Номер 1610, страница 430 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1610, страница 430.

Условие.

1610 Решить неравенство:

1) $\frac{2x-3}{4-x} > \frac{1}{x}$

2) $\frac{2x+5}{|x+1|} \ge 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное неравенство: $\frac{2x - 3}{4 - x} > \frac{1}{x}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:
$4 - x \ne 0 \implies x \ne 4$
$x \ne 0$
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\frac{2x - 3}{4 - x} - \frac{1}{x} > 0$
Приведем дроби к общему знаменателю $x(4 - x)$:
$\frac{x(2x - 3) - 1(4 - x)}{x(4 - x)} > 0$
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$\frac{2x^2 - 3x - 4 + x}{x(4 - x)} > 0$
$\frac{2x^2 - 2x - 4}{x(4 - x)} > 0$
Вынесем общий множитель 2 в числителе:
$\frac{2(x^2 - x - 2)}{x(4 - x)} > 0$
Разложим квадратный трехчлен $x^2 - x - 2$ на множители. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Тогда $x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{2(x + 1)(x - 2)}{x(4 - x)} > 0$
Чтобы избавиться от знака "минус" при $x$ в знаменателе, умножим знаменатель на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$\frac{2(x + 1)(x - 2)}{-x(x - 4)} > 0$
$\frac{(x + 1)(x - 2)}{x(x - 4)} < 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x = -1, x = 2, x = 0, x = 4$.
Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на 5 интервалов: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 4)$, $(4, +\infty)$.
Определим знак выражения $\frac{(x + 1)(x - 2)}{x(x - 4)}$ в каждом интервале:

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
• При $x \in (2, 4)$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} < 0$
• При $x \in (0, 2)$ (например, $x=1$): $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} > 0$
• При $x \in (-1, 0)$ (например, $x=-0.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0$
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Это интервалы $(-1, 0)$ и $(2, 4)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (2, 4)$.

2)

Исходное неравенство: $\frac{2x + 5}{|x + 1|} \ge 1$.
Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.
$|x + 1| \ne 0 \implies x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1$.
Так как $|x + 1| > 0$ для всех $x$ из ОДЗ, мы можем умножить обе части неравенства на $|x + 1|$, не меняя знака неравенства:
$2x + 5 \ge |x + 1|$
Теперь решим это неравенство, рассмотрев два случая.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно.
$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$. С учетом ОДЗ, $x > -1$.
В этом случае $|x + 1| = x + 1$. Неравенство принимает вид:
$2x + 5 \ge x + 1$
$2x - x \ge 1 - 5$
$x \ge -4$
Найдем пересечение полученного решения $x \ge -4$ с условием этого случая $x > -1$. Пересечением является интервал $x \in (-1, +\infty)$.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно.
$x + 1 < 0 \implies x < -1$.
В этом случае $|x + 1| = -(x + 1)$. Неравенство принимает вид:
$2x + 5 \ge -(x + 1)$
$2x + 5 \ge -x - 1$
$3x \ge -6$
$x \ge -2$
Найдем пересечение полученного решения $x \ge -2$ с условием этого случая $x < -1$. Пересечением является полуинтервал $x \in [-2, -1)$.

Общим решением исходного неравенства является объединение решений, полученных в обоих случаях:
$[-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.