Номер 1558, страница 425 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1558, страница 425.

Условие.

1558 Для функции $f(x) = \cos 4x$ найти первообразную $F(x)$, если $F\left(\frac{\pi}{24}\right) = -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем нахождения неопределенного интеграла от этой функции. Общий вид первообразной для функции $f(x) = \cos(kx)$ имеет форму $F(x) = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

В нашем случае дана функция $f(x) = \cos 4x$. Следовательно, ее общий вид первообразной будет:

$F(x) = \int \cos 4x \,dx = \frac{1}{4} \sin 4x + C$

Чтобы найти конкретную первообразную, необходимо определить значение константы $C$. Для этого используем заданное условие $F\left(\frac{\pi}{24}\right) = -1$. Подставим $x = \frac{\pi}{24}$ в выражение для $F(x)$:

$F\left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{4} \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{24}\right) + C$

Упростим аргумент синуса:

$4 \cdot \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$\frac{1}{4} \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C = -1$

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + C = -1$

$\frac{1}{8} + C = -1$

Теперь найдем $C$:

$C = -1 - \frac{1}{8} = -\frac{8}{8} - \frac{1}{8} = -\frac{9}{8}$

Подставим найденное значение $C = -\frac{9}{8}$ в общий вид первообразной, чтобы получить окончательное решение:

$F(x) = \frac{1}{4} \sin 4x - \frac{9}{8}$

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\sin 4x - \frac{9}{8}$.