Номер 1562, страница 426 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1562, страница 426.

Условие.

1562 1) $x^3 - 3x^2 + x = 3;$

2) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0;$

3) $x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 6x - 8 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^3 - 3x^2 + x = 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы применить метод разложения на множители:

$(x^3 - 3x^2) + (x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x^2(x - 3) + 1(x - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x - 3 = 0 \implies x = 3$

2. $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: 3

2) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 - 4) = 0$

Второй множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(x - 2)(x + 2)$.

$(x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$

2. $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

3. $x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Ответ: -2; 2; 3

3) $x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 6x - 8 = 0$

Для решения этого уравнения найдем его рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена (в данном случае -8), деленными на делители старшего коэффициента (в данном случае 1).

Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение. Пусть $P(x) = x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 6x - 8$.

При $x = -1$:

$P(-1) = (-1)^4 - 3(-1)^3 - 2(-1)^2 - 6(-1) - 8 = 1 - 3(-1) - 2(1) + 6 - 8 = 1 + 3 - 2 + 6 - 8 = 0$.

Следовательно, $x = -1$ является корнем.

При $x = 4$:

$P(4) = 4^4 - 3(4^3) - 2(4^2) - 6(4) - 8 = 256 - 3(64) - 2(16) - 24 - 8 = 256 - 192 - 32 - 24 - 8 = 0$.

Следовательно, $x = 4$ является корнем.

Так как $x = -1$ и $x = 4$ являются корнями, то многочлен делится на $(x+1)$ и $(x-4)$, а значит, и на их произведение: $(x+1)(x-4) = x^2 - 3x - 4$.

Выполнив деление многочлена $x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 6x - 8$ на $x^2 - 3x - 4$, получим в частном $x^2+2$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$(x+1)(x-4)(x^2+2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2. $x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

3. $x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = -2$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, действительными корнями уравнения являются -1 и 4.

Ответ: -1; 4