Номер 1599, страница 429 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1599, страница 429.

Условие.

1599 1) $cos x + cos 2x + cos 3x = 0;$

2) $cos^3 x - 3 cos^2 x + cos x + sin 2x = 2 cos \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) sin \left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right);$

3) $sin^2 x + cos^2 3x = 1;$

4) $ctg x + sin 2x = ctg 3x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$(\cos 3x + \cos x) + \cos 2x = 0$

$2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + \cos 2x = 0$

$2\cos 2x \cos x + \cos 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \sin 2x = 2\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу произведения синуса и косинуса $2\cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)$:

$\alpha = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$, $\beta = \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}$

$\alpha + \beta = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{4x}{2} = 2x$

$\alpha - \beta = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} - \left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2x}{2} + \frac{2\pi}{4} = -x + \frac{\pi}{2}$

Правая часть: $\sin(2x) - \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(2x) - \cos x$.

Подставим преобразованную правую часть в исходное уравнение:

$\cos^3 x - 3\cos^2 x + \cos x + \sin 2x = \sin 2x - \cos x$

$\cos^3 x - 3\cos^2 x + 2\cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos^2 x - 3\cos x + 2) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos^2 x - 3\cos x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1=1$, $t_2=2$.

Корень $t_2=2$ не подходит, так как $|\cos x| \le 1$.

Возвращаемся к замене: $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем полученные решения.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin^2 x + \cos^2 3x = 1$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$(1 - \cos^2 x) + \cos^2 3x = 1$

$\cos^2 3x - \cos^2 x = 0$

$\cos^2 3x = \cos^2 x$

Это равенство выполняется, если $\cos 3x = \cos x$ или $\cos 3x = -\cos x$.

1) $\cos 3x = \cos x$

Из равенства $\cos \alpha = \cos \beta$ следует $\alpha = \pm \beta + 2\pi n$.

$3x = x + 2\pi n \implies 2x = 2\pi n \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3x = -x + 2\pi k \implies 4x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Первая серия корней ($x=\pi n$) является подмножеством второй ($x = \frac{\pi k}{2}$ при четных $k$). Таким образом, решение этого случая: $x = \frac{\pi k}{2}$.

2) $\cos 3x = -\cos x = \cos(\pi - x)$

$3x = \pm (\pi - x) + 2\pi m$.

$3x = \pi - x + 2\pi m \implies 4x = \pi + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$3x = -(\pi - x) + 2\pi p \implies 3x = -\pi + x + 2\pi p \implies 2x = -\pi + 2\pi p \implies x = -\frac{\pi}{2} + \pi p$. Эта серия корней уже содержится в серии $x = \frac{\pi k}{2}$ (при нечетных $k$).

Собираем все уникальные серии решений.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

4) $\mathrm{ctg}\,x + \sin 2x = \mathrm{ctg}\,3x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\sin x \ne 0 \implies x \ne \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\sin 3x \ne 0 \implies 3x \ne \pi k \implies x \ne \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя условия, получаем $x \ne \frac{\pi k}{3}$ для любого $k \in \mathbb{Z}$.

Перенесем котангенсы в одну часть:

$\sin 2x = \mathrm{ctg}\,3x - \mathrm{ctg}\,x$

Используем формулу разности котангенсов $\mathrm{ctg}\,\alpha - \mathrm{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\beta-\alpha)}{\sin\alpha\sin\beta}$:

$\sin 2x = \frac{\sin(x-3x)}{\sin 3x \sin x} = \frac{\sin(-2x)}{\sin 3x \sin x} = -\frac{\sin 2x}{\sin 3x \sin x}$

$\sin 2x + \frac{\sin 2x}{\sin 3x \sin x} = 0$

Вынесем $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x \left(1 + \frac{1}{\sin 3x \sin x}\right) = 0$

Рассмотрим два случая:

1) $\sin 2x = 0$

$2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим соответствие ОДЗ ($x \ne \frac{\pi k}{3}$).

Если $m$ - четное, $m=2j$, то $x = \pi j$. Это не входит в ОДЗ.

Если $m$ - нечетное, $m=2j+1$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi j$. Проверим, может ли $\frac{\pi}{2} + \pi j = \frac{\pi k}{3}$. Это эквивалентно $3(1+2j) = 2k$. Слева нечетное число, справа четное, равенство невозможно. Значит, эти корни подходят.

Итак, из этого случая получаем решение $x = \frac{\pi}{2} + \pi j$, где $j \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + \frac{1}{\sin 3x \sin x} = 0$

$\sin 3x \sin x = -1$

Произведение двух синусов равно -1 только в двух случаях:

а) $\sin 3x = 1$ и $\sin x = -1$.

Из $\sin x = -1$ следует $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi p$.

Подставляем в первое уравнение: $\sin(3(-\frac{\pi}{2} + 2\pi p)) = \sin(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi p) = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$. Верно. Следовательно, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi p$ является решением.

б) $\sin 3x = -1$ и $\sin x = 1$.

Из $\sin x = 1$ следует $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi q$.

Подставляем в первое уравнение: $\sin(3(\frac{\pi}{2} + 2\pi q)) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 6\pi q) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Верно. Следовательно, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi q$ является решением.

Объединяя решения из а) и б), получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решения из первого и второго случаев совпадают. Все они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.