Номер 1564, страница 426 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1564, страница 426.

Условие.

1564 1) $\frac{\sin 3x}{\cos 2x} + \frac{\cos 3x}{\sin 2x} = \frac{2}{\sin 3x}$

2) $\text{tg } 2x + \text{ctg } x = 8 \cos^2 x$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \frac{\sin 3x}{\cos 2x} + \frac{\cos 3x}{\sin 2x} = \frac{2}{\sin 3x} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
$ \cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $
$ \sin 2x \neq 0 \implies 2x \neq \pi k \implies x \neq \frac{\pi k}{2} $
$ \sin 3x \neq 0 \implies 3x \neq \pi k \implies x \neq \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $ \cos 2x \sin 2x $:
$ \frac{\sin 3x \sin 2x + \cos 3x \cos 2x}{\cos 2x \sin 2x} = \frac{2}{\sin 3x} $

В числителе левой части применим формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $:
$ \sin 3x \sin 2x + \cos 3x \cos 2x = \cos(3x - 2x) = \cos x $.
В знаменателе левой части применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ \cos 2x \sin 2x = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2} \sin 4x $.

Уравнение принимает вид:
$ \frac{\cos x}{\frac{1}{2} \sin 4x} = \frac{2}{\sin 3x} $
$ \frac{2 \cos x}{\sin 4x} = \frac{2}{\sin 3x} $
$ \frac{\cos x}{\sin 4x} = \frac{1}{\sin 3x} $

По свойству пропорции (учитывая ОДЗ), получаем:
$ \cos x \sin 3x = \sin 4x $
Перенесем все члены в одну сторону:
$ \sin 4x - \cos x \sin 3x = 0 $
Воспользуемся формулой произведения синуса на косинус $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $:
$ \sin 4x - \frac{1}{2}(\sin(3x+x) + \sin(3x-x)) = 0 $
$ \sin 4x - \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x) = 0 $
Умножим на 2:
$ 2\sin 4x - \sin 4x - \sin 2x = 0 $
$ \sin 4x - \sin 2x = 0 $
$ \sin 4x = \sin 2x $

Решения уравнения $ \sin \alpha = \sin \beta $ имеют вид $ \alpha = \beta + 2\pi n $ или $ \alpha = \pi - \beta + 2\pi n $.
1) $ 4x = 2x + 2\pi n \implies 2x = 2\pi n \implies x = \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
2) $ 4x = \pi - 2x + 2\pi n \implies 6x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Проверим найденные серии решений на соответствие ОДЗ.
Для серии $ x = \pi n $: $ \sin(2x) = \sin(2\pi n) = 0 $. Это противоречит условию ОДЗ $ \sin 2x \neq 0 $. Значит, эта серия не является решением.
Для серии $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} $:
- Проверка $ \sin 3x \neq 0 $: $ \sin(3(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3})) = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \pm 1 \neq 0 $. Условие выполнено.
- Проверка $ \cos 2x \neq 0 $: $ \cos(2(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3})) = \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}) $. Это выражение не равно нулю ни при каких целых $ n $. Условие выполнено.
- Проверка $ \sin 2x \neq 0 $: $ \sin(2(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3})) = \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}) $. Это выражение равно нулю, если $ \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} = \pi m \iff 1+2n = 3m $. Это равенство верно, когда $ n \equiv 1 \pmod 3 $. Таким образом, необходимо исключить из серии решений значения $ n $, для которых $ n=3j+1 $ ($ j \in \mathbb{Z} $).

Оставляем решения $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} $ для $ n $, которые не имеют вида $ 3j+1 $. Это случаи $ n=3j $ и $ n=3j+2 $.
При $ n=3j $: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(3j)}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi j $.
При $ n=3j+2 $: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(3j+2)}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi j + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \pi j $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

---

2) $ \operatorname{tg} 2x + \operatorname{ctg} x = 8 \cos^2 x $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования тангенса и котангенса:
$ \cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $
$ \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Запишем тангенс и котангенс через синус и косинус:
$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 8 \cos^2 x $

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$ \frac{\sin 2x \sin x + \cos 2x \cos x}{\cos 2x \sin x} = 8 \cos^2 x $
В числителе используем формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) $:
$ \frac{\cos(2x - x)}{\cos 2x \sin x} = 8 \cos^2 x $
$ \frac{\cos x}{\cos 2x \sin x} = 8 \cos^2 x $

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $ \cos x $:
$ \frac{\cos x}{\cos 2x \sin x} - 8 \cos^2 x = 0 $
$ \cos x \left( \frac{1}{\cos 2x \sin x} - 8 \cos x \right) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ \cos x = 0 $
Решения этого уравнения: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Проверим эти решения на соответствие ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $ и $ x \neq \pi k $. Оба условия выполняются.
Проверим подстановкой в исходное уравнение:
ЛЧ: $ \operatorname{tg}(2(\frac{\pi}{2} + \pi n)) + \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \operatorname{tg}(\pi + 2\pi n) + \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + \pi n) = 0 + 0 = 0 $.
ПЧ: $ 8 \cos^2(\frac{\pi}{2} + \pi n) = 8 \cdot 0^2 = 0 $.
ЛЧ = ПЧ, значит, $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $ является серией решений.

Случай 2: $ \frac{1}{\cos 2x \sin x} - 8 \cos x = 0 $
$ \frac{1}{\cos 2x \sin x} = 8 \cos x $
$ 1 = 8 \sin x \cos x \cos 2x $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ дважды:
$ 1 = 4 \cdot (2 \sin x \cos x) \cos 2x = 4 \sin 2x \cos 2x $
$ 1 = 2 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) = 2 \sin 4x $
Отсюда $ \sin 4x = \frac{1}{2} $.

Решения этого уравнения:
а) $ 4x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi m}{2} $, $ m \in \mathbb{Z} $.
б) $ 4x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi m = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \implies x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi m}{2} $, $ m \in \mathbb{Z} $.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как если бы $ \cos 2x = 0 $ или $ \sin x = 0 $, то $ \sin 4x $ не мог бы равняться $ 1/2 $. Например, если $ \cos 2x = 0 $, то $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, откуда $ 4x = \pi + 2\pi k $ и $ \sin 4x = 0 \neq 1/2 $.
Таким образом, обе серии являются решениями.

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi m}{2}, \quad x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi m}{2}, \quad n, m \in \mathbb{Z} $