frac{n\pi}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Второе условие является более строгим и включает в себя первое (когда $n$ кратно 3). Таким образом, ОДЗ: $ x \neq \frac{n\pi}{3} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю: $$ \frac{\sin^2 3x - \sin^2 x}{\sin x \sin 3x} = 2 \cos 2x $$

Преобразуем числитель, используя формулу разности квадратов синусов $ \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) $: $$ \sin^2 3x - \sin^2 x = \sin(3x - x)\sin(3x + x) = \sin 2x \sin 4x $$

Подставим это выражение обратно в уравнение: $$ \frac{\sin 2x \sin 4x}{\sin x \sin 3x} = 2 \cos 2x $$

С учетом ОДЗ, мы можем умножить обе части уравнения на знаменатель $ \sin x \sin 3x $: $$ \sin 2x \sin 4x = 2 \cos 2x \sin x \sin 3x $$

Воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму для $ 2 \sin x \sin 3x $. Формула: $ 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) $. $$ 2 \sin x \sin 3x = \cos(3x - x) - \cos(3x + x) = \cos 2x - \cos 4x $$

Подставим это в правую часть уравнения: $$ \sin 2x \sin 4x = \cos 2x (\cos 2x - \cos 4x) $$ $$ \sin 2x \sin 4x = \cos^2 2x - \cos 2x \cos 4x $$

Перенесем все члены в левую часть: $$ \sin 2x \sin 4x + \cos 2x \cos 4x - \cos^2 2x = 0 $$

Выражение $ \cos 4x \cos 2x + \sin 4x \sin 2x $ является формулой косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. $$ \cos(4x - 2x) - \cos^2 2x = 0 $$ $$ \cos 2x - \cos^2 2x = 0 $$

Вынесем $ \cos 2x $ за скобки: $$ \cos 2x (1 - \cos 2x) = 0 $$

Это уравнение распадается на два: 1) $ \cos 2x = 0 $ 2) $ 1 - \cos 2x = 0 $, что равносильно $ \cos 2x = 1 $

Рассмотрим каждый случай отдельно и проверим соответствие ОДЗ ($ x \neq \frac{n\pi}{3} $).

Случай 1: $ \cos 2x = 0 $ $$ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Проверим, не нарушают ли эти корни ОДЗ. Предположим, что для некоторых целых $ k $ и $ n $ выполняется равенство: $$ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} = \frac{n\pi}{3} $$ $$ \frac{1}{4} + \frac{k}{2} = \frac{n}{3} $$ Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дробей: $$ 3 + 6k = 4n $$ $$ 3 = 4n - 6k $$ $$ 3 = 2(2n - 3k) $$ В левой части стоит нечетное число (3), а в правой — четное, так как оно является произведением 2 и целого числа $ (2n - 3k) $. Равенство невозможно. Следовательно, все корни вида $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $ входят в ОДЗ и являются решениями уравнения.

Случай 2: $ \cos 2x = 1 $ $$ 2x = 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} $$ $$ x = m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. Условие ОДЗ $ x \neq \frac{n\pi}{3} $. Если мы возьмем $ x = m\pi $, то при $ n = 3m $ мы получим $ x = \frac{(3m)\pi}{3} = m\pi $, что нарушает ОДЗ. Кроме того, при $ x = m\pi $ исходный знаменатель $ \sin x = \sin(m\pi) = 0 $, что недопустимо. Следовательно, корни из этого случая не являются решениями исходного уравнения.

Таким образом, единственными решениями являются корни из первого случая.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.