Номер 1570, страница 427 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1570, страница 427.

Условие.

1570 Для всех значений параметра a решить систему уравнений

$$\begin{cases}a^2 - 2\sqrt{3}|a|y + x^2 + 2xy - y^2 - 2 = 0, \\x^2 + y^2 - 2y - \cos(xy) + 11 - 6a + a^2 = 0.\end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Рассмотрим второе уравнение системы:

$x^2 + y^2 - 2y - \cos(xy) + 11 - 6a + a^2 = 0$

Для анализа этого уравнения выделим полные квадраты относительно переменных $y$ и $a$.

$x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 - \cos(xy) + (a^2 - 6a + 9) - 9 + 11 = 0$

$x^2 + (y-1)^2 + (a-3)^2 + 1 - \cos(xy) = 0$

Перегруппируем слагаемые, чтобы разделить их по знаку:

$x^2 + (y-1)^2 + (a-3)^2 = \cos(xy) - 1$

Теперь оценим левую и правую части полученного уравнения.

Левая часть, $x^2 + (y-1)^2 + (a-3)^2$, является суммой квадратов действительных чисел. Сумма квадратов всегда неотрицательна, то есть:

$x^2 + (y-1)^2 + (a-3)^2 \ge 0$

Правая часть, $\cos(xy) - 1$, ограничена сверху. Известно, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(xy) \le 1$. Вычитая 1 из всех частей этого двойного неравенства, получаем:

$-2 \le \cos(xy) - 1 \le 0$

Таким образом, правая часть уравнения всегда неположительна.

Равенство между неотрицательной левой частью и неположительной правой частью возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны нулю.

Это приводит к системе двух условий:

$\begin{cases} x^2 + (y-1)^2 + (a-3)^2 = 0 \\ \cos(xy) - 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения, так как сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, следует, что каждое слагаемое должно быть равно нулю:

$x^2 = 0 \implies x = 0$

$(y-1)^2 = 0 \implies y = 1$

$(a-3)^2 = 0 \implies a = 3$

Таким образом, второе уравнение системы может иметь решение только при значении параметра $a=3$, и этим решением (если оно существует) должна быть пара чисел $(x,y) = (0,1)$.

Проверим, выполняется ли второе условие, $\cos(xy) = 1$, для найденных $x$ и $y$:

$\cos(0 \cdot 1) = \cos(0) = 1$.

Условие выполняется. Следовательно, мы установили, что если исходная система уравнений и имеет решение, то это возможно только при $a=3$, и этим решением обязана быть пара $x=0, y=1$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденная тройка значений $(a,x,y) = (3,0,1)$ первому уравнению системы.

Первое уравнение: $a^2 - 2\sqrt{3}|a|y + x^2 + 2xy - y^2 - 2 = 0$.

Подставляем в него $a=3$, $x=0$ и $y=1$:

$3^2 - 2\sqrt{3}|3|(1) + 0^2 + 2(0)(1) - 1^2 - 2 = 0$

$9 - 2\sqrt{3}(3) + 0 + 0 - 1 - 2 = 0$

$9 - 6\sqrt{3} - 3 = 0$

$6 - 6\sqrt{3} = 0$

$6(1 - \sqrt{3}) = 0$

Полученное равенство является ложным, поскольку $1 - \sqrt{3} \neq 0$.

Это означает, что единственная возможная тройка $(a,x,y)$, которая могла бы быть решением, не удовлетворяет первому уравнению.

Сделаем окончательный вывод:

1. При $a \neq 3$ второе уравнение системы не имеет решений, а значит, и вся система не имеет решений.

2. При $a=3$ второе уравнение имеет единственное решение $(x,y) = (0,1)$, но эта пара не удовлетворяет первому уравнению, поэтому и при $a=3$ система решений не имеет.

Следовательно, данная система уравнений не имеет решений ни при каких значениях параметра $a$.

Ответ:

При любых значениях параметра $a$ система не имеет решений (решений нет).