Номер 1594, страница 429 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1594, страница 429.

Условие.

1594 Дана фигура, ограниченная кривой $y = \sin x$ и прямыми $y = 0, x = \frac{\pi}{2} \left(0 \le x \le \frac{\pi}{2}\right)$. Под каким углом к оси $Ox$ нужно провести прямую через точку $(0; 0)$, чтобы эта прямая разбивала данную фигуру на две фигуры равной площади?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1. Найдем площадь исходной фигуры

Данная фигура ограничена кривой $y = \sin x$, осью абсцисс $y = 0$ и прямой $x = \frac{\pi}{2}$ (для $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$). Площадь $S$ этой фигуры (криволинейной трапеции) вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{0}^{\pi/2} \sin x \,dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = [-\cos x]_{0}^{\pi/2} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0)) = 0 - (-1) = 1$.

Таким образом, площадь исходной фигуры равна 1.

2. Определим уравнение прямой и условие разделения площади

Искомая прямая проходит через начало координат (0; 0), поэтому ее уравнение имеет вид $y = kx$. Угловой коэффициент $k$ этой прямой связан с углом ее наклона $\alpha$ к оси $Ox$ соотношением $k = \tan \alpha$.

По условию задачи, эта прямая должна разделить исходную фигуру на две фигуры равной площади. Так как общая площадь равна 1, то площадь каждой из частей должна быть равна $S_{1} = S_{2} = \frac{1}{2}$.

3. Вычислим площадь одной из частей и найдем угловой коэффициент $k$

Прямая $y=kx$ отсекает от исходной фигуры треугольник, ограниченный прямыми $y = kx$, $y = 0$ (ось $Ox$) и $x = \frac{\pi}{2}$. Эта фигура является прямоугольным треугольником. Его основание лежит на оси $Ox$ и имеет длину $\frac{\pi}{2}$. Его высота — это значение ординаты на прямой $y=kx$ при $x=\frac{\pi}{2}$, то есть $y = k \cdot \frac{\pi}{2}$.

Площадь этого треугольника $S_1$ равна:

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \left(k \frac{\pi}{2}\right) = \frac{k\pi^2}{8}$.

Приравняем эту площадь к $\frac{1}{2}$:

$\frac{k\pi^2}{8} = \frac{1}{2}$

Решим уравнение относительно $k$:

$k\pi^2 = 4 \implies k = \frac{4}{\pi^2}$.

4. Найдем искомый угол

Теперь, зная угловой коэффициент $k$, мы можем найти искомый угол $\alpha$:

$\tan \alpha = k = \frac{4}{\pi^2}$

Следовательно, угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arctan\left(\frac{4}{\pi^2}\right)$.

Ответ: Прямую нужно провести под углом $\alpha = \arctan\left(\frac{4}{\pi^2}\right)$ к оси $Ox$.