Номер 1619, страница 431 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1619, страница 431.

Условие.

1619 Парабола $y = x^2 + px + q$ пересекает прямую $y = 2x - 3$ в точке с абсциссой 1. При каких значениях $p$ и $q$ расстояние от вершины параболы до оси $Ox$ является наименьшим? Найти это расстояние.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Даны парабола $y = x^2 + px + q$ и прямая $y = 2x - 3$.

По условию, парабола и прямая пересекаются в точке с абсциссой $x = 1$. Это означает, что в этой точке их ординаты (значения $y$) равны. Найдем ординату точки пересечения, подставив $x = 1$ в уравнение прямой:$y = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(1, -1)$. Так как эта точка принадлежит параболе, ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим $x = 1$ и $y = -1$ в уравнение $y = x^2 + px + q$:$-1 = 1^2 + p \cdot 1 + q$$-1 = 1 + p + q$$p + q = -2$Отсюда мы можем выразить $q$ через $p$:$q = -2 - p$.

Теперь найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$ и $b=p$, поэтому:$x_в = -\frac{p}{2}$.

Ордината вершины $y_в$ находится подстановкой $x_в$ в уравнение параболы:$y_в = x_в^2 + px_в + q = \left(-\frac{p}{2}\right)^2 + p\left(-\frac{p}{2}\right) + q = \frac{p^2}{4} - \frac{p^2}{2} + q = -\frac{p^2}{4} + q$.

Подставим выражение для $q$, которое мы нашли ранее ($q = -2 - p$):$y_в = -\frac{p^2}{4} + (-2 - p) = -\frac{p^2}{4} - p - 2$.

Расстояние от вершины параболы до оси Ox равно модулю ее ординаты, то есть $d = |y_в|$.$d = \left|-\frac{p^2}{4} - p - 2\right|$.

Чтобы найти наименьшее значение этого расстояния, нам нужно исследовать функцию $f(p) = -\frac{p^2}{4} - p - 2$, стоящую под знаком модуля. Это квадратичная функция от $p$, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $p^2$ отрицателен). Найдем ее максимальное значение, которое достигается в вершине.Абсцисса вершины этой параболы: $p_{верш} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1/4)} = -\frac{-1}{-1/2} = -2$.Максимальное значение функции $f(p)$: $f(-2) = -\frac{(-2)^2}{4} - (-2) - 2 = -\frac{4}{4} + 2 - 2 = -1$.

Поскольку максимальное значение выражения $-\frac{p^2}{4} - p - 2$ равно -1, это выражение всегда отрицательно. Следовательно, модуль этого выражения равен ему же, взятому с противоположным знаком:$d(p) = -\left(-\frac{p^2}{4} - p - 2\right) = \frac{p^2}{4} + p + 2$.

Теперь нам нужно найти наименьшее значение функции $d(p) = \frac{p^2}{4} + p + 2$. Это квадратичная функция от $p$, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $p^2$ положителен). Ее наименьшее значение достигается в вершине.Найдем абсциссу вершины этой параболы, которая и даст значение $p$, минимизирующее расстояние:$p = -\frac{1}{2 \cdot (1/4)} = -\frac{1}{1/2} = -2$.

Итак, расстояние до оси Ox будет наименьшим при $p = -2$.Найдем соответствующее значение $q$:$q = -2 - p = -2 - (-2) = 0$.

Наконец, найдем это наименьшее расстояние, подставив $p = -2$ в функцию $d(p)$:$d_{наим} = d(-2) = \frac{(-2)^2}{4} + (-2) + 2 = \frac{4}{4} - 2 + 2 = 1$.

Ответ: расстояние от вершины параболы до оси Ox является наименьшим при $p=-2$ и $q=0$. Это расстояние равно 1.