Номер 1597, страница 429 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1597, страница 429.

Условие.

Решить уравнение (1597—1601).

1597 1) $9 \cdot 4^x + 5 \cdot 6^x = 4 \cdot 9^x;$

2) $\log_2 (x^2 - 3) - \log_2 (6x - 10) + 1 = 0;$

3) $2 \log_2 x - 2 \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{\log_2 x};$

4) $\log_x (2x^2 - 3x - 4) = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное уравнение: $9 \cdot 4^{\frac{1}{x}} + 5 \cdot 6^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot 9^{\frac{1}{x}}$.

Заметим, что основания степеней $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, а $6 = 2 \cdot 3$. Перепишем уравнение в виде:

$9 \cdot (2^2)^{\frac{1}{x}} + 5 \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot (3^2)^{\frac{1}{x}}$

$9 \cdot 2^{\frac{2}{x}} + 5 \cdot 2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot 3^{\frac{2}{x}}$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $9^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{2}{x}}$. Так как $3^{\frac{2}{x}} > 0$ при любом допустимом $x$ (где $x \neq 0$), то это преобразование является равносильным.

$9 \cdot \frac{2^{\frac{2}{x}}}{3^{\frac{2}{x}}} + 5 \cdot \frac{2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}}}{3^{\frac{2}{x}}} = 4 \cdot \frac{3^{\frac{2}{x}}}{3^{\frac{2}{x}}}$

$9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{2}{x}} + 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}} = 4$

$9 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}}\right)^2 + 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}} - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}}$. Так как основание степени положительно, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$9t^2 + 5t - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

$t_2 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1$

Условию $t > 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = \frac{4}{9}$.

Вернемся к исходной переменной:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{4}{9}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$\frac{1}{x} = 2 \implies x = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2)

Исходное уравнение: $\log_2(x^2 - 3) - \log_2(6x - 10) + 1 = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:

$\begin{cases} x^2 - 3 > 0 \\ 6x - 10 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -\sqrt{3} \text{ или } x > \sqrt{3} \\ x > \frac{10}{6} \end{cases} \implies \begin{cases} x < -\sqrt{3} \text{ или } x > \sqrt{3} \\ x > \frac{5}{3} \end{cases}$

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, а $\frac{5}{3} \approx 1.667$, то $\sqrt{3} > \frac{5}{3}$. Пересечением этих условий будет $x > \sqrt{3}$.

Преобразуем уравнение:

$\log_2(x^2 - 3) - \log_2(6x - 10) = -1$

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_2\left(\frac{x^2 - 3}{6x - 10}\right) = -1$

По определению логарифма:

$\frac{x^2 - 3}{6x - 10} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Решим полученное уравнение:

$2(x^2 - 3) = 6x - 10$

$2x^2 - 6 = 6x - 10$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x > \sqrt{3}$):

$x_1 = 1$: $1 < \sqrt{3}$, корень не принадлежит ОДЗ.

$x_2 = 2$: $2 > \sqrt{3}$ (так как $4 > 3$), корень принадлежит ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $2$.

3)

Исходное уравнение: $2 \log_2 x - 2 \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{\log_2 x}$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен, а выражение под корнем — неотрицательно:

$\begin{cases} x > 0 \\ \log_2 x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \ge 2^0 \end{cases} \implies x \ge 1$.

Упростим левую часть уравнения. Заметим, что $\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = \log_2 2^{-1/2} = -\frac{1}{2}\log_2 2 = -\frac{1}{2}$.

$2 \log_2 x - 2 \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 \sqrt{\log_2 x}$

$2 \log_2 x + 1 = 3 \sqrt{\log_2 x}$

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{\log_2 x}$. Из ОДЗ следует, что $y \ge 0$. Тогда $\log_2 x = y^2$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$2y^2 + 1 = 3y$

$2y^2 - 3y + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$y_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$. Вернемся к исходной переменной.

1) Если $y = 1$, то $\sqrt{\log_2 x} = 1 \implies \log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$.

2) Если $y = \frac{1}{2}$, то $\sqrt{\log_2 x} = \frac{1}{2} \implies \log_2 x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \implies x = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}$.

Оба найденных значения $x=2$ и $x=\sqrt[4]{2}$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 1$).

Ответ: $2; \sqrt[4]{2}$.

4)

Исходное уравнение: $\log_x (2x^2 - 3x - 4) = 2$.

Найдем ОДЗ. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице, а аргумент — строго положительным.

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x^2 - 3x - 4 > 0 \end{cases}$

Для решения неравенства $2x^2 - 3x - 4 > 0$ найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 3x - 4 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 9 + 32 = 41$. Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in \left(-\infty, \frac{3 - \sqrt{41}}{4}\right) \cup \left(\frac{3 + \sqrt{41}}{4}, \infty\right)$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$ (так как $\frac{3 - \sqrt{41}}{4} < 0$ и $\frac{3 + \sqrt{41}}{4} > 1$).

По определению логарифма преобразуем уравнение:

$2x^2 - 3x - 4 = x^2$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$):

$x_2 = -1$: не удовлетворяет условию $x > 0$, посторонний корень.

$x_1 = 4$: проверим, выполняется ли неравенство $4 > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$. Умножим обе части на 4: $16 > 3 + \sqrt{41} \implies 13 > \sqrt{41}$. Возведем в квадрат: $169 > 41$. Неравенство верное, значит корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $4$.