Номер 1623, страница 431 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1623, страница 431.

Условие.

1623 Найти все значения параметра $a$, при которых вершины двух парабол $y = 4x^2 + 8ax - 9$ и $y = 4ax^2 - 8x + a - 2$ лежат по одну сторону от прямой $y = -5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи найдем координаты вершин двух парабол. Вершина параболы, заданной уравнением $y = Ax^2+Bx+C$, имеет координаты $x_v = -B/(2A)$ и $y_v = y(x_v)$.

Для первой параболы $y = 4x^2 + 8ax - 9$:
Абсцисса вершины: $x_{v1} = -\frac{8a}{2 \cdot 4} = -a$.
Ордината вершины: $y_{v1} = 4(-a)^2 + 8a(-a) - 9 = 4a^2 - 8a^2 - 9 = -4a^2 - 9$.
Координаты первой вершины $V_1(-a, -4a^2 - 9)$.

Для второй параболы $y = 4ax^2 - 8x + a - 2$:
Данное уравнение является уравнением параболы при $4a \neq 0$, то есть $a \neq 0$.
Абсцисса вершины: $x_{v2} = - \frac{-8}{2 \cdot 4a} = \frac{8}{8a} = \frac{1}{a}$.
Ордината вершины: $y_{v2} = 4a(\frac{1}{a})^2 - 8(\frac{1}{a}) + a - 2 = \frac{4}{a} - \frac{8}{a} + a - 2 = a - \frac{4}{a} - 2$.
Координаты второй вершины $V_2(\frac{1}{a}, a - \frac{4}{a} - 2)$.

Условие, что вершины лежат по одну сторону от прямой $y = -5$, означает, что их ординаты $y_{v1}$ и $y_{v2}$ либо обе больше $-5$, либо обе меньше $-5$.

Рассмотрим значение ординаты первой вершины $y_{v1} = -4a^2 - 9$. Поскольку $a^2 \geq 0$, то $-4a^2 \leq 0$, и, следовательно, $-4a^2 - 9 \leq -9$. Так как $-9 < -5$, ордината первой вершины $y_{v1}$ всегда меньше $-5$ при любом значении параметра $a$.

Следовательно, для выполнения условия задачи ордината второй вершины $y_{v2}$ также должна быть меньше $-5$. Решим неравенство $y_{v2} < -5$:

$a - \frac{4}{a} - 2 < -5$

$a - \frac{4}{a} + 3 < 0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю:

$\frac{a^2 + 3a - 4}{a} < 0$

Разложим числитель на множители. Корнями уравнения $a^2 + 3a - 4 = 0$ являются $a=1$ и $a=-4$. Тогда неравенство принимает вид:

$\frac{(a-1)(a+4)}{a} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки, которые разбивают числовую ось на интервалы: $a = -4$, $a = 0$, $a = 1$.
- При $a \in (-\infty, -4)$ выражение отрицательно.
- При $a \in (-4, 0)$ выражение положительно.
- При $a \in (0, 1)$ выражение отрицательно.
- При $a \in (1, \infty)$ выражение положительно.
Таким образом, неравенство выполняется при $a \in (-\infty, -4) \cup (0, 1)$. Это решение удовлетворяет условию $a \neq 0$.

Ответ: $a \in (-\infty, -4) \cup (0, 1)$.