Номер 1612, страница 431 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1612, страница 431.

Условие.

Решить неравенство (1612—1615).

1612 1) $(\frac{2}{5})^{x^2 - 5x + 6} < 1;$

2) $5^x - 3^{x + 1} > 2 (5^{x - 1} - 3^{x - 2}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано показательное неравенство $(\frac{2}{5})^{x^2 - 5x + 6} < 1$. Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{2}{5}$: $1 = (\frac{2}{5})^0$. Неравенство принимает вид: $(\frac{2}{5})^{x^2 - 5x + 6} < (\frac{2}{5})^0$. Так как основание степени $a = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $x^2 - 5x + 6 > 0$. Это квадратичное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Квадратный трехчлен можно разложить на множители: $(x - 2)(x - 3) > 0$. Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Она принимает положительные значения при $x$, находящихся за пределами интервала между корнями. Следовательно, решение неравенства есть объединение двух интервалов: $x < 2$ и $x > 3$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

2) Дано неравенство $5^x - 3^{x+1} > 2(5^{x-1} - 3^{x-2})$. Сначала раскроем скобки и преобразуем степени, используя их свойства: $5^x - 3 \cdot 3^x > 2 \cdot \frac{5^x}{5} - 2 \cdot \frac{3^x}{3^2}$ $5^x - 3 \cdot 3^x > \frac{2}{5} \cdot 5^x - \frac{2}{9} \cdot 3^x$ Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями: перенесем все члены с $5^x$ в левую часть, а с $3^x$ — в правую. $5^x - \frac{2}{5} \cdot 5^x > 3 \cdot 3^x - \frac{2}{9} \cdot 3^x$ Вынесем общие множители $5^x$ и $3^x$ за скобки: $5^x(1 - \frac{2}{5}) > 3^x(3 - \frac{2}{9})$ Вычислим значения в скобках: $5^x \cdot \frac{3}{5} > 3^x \cdot \frac{25}{9}$ Разделим обе части неравенства на $3^x$. Так как $3^x > 0$ при любом $x$, знак неравенства не изменится. $\frac{5^x}{3^x} \cdot \frac{3}{5} > \frac{25}{9}$ $(\frac{5}{3})^x > \frac{25}{9} \div \frac{3}{5}$ $(\frac{5}{3})^x > \frac{25}{9} \cdot \frac{5}{3}$ $(\frac{5}{3})^x > \frac{125}{27}$ Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{3}$: $(\frac{5}{3})^x > (\frac{5}{3})^3$ Так как основание степени $a = \frac{5}{3}$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $x > 3$.
Ответ: $x \in (3, \infty)$.