Номер 1604, страница 430 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1604, страница 430.

Условие.

1604 Найти наибольший на интервале $ \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right) $ корень уравнения

$ \cos \left(5x+\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin x \cos 2x = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения уравнения $cos(5x + \frac{\pi}{2}) + 2 sin(x) cos(2x) = 0$ преобразуем его, используя тригонометрические формулы.

Сначала применим формулу приведения для косинуса: $cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 5x$, поэтому:

$cos(5x + \frac{\pi}{2}) = -sin(5x)$

Уравнение принимает вид:

$-sin(5x) + 2 sin(x) cos(2x) = 0$

Теперь преобразуем произведение синуса на косинус в сумму по формуле $2 sin(\alpha) cos(\beta) = sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)$. Для $\alpha = x$ и $\beta = 2x$ получаем:

$2 sin(x) cos(2x) = sin(x + 2x) + sin(x - 2x) = sin(3x) + sin(-x) = sin(3x) - sin(x)$

Подставим это выражение в наше уравнение:

$-sin(5x) + (sin(3x) - sin(x)) = 0$

$sin(5x) - sin(3x) + sin(x) = 0$

Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу разности синусов $sin(\alpha) - sin(\beta) = 2 sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) cos(\frac{\alpha + \beta}{2})$:

$(sin(5x) - sin(3x)) + sin(x) = 2 sin(\frac{5x - 3x}{2}) cos(\frac{5x + 3x}{2}) + sin(x) = 0$

$2 sin(x) cos(4x) + sin(x) = 0$

Вынесем общий множитель $sin(x)$ за скобки:

$sin(x) (2 cos(4x) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $sin(x) = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 cos(4x) + 1 = 0$

$cos(4x) = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})$.

Из серии $x = \pi n$:

При $n = 0$, $x = 0$. Этот корень принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})$.

При других целых $n$ корни не входят в данный интервал.

Из серии $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$:

При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Не входит в интервал, так как граница не включается.

При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3}$. Не входит в интервал, так как $-\frac{\pi}{3} < -\frac{\pi}{6}$.

При других целых $k$ корни также не входят в данный интервал.

Из серии $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$:

При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$. Не входит в интервал, так как граница не включается.

При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$. Этот корень принадлежит интервалу, так как $-\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.

При других целых $k$ корни не входят в данный интервал.

Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})$ уравнение имеет два корня: $0$ и $\frac{\pi}{3}$. Наибольшим из них является $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$