Номер 1611, страница 430 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1611, страница 430.

Условие.

1611 Найти все значения a, при которых является верным при всех значениях x неравенство:

1) $\frac{8x^2 - 4x + 3}{4x^2 - 2x + 1} \le a;$

2) $\frac{3x^2 - 4x + 8}{9x^2 - 12x + 16} \ge a.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Требуется найти все значения $a$, при которых неравенство $\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1} \le a$ является верным при всех значениях $x$.

Это означает, что параметр $a$ должен быть больше или равен максимальному значению функции $f(x) = \frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1}$.

В первую очередь, проанализируем знаменатель дроби: $4x^2-2x+1$. Найдем его дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12$.

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($4 > 0$), выражение в знаменателе $4x^2-2x+1$ всегда положительно при любых действительных значениях $x$.

Теперь преобразуем выражение для функции $f(x)$. Можно заметить, что числитель связан со знаменателем:

$8x^2-4x+3 = 2(4x^2-2x) + 3 = 2(4x^2-2x+1-1) + 3 = 2(4x^2-2x+1) - 2 + 3 = 2(4x^2-2x+1) + 1$.

Подставим это в исходную функцию:

$f(x) = \frac{2(4x^2-2x+1) + 1}{4x^2-2x+1} = \frac{2(4x^2-2x+1)}{4x^2-2x+1} + \frac{1}{4x^2-2x+1} = 2 + \frac{1}{4x^2-2x+1}$.

Чтобы найти максимальное значение функции $f(x)$, необходимо найти максимальное значение дроби $\frac{1}{4x^2-2x+1}$. Это равносильно нахождению минимального значения знаменателя $g(x) = 4x^2-2x+1$.

Функция $g(x)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Своё минимальное значение она принимает в вершине. Координата вершины по оси абсцисс: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Минимальное значение знаменателя $g(x)$ равно:

$g_{min} = g(\frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{4})^2 - 2(\frac{1}{4}) + 1 = 4 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$.

Следовательно, максимальное значение дроби $\frac{1}{g(x)}$ равно $\frac{1}{g_{min}} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

Тогда максимальное значение функции $f(x)$ составляет:

$f_{max} = 2 + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$.

Неравенство $f(x) \le a$ будет выполняться для всех $x$ только в том случае, если $a$ не меньше максимального значения функции $f(x)$. Таким образом, $a \ge \frac{10}{3}$.

Ответ: $a \in [\frac{10}{3}, +\infty)$.

2) Требуется найти все значения $a$, при которых неравенство $\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16} \ge a$ является верным при всех значениях $x$.

Это означает, что параметр $a$ должен быть меньше или равен минимальному значению (инфимуму) функции $f(x) = \frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16}$.

Рассмотрим знаменатель $9x^2-12x+16$. Его дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 144 - 576 = -432$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $9 > 0$, знаменатель всегда положителен.

Для нахождения множества значений функции $f(x)$ введем параметр $y=f(x)$ и решим уравнение относительно $x$:

$y = \frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16}$

$y(9x^2-12x+16) = 3x^2-4x+8$

$9yx^2 - 12yx + 16y - 3x^2 + 4x - 8 = 0$

$(9y-3)x^2 - (12y-4)x + (16y-8) = 0$

Чтобы это уравнение имело действительные решения для $x$, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю, т.е. $9y-3=0$, откуда $y = \frac{1}{3}$. Уравнение становится линейным:

$-(12 \cdot \frac{1}{3} - 4)x + (16 \cdot \frac{1}{3} - 8) = 0$

$-(4-4)x + (\frac{16-24}{3}) = 0$

$0 \cdot x - \frac{8}{3} = 0 \Rightarrow -\frac{8}{3} = 0$.

Получено неверное равенство, значит, при $y = \frac{1}{3}$ уравнение не имеет решений. Это означает, что функция $f(x)$ никогда не принимает значение $\frac{1}{3}$.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, т.е. $y \neq \frac{1}{3}$. Уравнение является квадратным и имеет действительные корни, если его дискриминант $D_x \ge 0$.

$D_x = (-(12y-4))^2 - 4(9y-3)(16y-8) \ge 0$

$(4(3y-1))^2 - 4 \cdot 3(3y-1) \cdot 8(2y-1) \ge 0$

$16(3y-1)^2 - 96(3y-1)(2y-1) \ge 0$

Разделим обе части на 16:

$(3y-1)^2 - 6(3y-1)(2y-1) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(3y-1)$ за скобку:

$(3y-1)[(3y-1) - 6(2y-1)] \ge 0$

$(3y-1)(3y-1 - 12y+6) \ge 0$

$(3y-1)(-9y+5) \ge 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$(3y-1)(9y-5) \le 0$

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно верно для $y \in [\frac{1}{3}, \frac{5}{9}]$.

Совмещая с результатом первого случая ($y \neq \frac{1}{3}$), получаем, что множество значений функции $f(x)$ есть полуинтервал $E(f) = (\frac{1}{3}, \frac{5}{9}]$.

Исходное неравенство $f(x) \ge a$ должно быть верным для всех $x$, то есть для всех значений $f(x)$ из множества $E(f)$. Это возможно, только если $a$ меньше или равно любому значению из этого множества, то есть $a$ должно быть меньше или равно его точной нижней грани (инфимуму).

Инфимум множества $(\frac{1}{3}, \frac{5}{9}]$ равен $\frac{1}{3}$.

Следовательно, $a \le \frac{1}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty, \frac{1}{3}]$.