Номер 1622, страница 431 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1622, страница 431.

Условие.

1622 Найти все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение квадратичной функции $y = 4x^2 - 4ax + a^2 - 2a + 2$ на отрезке $[0; 2]$ равно 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Дана квадратичная функция $y(x) = 4x^2 - 4ax + a^2 - 2a + 2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($4 > 0$). Наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ зависит от положения вершины параболы $x_v$ относительно этого отрезка.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{B}{2A}$: $x_v = -\frac{-4a}{2 \cdot 4} = \frac{4a}{8} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим три возможных случая расположения вершины $x_v$.

Случай 1: Вершина параболы принадлежит отрезку $[0; 2]$
Это условие выполняется, если $0 \le x_v \le 2$, то есть $0 \le \frac{a}{2} \le 2$, что равносильно $0 \le a \le 4$.
В этом случае наименьшее значение функции на отрезке достигается в вершине, то есть $y_{min} = y(x_v)$.
$y(\frac{a}{2}) = 4\left(\frac{a}{2}\right)^2 - 4a\left(\frac{a}{2}\right) + a^2 - 2a + 2 = 4\frac{a^2}{4} - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = -2a + 2$.
По условию задачи, наименьшее значение равно 3: $-2a + 2 = 3$
$-2a = 1$
$a = -0.5$
Полученное значение $a = -0.5$ не удовлетворяет условию $0 \le a \le 4$, следовательно, в данном случае решений нет.

Случай 2: Вершина параболы находится левее отрезка $[0; 2]$
Это условие выполняется, если $x_v < 0$, то есть $\frac{a}{2} < 0$, откуда $a < 0$.
В этом случае функция $y(x)$ возрастает на всем отрезке $[0; 2]$, и ее наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, при $x = 0$.
$y_{min} = y(0) = 4(0)^2 - 4a(0) + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2a + 2$.
Приравниваем это значение к 3:
$a^2 - 2a + 2 = 3$
$a^2 - 2a - 1 = 0$
Решаем квадратное уравнение относительно $a$:
$a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Проверяем соответствие полученных корней условию $a < 0$:
$a_1 = 1 - \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $1 - \sqrt{2} < 0$. Этот корень подходит.
$a_2 = 1 + \sqrt{2} > 0$. Этот корень не подходит.
Таким образом, в этом случае есть одно решение: $a = 1 - \sqrt{2}$.

Случай 3: Вершина параболы находится правее отрезка $[0; 2]$
Это условие выполняется, если $x_v > 2$, то есть $\frac{a}{2} > 2$, откуда $a > 4$.
В этом случае функция $y(x)$ убывает на всем отрезке $[0; 2]$, и ее наименьшее значение достигается на правом конце отрезка, при $x = 2$.
$y_{min} = y(2) = 4(2)^2 - 4a(2) + a^2 - 2a + 2 = 16 - 8a + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 10a + 18$.
Приравниваем это значение к 3:
$a^2 - 10a + 18 = 3$
$a^2 - 10a + 15 = 0$
Решаем квадратное уравнение относительно $a$:
$a = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100-60}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 5 \pm \sqrt{10}$.
Проверяем соответствие полученных корней условию $a > 4$:
$a_3 = 5 - \sqrt{10}$. Так как $3 < \sqrt{10} < 4$, то $1 < 5 - \sqrt{10} < 2$. Этот корень не удовлетворяет условию $a>4$.
$a_4 = 5 + \sqrt{10}$. Так как $\sqrt{10} > 0$, то $5 + \sqrt{10} > 5$, что удовлетворяет условию $a > 4$.
Таким образом, в этом случае есть одно решение: $a = 5 + \sqrt{10}$.

Объединяя результаты, полученные в трех случаях, находим все значения параметра $a$, при которых наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ равно 3.

Ответ: $1 - \sqrt{2}; 5 + \sqrt{10}$.