Номер 1580, страница 428 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1580, страница 428.

Условие.

Построить график функции (1580–1583).

1580 1) $y = \frac{\sqrt{x^2}}{x}$; 2) $y = \frac{2}{1-2x}$; 3) $y = \frac{3x+2}{2x-3}$; 4) $y = \frac{2x}{2-|x|}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана функция $y = \frac{\sqrt{x^2}}{x}$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение. Согласно определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Тогда функция принимает вид: $y = \frac{|x|}{x}$.

3. Рассмотрим два случая, чтобы раскрыть модуль:

• Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция становится $y = \frac{x}{x} = 1$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция становится $y = \frac{-x}{x} = -1$.

4. Таким образом, график функции состоит из двух частей:

• горизонтальный луч $y=1$ для всех $x > 0$. Точка $(0, 1)$ не входит в график (является выколотой), так как $x \neq 0$.
• горизонтальный луч $y=-1$ для всех $x < 0$. Точка $(0, -1)$ также является выколотой.

Ответ: График функции представляет собой два горизонтальных луча: $y=1$ при $x \in (0; +\infty)$ и $y=-1$ при $x \in (-\infty; 0)$. Точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ выколоты.

2)

Дана функция $y = \frac{2}{1-2x}$. Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола.

1. Область определения: знаменатель не равен нулю, $1-2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0.5$.

2. Найдем асимптоты.

• Вертикальная асимптота: прямая $x=0.5$, так как при $x \to 0.5$ знаменатель стремится к нулю.
• Горизонтальная асимптота: так как степень многочлена в числителе (0) меньше степени многочлена в знаменателе (1), горизонтальной асимптотой является ось абсцисс, то есть прямая $y=0$.

3. Для удобства построения преобразуем функцию к виду $y = \frac{k}{x-a}+b$:
$y = \frac{2}{1-2x} = \frac{2}{-2(x - 0.5)} = \frac{-1}{x - 0.5}$.
Это график функции $y = -1/x$, смещенный на $0.5$ вправо вдоль оси OX. Так как коэффициент $k=-1 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях относительно асимптот.

4. Найдем несколько точек для построения:

• При $x=0$: $y = \frac{2}{1-0} = 2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 2)$.
• При $x=1$: $y = \frac{2}{1-2} = -2$. Точка $(1, -2)$.
• При $x=-1$: $y = \frac{2}{1 - 2(-1)} = \frac{2}{3}$. Точка $(-1, 2/3)$.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=0.5$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот. График проходит через точки $(0, 2)$, $(1, -2)$ и $(-1, 2/3)$.

3)

Дана функция $y = \frac{3x+2}{2x-3}$. Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола.

1. Область определения: $2x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1.5$.

2. Найдем асимптоты.

• Вертикальная асимптота: прямая $x = 1.5$.
• Горизонтальная асимптота: $y = \lim_{x\to\infty} \frac{3x+2}{2x-3} = \lim_{x\to\infty} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} = 1.5$. Итак, прямая $y=1.5$ — горизонтальная асимптота.

3. Чтобы определить расположение ветвей, выделим целую часть:
$y = \frac{3x+2}{2x-3} = \frac{1.5(2x-3) + 4.5 + 2}{2x-3} = 1.5 + \frac{6.5}{2x-3} = 1.5 + \frac{3.25}{x-1.5}$.
Так как коэффициент $k=3.25 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях относительно асимптот.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y = \frac{3(0)+2}{2(0)-3} = -\frac{2}{3}$. Точка $(0, -2/3)$.
• Пересечение с осью OX (при $y=0$): $\frac{3x+2}{2x-3} = 0 \Rightarrow 3x+2=0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$. Точка $(-2/3, 0)$.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=1.5$ и горизонтальной асимптотой $y=1.5$. Ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот. График пересекает оси координат в точках $(0, -2/3)$ и $(-2/3, 0)$.

4)

Дана функция $y = \frac{2x}{2-|x|}$. Наличие модуля $|x|$ требует рассмотрения двух случаев.

1. Область определения: $2-|x| \neq 0 \Rightarrow |x| \neq 2 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$.

2. Рассмотрим функцию на двух промежутках:

• При $x \ge 0$ (и $x \neq 2$): $|x|=x$, функция имеет вид $y = \frac{2x}{2-x}$.
  Это гипербола. Преобразуем ее: $y = \frac{-2(2-x)+4}{2-x} = -2 + \frac{4}{2-x} = -2 - \frac{4}{x-2}$.
  На этом промежутке у графика вертикальная асимптота $x=2$ и горизонтальная асимптота $y=-2$. График проходит через точки $(0,0)$ и $(1,2)$.
• При $x < 0$ (и $x \neq -2$): $|x|=-x$, функция имеет вид $y = \frac{2x}{2-(-x)} = \frac{2x}{2+x}$.
  Это также гипербола: $y = \frac{2(x+2)-4}{x+2} = 2 - \frac{4}{x+2}$.
  На этом промежутке у графика вертикальная асимптота $x=-2$ и горизонтальная асимптота $y=2$. График проходит через точки $(-1, -2)$ и $(-3, 6)$.

3. Заметим, что функция является нечетной: $f(-x) = \frac{2(-x)}{2-|-x|} = \frac{-2x}{2-|x|} = -f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат.

4. Итоговый график состоит из трех частей. У него две вертикальные асимптоты ($x=-2$, $x=2$) и две разные горизонтальные асимптоты ($y=2$ при $x \to -\infty$ и $y=-2$ при $x \to +\infty$).

Ответ: График функции состоит из частей двух гипербол, симметричных относительно начала координат. Вертикальные асимптоты: $x=-2$ и $x=2$. Горизонтальные асимптоты: $y=2$ (для $x<0$) и $y=-2$ (для $x>0$). График проходит через начало координат.