Номер 1618, страница 431 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1618, страница 431.

Условие.

1618 При каком значении $k$ площадь фигуры, заключённой между параболой $y = x^2 + 2x - 3$ и прямой $y = kx + 1$, наименьшая?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + 2x - 3$ и прямой $y = kx + 1$, в первую очередь определим абсциссы точек их пересечения. Для этого приравняем уравнения:

$x^2 + 2x - 3 = kx + 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 + (2 - k)x - 4 = 0$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, являющиеся пределами интегрирования для вычисления площади. Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций. Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, поэтому на отрезке $[x_1, x_2]$ прямая $y = kx + 1$ будет располагаться выше параболы. Таким образом, площадь равна:

$S = \int_{x_1}^{x_2} \left( (kx + 1) - (x^2 + 2x - 3) \right) dx = \int_{x_1}^{x_2} (-x^2 + (k-2)x + 4) dx$

Для вычисления площади, ограниченной параболой и секущей прямой, можно использовать формулу, связывающую площадь с разностью корней $x_2 - x_1$ уравнения, полученного приравниванием функций. Сначала найдем дискриминант $D$ уравнения $x^2 + (2-k)x - 4 = 0$:

$D = (2-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = (k-2)^2 + 16$

Так как $(k-2)^2 \ge 0$, дискриминант $D$ всегда положителен ($D \ge 16$), следовательно, графики всегда пересекаются в двух различных точках.

Разность корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ вычисляется как $x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$x_2 - x_1 = \sqrt{(k-2)^2 + 16}$

Площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, можно найти по формуле $S = \frac{1}{6}(x_2-x_1)^3$. Подставим в нее найденное выражение для разности корней:

$S(k) = \frac{1}{6} \left( \sqrt{(k-2)^2 + 16} \right)^3 = \frac{1}{6} \left( (k-2)^2 + 16 \right)^{3/2}$

Теперь необходимо найти значение $k$, при котором площадь $S(k)$ будет наименьшей. Функция $f(u) = u^{3/2}$ является монотонно возрастающей при $u > 0$. Следовательно, функция $S(k)$ достигает своего минимального значения тогда же, когда достигает минимума выражение, стоящее в основании степени: $g(k) = (k-2)^2 + 16$.

Функция $g(k)$ — это квадратичная функция от $k$, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Своё наименьшее значение такая функция принимает в вершине. Вершина параболы $g(k) = (k-2)^2 + 16$ находится в точке, где квадрат скобки равен нулю:

$(k-2)^2 = 0 \implies k-2 = 0 \implies k=2$

Таким образом, площадь фигуры будет наименьшей при $k=2$.

Ответ: $2$.