Номер 1607, страница 430 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1607, страница 430.

Условие.

1607 1) $\begin{cases} 6^x - 2 \cdot 3^y = 2, \\ 6^x \cdot 3^y = 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 7 \cdot 2^x + 6y = 2, \\ 3 \cdot 2^{x+1} - 5y = 93. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 6^x - 2 \cdot 3^y = 2, \\ 6^x \cdot 3^y = 12; \end{cases} $$

Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $a = 6^x$ и $b = 3^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $a > 0$ и $b > 0$.

Подставим новые переменные в систему:

$$ \begin{cases} a - 2b = 2, \\ a \cdot b = 12; \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 2 + 2b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(2 + 2b) \cdot b = 12$

$2b^2 + 2b = 12$

Разделим обе части уравнения на 2:

$b^2 + b = 6$

$b^2 + b - 6 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями являются $b_1 = 2$ и $b_2 = -3$.

Так как мы установили, что $b > 0$, корень $b_2 = -3$ не является решением. Следовательно, $b = 2$.

Теперь найдем соответствующее значение $a$:

$a = 2 + 2b = 2 + 2 \cdot 2 = 2 + 4 = 6$.

Значение $a=6$ удовлетворяет условию $a > 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$a = 6^x \implies 6 = 6^x \implies x = 1$.

$b = 3^y \implies 2 = 3^y \implies y = \log_3 2$.

Проверим найденное решение, подставив его в исходную систему:

$6^1 - 2 \cdot 3^{\log_3 2} = 6 - 2 \cdot 2 = 2$ (верно)

$6^1 \cdot 3^{\log_3 2} = 6 \cdot 2 = 12$ (верно)

Ответ: $(1; \log_3 2)$

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 7 \cdot 2^x + 6y = 2, \\ 3 \cdot 2^{x+1} - 5y = 93; \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3 \cdot 2^{x+1} = 3 \cdot (2^x \cdot 2^1) = 6 \cdot 2^x$.

Теперь система выглядит так:

$$ \begin{cases} 7 \cdot 2^x + 6y = 2, \\ 6 \cdot 2^x - 5y = 93; \end{cases} $$

Введем новую переменную $a = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то $a > 0$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} 7a + 6y = 2, \\ 6a - 5y = 93; \end{cases} $$

Это система линейных уравнений. Решим ее методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 6, чтобы исключить переменную $y$:

$$ \begin{cases} 5(7a + 6y) = 5 \cdot 2, \\ 6(6a - 5y) = 6 \cdot 93; \end{cases} \implies \begin{cases} 35a + 30y = 10, \\ 36a - 30y = 558; \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$(35a + 30y) + (36a - 30y) = 10 + 558$

$71a = 568$

$a = \frac{568}{71} = 8$.

Значение $a=8$ удовлетворяет условию $a > 0$.

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение исходной линейной системы, чтобы найти $y$:

$7a + 6y = 2$

$7 \cdot 8 + 6y = 2$

$56 + 6y = 2$

$6y = 2 - 56$

$6y = -54$

$y = -9$.

Теперь вернемся к переменной $x$:

$a = 2^x \implies 8 = 2^x \implies 2^3 = 2^x \implies x=3$.

Проверим найденное решение $(3; -9)$:

$7 \cdot 2^3 + 6(-9) = 7 \cdot 8 - 54 = 56 - 54 = 2$ (верно)

$3 \cdot 2^{3+1} - 5(-9) = 3 \cdot 2^4 + 45 = 3 \cdot 16 + 45 = 48 + 45 = 93$ (верно)

Ответ: $(3; -9)$