Номер 1574, страница 427 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1574, страница 427.

Условие.

Решить неравенство (1574—1578).

1574 1) $x^{\lg^2 x - 3 \lg x + 1} > 1000$;

2) $3^{\lg x + 2} < 3^{\lg x^2 + 5} - 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим неравенство $x^{\lg^2 x - 3 \lg x + 1} > 1000$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования логарифма $\lg x$, откуда $x > 0$.

Запишем правую часть неравенства как степень 10: $1000 = 10^3$.

$x^{\lg^2 x - 3 \lg x + 1} > 10^3$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10. Так как функция $y = \lg t$ является возрастающей, знак неравенства сохранится.

$\lg(x^{\lg^2 x - 3 \lg x + 1}) > \lg(10^3)$

Используя свойство логарифма $\lg(a^b) = b \cdot \lg a$, получаем:

$(\lg^2 x - 3 \lg x + 1) \cdot \lg x > 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Неравенство принимает вид:

$(t^2 - 3t + 1)t > 3$

Раскроем скобки и перенесем все в левую часть:

$t^3 - 3t^2 + t - 3 > 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$t^2(t - 3) + (t - 3) > 0$

$(t^2 + 1)(t - 3) > 0$

Так как выражение $t^2 + 1$ всегда положительно при любом действительном $t$ (поскольку $t^2 \ge 0$), то знак всего произведения зависит только от знака множителя $(t - 3)$.

Следовательно, неравенство равносильно простому неравенству:

$t - 3 > 0$

$t > 3$

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = \lg x$:

$\lg x > 3$

Решим это логарифмическое неравенство:

$x > 10^3$

$x > 1000$

Полученное решение $x > 1000$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(1000; +\infty)$.

2) Решим неравенство $3^{\lg x + 2} < 3^{\lg x^2 + 5} - 2$.

ОДЗ: Аргументы логарифмов должны быть положительными. Из $\lg x$ следует $x > 0$. Из $\lg x^2$ следует $x^2 > 0$, то есть $x \neq 0$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Используя свойства логарифма ($\lg x^2 = 2 \lg x$ при $x>0$) и свойства степеней ($a^{m+n}=a^m a^n$), преобразуем неравенство:

$3^{\lg x} \cdot 3^2 < 3^{2 \lg x} \cdot 3^5 - 2$

$9 \cdot 3^{\lg x} < 243 \cdot (3^{\lg x})^2 - 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{\lg x}$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Неравенство в новых переменных:

$9t < 243t^2 - 2$

$243t^2 - 9t - 2 > 0$

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $243t^2 - 9t - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 45}{2 \cdot 243} = \frac{-36}{486} = -\frac{2}{27}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$

Парабола $y=243t^2 - 9t - 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $243t^2 - 9t - 2 > 0$ выполняется при $t < t_1$ или $t > t_2$.

$t < -2/27$ или $t > 1/9$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем первое решение ($t < -2/27$). Остается только:

$t > 1/9$

Выполним обратную замену $t = 3^{\lg x}$:

$3^{\lg x} > 1/9$

$3^{\lg x} > 3^{-2}$

Так как основание степени 3 больше 1, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей:

$\lg x > -2$

Решая это логарифмическое неравенство (основание 10 > 1), получаем:

$x > 10^{-2}$

$x > 0.01$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(0.01; +\infty)$.