Номер 1587, страница 428 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1587, страница 428.

Условие.

1587 Через точку A $(2; -\frac{12}{5})$ проведена касательная к параболе $y = -\frac{3}{5} x^2$, пересекающая ось абсцисс в точке B, а ось ординат в точке C. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник $BOC$ ($O$ — начало координат).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1. Нахождение уравнения касательной

Сначала убедимся, что точка $A(2; -\frac{12}{5})$ лежит на параболе $y = -\frac{3}{5}x^2$. Для этого подставим координаты точки $A$ в уравнение параболы:

$y(2) = -\frac{3}{5} \cdot (2)^2 = -\frac{3}{5} \cdot 4 = -\frac{12}{5}$.

Так как полученное значение совпадает с ординатой точки $A$, точка $A$ является точкой касания.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции $y(x) = -\frac{3}{5}x^2$:

$y'(x) = (-\frac{3}{5}x^2)' = -\frac{3}{5} \cdot 2x = -\frac{6}{5}x$.

Теперь найдем значение производной в точке касания $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = y'(2) = -\frac{6}{5} \cdot 2 = -\frac{12}{5}$.

Это угловой коэффициент касательной. Теперь подставим все известные значения в уравнение касательной:

$y = -\frac{12}{5} - \frac{12}{5}(x - 2)$

$y = -\frac{12}{5} - \frac{12}{5}x + \frac{24}{5}$

$y = -\frac{12}{5}x + \frac{12}{5}$

Ответ: Уравнение касательной: $y = -\frac{12}{5}x + \frac{12}{5}$.

2. Нахождение координат точек B и C

Точка $B$ — это точка пересечения касательной с осью абсцисс (осью Ox). В этой точке координата $y=0$. Подставим это значение в уравнение касательной:

$0 = -\frac{12}{5}x + \frac{12}{5}$

$\frac{12}{5}x = \frac{12}{5}$

$x = 1$

Следовательно, координаты точки $B$ равны $(1; 0)$.

Точка $C$ — это точка пересечения касательной с осью ординат (осью Oy). В этой точке координата $x=0$. Подставим это значение в уравнение касательной:

$y = -\frac{12}{5}(0) + \frac{12}{5}$

$y = \frac{12}{5}$

Следовательно, координаты точки $C$ равны $(0; \frac{12}{5})$.

Ответ: Координаты точек: $B(1; 0)$, $C(0; \frac{12}{5})$.

3. Нахождение радиуса вписанной окружности

Рассмотрим треугольник $BOC$. Его вершины: $O(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0; \frac{12}{5})$.

Поскольку катеты $OB$ и $OC$ лежат на координатных осях, которые перпендикулярны, треугольник $BOC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Длины катетов:

$a = OB = 1$

$b = OC = \frac{12}{5}$

Найдем длину гипотенузы $BC$ по теореме Пифагора:

$c = BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{12}{5})^2} = \sqrt{1 + \frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{25+144}{25}} = \sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{13}{5}$.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле:

$r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Подставим длины сторон в формулу:

$r = \frac{1 + \frac{12}{5} - \frac{13}{5}}{2} = \frac{\frac{5}{5} + \frac{12}{5} - \frac{13}{5}}{2} = \frac{\frac{17-13}{5}}{2} = \frac{\frac{4}{5}}{2} = \frac{4}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.