Номер 1602, страница 430 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1602, страница 430.

Условие.

1602 Найти все корни уравнения $cos x + (1 + cos x) tg^2 x - 1 = 0$, удовлетворяющие неравенству $tg x > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Исходное уравнение: $\cos x + (1 + \cos x) \tg^2 x - 1 = 0$. Требуется найти корни, удовлетворяющие неравенству $\tg x > 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнение входит $\tg x$, необходимо, чтобы $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого $n$.

Преобразуем уравнение. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$, откуда $\tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $\cos x + (1 + \cos x) \left( \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \right) - 1 = 0$

Раскроем скобки в полученном выражении: $\cos x + \frac{1 + \cos x}{\cos^2 x} - (1 + \cos x) - 1 = 0$ $\cos x + \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\cos x}{\cos^2 x} - 1 - \cos x - 1 = 0$ $\cos x + \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\cos x} - \cos x - 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $\cos x$ и $-\cos x$ взаимно уничтожаются: $\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\cos x} - 2 = 0$

Полученное уравнение является квадратным относительно $\frac{1}{\cos x}$. Для удобства решения введем замену: пусть $t = \frac{1}{\cos x}$. Уравнение принимает вид: $t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $t_1 = 1$ $t_2 = -2$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней $t$.

Случай 1: $t_1 = 1$. $\frac{1}{\cos x} = 1$, что равносильно $\cos x = 1$. Общее решение этого уравнения: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $\tg x > 0$. Если $x = 2\pi k$, то $\sin x = \sin(2\pi k) = 0$. Тогда $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{0}{1} = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным, поэтому данная серия корней не является решением задачи.

Случай 2: $t_2 = -2$. $\frac{1}{\cos x} = -2$, что равносильно $\cos x = -\frac{1}{2}$. Общее решение этого уравнения имеет вид: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем две серии корней:
1) $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
2) $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Проверим для этих серий выполнение условия $\tg x > 0$. Неравенство $\tg x > 0$ выполняется, когда угол $x$ находится в I или III координатной четверти, то есть когда $\sin x$ и $\cos x$ имеют одинаковые знаки.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, углы находятся во II координатной четверти. Здесь $\cos x = -1/2 < 0$, а $\sin x = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. Знаки разные, значит $\tg x < 0$. Эта серия корней не подходит.

Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, углы находятся в III координатной четверти. Здесь $\cos x = -1/2 < 0$, а $\sin x = \sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. Знаки одинаковые, значит $\tg x > 0$. Эта серия корней удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.