Номер 1614, страница 431 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1614, страница 431.

Условие.

1614 1) $\log_{|2x+1|} x^2 \ge 2;$

2) $\log_{x^2} |3x+1| < \frac{1}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Решим неравенство $\log_{|2x+1|} x^2 \ge 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, а основание — положительным и не равным единице.

• Аргумент: $x^2 > 0 \implies x \ne 0$.
• Основание: $|2x+1| > 0$ и $|2x+1| \ne 1$.
  • $|2x+1| > 0 \implies 2x+1 \ne 0 \implies x \ne -1/2$.
  • $|2x+1| \ne 1 \implies 2x+1 \ne 1$ и $2x+1 \ne -1$. Отсюда $2x \ne 0 \implies x \ne 0$ и $2x \ne -2 \implies x \ne -1$.

Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, -1/2) \cup (-1/2, 0) \cup (0, \infty)$.

Для решения логарифмического неравенства рассмотрим два случая в зависимости от значения основания.

Случай 1: Основание больше 1.

$|2x+1| > 1$. Это равносильно совокупности неравенств $2x+1 > 1$ или $2x+1 < -1$, что дает $x > 0$ или $x < -1$. Таким образом, этот случай рассматривается при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Когда основание больше 1, знак неравенства сохраняется:

$x^2 \ge |2x+1|^2$

$x^2 \ge (2x+1)^2$

$x^2 \ge 4x^2 + 4x + 1$

$0 \ge 3x^2 + 4x + 1$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 4x + 1 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-12}}{6} = \frac{-4 \pm 2}{6}$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -1/3$.

Так как ветви параболы $y=3x^2+4x+1$ направлены вверх, неравенство $3x^2 + 4x + 1 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [-1, -1/3]$.

Теперь найдем пересечение полученного решения $x \in [-1, -1/3]$ с условием для данного случая $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$. Пересечение этих множеств пусто. Следовательно, в первом случае решений нет.

Случай 2: Основание от 0 до 1.

$0 < |2x+1| < 1$. Это равносильно двойному неравенству $-1 < 2x+1 < 1$ (и $2x+1 \ne 0$, что уже учтено в ОДЗ), откуда $-2 < 2x < 0 \implies -1 < x < 0$. С учетом ОДЗ ($x \ne -1/2$), этот случай рассматривается при $x \in (-1, -1/2) \cup (-1/2, 0)$.

Когда основание от 0 до 1, знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 \le |2x+1|^2$

$x^2 \le (2x+1)^2$

$0 \le 3x^2 + 4x + 1$

Корни трехчлена $3x^2 + 4x + 1$ те же: $x_1 = -1, x_2 = -1/3$. Неравенство $3x^2 + 4x + 1 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -1] \cup [-1/3, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая $x \in (-1, -1/2) \cup (-1/2, 0)$.

• Пересечение $(-\infty, -1] \cup [-1/3, \infty)$ с $(-1, -1/2)$ пусто.
• Пересечение $(-\infty, -1] \cup [-1/3, \infty)$ с $(-1/2, 0)$ дает интервал $[-1/3, 0)$.

Объединяя результаты, получаем решение для второго случая: $x \in [-1/3, 0)$.

Итоговое решение является объединением решений из двух случаев. Так как в первом случае решений нет, окончательным решением является решение из второго случая.

Ответ: $x \in [-1/3, 0)$.

2)

Решим неравенство $\log_{x^2} |3x+1| < \frac{1}{2}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

• Аргумент: $|3x+1| > 0 \implies 3x+1 \ne 0 \implies x \ne -1/3$.
• Основание: $x^2 > 0$ и $x^2 \ne 1$, что дает $x \ne 0$, $x \ne 1$ и $x \ne -1$.

Итак, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, -1/3, 0, 1\}$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания $x^2$.

Случай 1: Основание больше 1.

$x^2 > 1$, что означает $x > 1$ или $x < -1$, т.е. $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

В этом случае знак неравенства сохраняется: $|3x+1| < (x^2)^{1/2} \implies |3x+1| < |x|$.

• Если $x > 1$, то $3x+1 > 0$ и $|x|=x$. Неравенство принимает вид $3x+1 < x$, откуда $2x < -1 \implies x < -1/2$. Пересечение $x > 1$ и $x < -1/2$ пусто.
• Если $x < -1$, то $3x+1$ отрицательно и $|x|=-x$. Неравенство принимает вид $-(3x+1) < -x$, откуда $-3x-1 < -x \implies -1 < 2x \implies x > -1/2$. Пересечение $x < -1$ и $x > -1/2$ пусто.

В первом случае решений нет.

Случай 2: Основание от 0 до 1.

$0 < x^2 < 1$, что означает $-1 < x < 1$ и $x \ne 0$, т.е. $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

В этом случае знак неравенства меняется на противоположный: $|3x+1| > (x^2)^{1/2} \implies |3x+1| > |x|$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат: $(3x+1)^2 > x^2 \implies 9x^2 + 6x + 1 > x^2 \implies 8x^2 + 6x + 1 > 0$.

Найдем корни уравнения $8x^2 + 6x + 1 = 0$. $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-32}}{16} = \frac{-6 \pm 2}{16}$. Корни: $x_1 = -1/2$, $x_2 = -1/4$.

Неравенство $8x^2 + 6x + 1 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -1/2) \cup (-1/4, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием для данного случая $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

$(-\infty, -1/2) \cup (-1/4, \infty) \cap ((-1, 0) \cup (0, 1)) = (-1, -1/2) \cup (-1/4, 0) \cup (0, 1)$.

Все точки из ОДЗ ($x \ne -1, -1/3, 0, 1$) учтены. В частности, $x=-1/3$ находится в интервале $(-1/2, -1/4)$, который не входит в полученное решение.

Итоговое решение является решением из второго случая.

Ответ: $x \in (-1, -1/2) \cup (-1/4, 0) \cup (0, 1)$.