Номер 1617, страница 431 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1617, страница 431.

Условие.

1617 На параболе $y = 2x^2 - 3x + 8$ найти точки, касательные в которых проходят через начало координат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $(x_0, y_0)$ — точка на параболе $y = 2x^2 - 3x + 8$, в которой касательная проходит через начало координат. Координаты этой точки должны удовлетворять уравнению параболы:

$y_0 = 2x_0^2 - 3x_0 + 8$

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет общий вид:

$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$

Для начала найдем производную функции $f(x) = 2x^2 - 3x + 8$:

$f'(x) = (2x^2 - 3x + 8)' = 4x - 3$

Следовательно, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $f'(x_0) = 4x_0 - 3$.

Подставим выражение для $y_0$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:

$y - (2x_0^2 - 3x_0 + 8) = (4x_0 - 3)(x - x_0)$

Согласно условию задачи, касательная проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Подставим эти значения ($x=0, y=0$) в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$0 - (2x_0^2 - 3x_0 + 8) = (4x_0 - 3)(0 - x_0)$

Теперь решим полученное уравнение:

$-(2x_0^2 - 3x_0 + 8) = (4x_0 - 3)(-x_0)$

$-2x_0^2 + 3x_0 - 8 = -4x_0^2 + 3x_0$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы упростить его:

$-2x_0^2 + 4x_0^2 + 3x_0 - 3x_0 - 8 = 0$

$2x_0^2 - 8 = 0$

$2x_0^2 = 8$

$x_0^2 = 4$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для абсциссы точки касания:

$x_0 = 2$ и $x_0 = -2$

Теперь необходимо найти соответствующие ординаты $y_0$ для каждой из этих точек, подставив значения $x_0$ обратно в уравнение параболы $y_0 = 2x_0^2 - 3x_0 + 8$.

1. Для $x_0 = 2$:

$y_0 = 2(2)^2 - 3(2) + 8 = 2 \cdot 4 - 6 + 8 = 8 - 6 + 8 = 10$

Таким образом, первая искомая точка имеет координаты $(2, 10)$.

2. Для $x_0 = -2$:

$y_0 = 2(-2)^2 - 3(-2) + 8 = 2 \cdot 4 + 6 + 8 = 8 + 6 + 8 = 22$

Таким образом, вторая искомая точка имеет координаты $(-2, 22)$.

Ответ: $(2, 10)$ и $(-2, 22)$.