Номер 1581, страница 428 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1581, страница 428.

Условие.

1581 1) $y = \frac{2}{(x-1)(x-3)};$

2) $y = \frac{1}{\cos x};$

3) $y = \frac{1}{\ln x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для функции $y = \frac{2}{(x-1)(x-3)}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция является дробно-рациональной. Она определена для всех $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$(x-1)(x-3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x-1 = 0$ или $x-3 = 0$

$x = 1$ или $x = 3$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=1$ и $x=3$. В виде интервалов это можно записать как $(-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Для функции $y = \frac{1}{\cos x}$

Данная функция определена для всех $x$, при которых знаменатель $\cos x$ не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых $\cos x = 0$.

Это стандартное тригонометрическое уравнение, решениями которого являются значения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Для функции $y = \frac{1}{\ln x}$

Для того чтобы данная функция была определена, должны одновременно выполняться два условия:

1. Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\ln x \neq 0$.

Решим уравнение $\ln x = 0$. По определению натурального логарифма, это равносильно уравнению $x = e^0$, откуда получаем $x = 1$.

Следовательно, второе условие можно записать как $x \neq 1$.

Объединяя оба условия ($x > 0$ и $x \neq 1$), получаем область определения функции. В виде интервалов это записывается как $(0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.