Страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

33.4 Верно ли равенство:

а) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$;

б) $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 3$;

в) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 2$;

г) $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = 3 - \sqrt{6}?$

а) Проверим равенство $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$.

Для проверки преобразуем выражение в левой части, выделив под корнем полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим подкоренное выражение $7 - 4\sqrt{3}$ в нужном виде:

$7 - 4\sqrt{3} = 7 - 2 \cdot 2\sqrt{3}$.

Мы ищем числа $a$ и $b$, такие что $a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$ (или $ab=2\sqrt{3}$). Подходят числа $a=2$ и $b=\sqrt{3}$, так как $2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$.

Тогда $7 - 4\sqrt{3} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2$.

Следовательно, левая часть равенства равна:

$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}|$.

Поскольку $2 = \sqrt{4}$, а $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, то разность $2 - \sqrt{3}$ положительна. Значит, $|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$.

Левая часть равна $2 - \sqrt{3}$, что совпадает с правой частью. Равенство верно.

Ответ: да, верно.

б) Проверим равенство $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 3$.

Определим знак левой и правой частей равенства. Левая часть, как результат извлечения арифметического квадратного корня, является неотрицательным числом: $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} \ge 0$.

Для правой части сравним числа $\sqrt{5}$ и $3$. Возведем их в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $3^2 = 9$. Поскольку $5 < 9$, то $\sqrt{5} < 3$. Это означает, что разность $\sqrt{5} - 3$ отрицательна.

Левая часть равенства неотрицательна, а правая — отрицательна. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, следовательно, равенство неверно.

Ответ: нет, неверно.

в) Проверим равенство $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 2$.

Определим знак левой и правой частей равенства. Левая часть, как результат извлечения арифметического квадратного корня, является неотрицательным числом: $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} \ge 0$.

Для правой части сравним числа $\sqrt{3}$ и $2$. Возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$. Поскольку $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$. Это означает, что разность $\sqrt{3} - 2$ отрицательна.

Левая часть равенства неотрицательна, а правая — отрицательна. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: нет, неверно.

г) Проверим равенство $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = 3 - \sqrt{6}$.

Преобразуем выражение в левой части, выделив под корнем полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим подкоренное выражение $15 - 6\sqrt{6}$ в нужном виде:

$15 - 6\sqrt{6} = 15 - 2 \cdot 3\sqrt{6}$.

Мы ищем числа $a$ и $b$, такие что $a^2 + b^2 = 15$ и $ab=3\sqrt{6}$. Подходят числа $a=3$ и $b=\sqrt{6}$, так как $3^2 + (\sqrt{6})^2 = 9 + 6 = 15$.

Тогда $15 - 6\sqrt{6} = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = (3 - \sqrt{6})^2$.

Следовательно, левая часть равенства равна:

$\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} = |3 - \sqrt{6}|$.

Поскольку $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} > \sqrt{6}$, то разность $3 - \sqrt{6}$ положительна. Значит, $|3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}$.

Левая часть равна $3 - \sqrt{6}$, что совпадает с правой частью. Равенство верно.

Ответ: да, верно.

33.1 Назовите подкоренное число и показатель корня:

а) $\sqrt[4]{3};$

б) $\sqrt[7]{5};$

в) $\sqrt{11};$

г) $\sqrt[15]{37}.$

Для определения подкоренного числа и показателя корня необходимо проанализировать структуру выражения $\sqrt[n]{a}$.

• Подкоренное число (или радиранд) — это число $a$, которое находится под знаком корня (радикала).
• Показатель корня — это число $n$, которое указывает на степень извлекаемого корня. Если показатель корня не указан, как в случае с квадратным корнем $\sqrt{a}$, то он по определению равен 2.

Применим эти определения к каждому из выражений в задаче.

а) В выражении $\sqrt[4]{3}$ число под знаком корня — это 3, а число, указывающее степень корня, — это 4.

Ответ: подкоренное число — 3, показатель корня — 4.

б) В выражении $\sqrt[7]{5}$ число под знаком корня — это 5, а показатель степени корня — это 7.

Ответ: подкоренное число — 5, показатель корня — 7.

в) В выражении $\sqrt{11}$ число под знаком корня — это 11. Показатель корня не написан, что является стандартным обозначением для квадратного корня. Показатель квадратного корня равен 2.

Ответ: подкоренное число — 11, показатель корня — 2.

г) В выражении $\sqrt[15]{37}$ число под знаком корня — это 37, а показатель степени корня — это 15.

Ответ: подкоренное число — 37, показатель корня — 15.

Вычислите:

33.5 а) $\sqrt[4]{16}$;

б) $\sqrt[5]{32}$;

в) $\sqrt[4]{81}$;

г) $\sqrt[3]{64}$.

а)

Чтобы вычислить корень четвертой степени из 16, то есть найти значение выражения $\sqrt[4]{16}$, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень будет равно 16. Таким числом является 2, поскольку:

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$

Таким образом, $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Ответ: 2

б)

Чтобы вычислить корень пятой степени из 32, то есть найти значение выражения $\sqrt[5]{32}$, необходимо найти такое число, которое при возведении в пятую степень будет равно 32. Таким числом является 2, поскольку:

$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

Таким образом, $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.

Ответ: 2

в)

Чтобы вычислить корень четвертой степени из 81, то есть найти значение выражения $\sqrt[4]{81}$, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень будет равно 81. Таким числом является 3, поскольку:

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

Таким образом, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: 3

г)

Чтобы вычислить корень третьей степени из 64, то есть найти значение выражения $\sqrt[3]{64}$, необходимо найти такое число, которое при возведении в третью степень (в куб) будет равно 64. Таким числом является 4, поскольку:

$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$

Таким образом, $\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$.

Ответ: 4

33.2 Докажите, что верно равенство:

а) $\sqrt{361} = 19;$

б) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2};$

в) $\sqrt[3]{343} = 7;$

г) $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}.$

а) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt{361} = 19$, необходимо, согласно определению арифметического квадратного корня, проверить два условия:
1. Число $19$ является неотрицательным: $19 \ge 0$. Это верно.
2. Квадрат числа $19$ равен подкоренному выражению $361$. Проверим это: $19^2 = 19 \times 19 = 361$. Это также верно.
Поскольку оба условия определения выполняются, равенство является верным.
Ответ: Равенство верно.

б) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$, необходимо, согласно определению арифметического корня n-ой степени, проверить два условия:
1. Число $\frac{1}{2}$ является неотрицательным: $\frac{1}{2} \ge 0$. Это верно.
2. Шестая степень числа $\frac{1}{2}$ равна подкоренному выражению $\frac{1}{64}$. Проверим это: $(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$. Это также верно.
Поскольку оба условия определения выполняются, равенство является верным.
Ответ: Равенство верно.

в) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt[3]{343} = 7$, необходимо, согласно определению арифметического корня n-ой степени, проверить два условия:
1. Число $7$ является неотрицательным (так как подкоренное выражение положительно): $7 \ge 0$. Это верно.
2. Куб числа $7$ равен подкоренному выражению $343$. Проверим это: $7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343$. Это также верно.
Поскольку оба условия определения выполняются, равенство является верным.
Ответ: Равенство верно.

г) Чтобы доказать верность равенства $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$, необходимо, согласно определению арифметического корня n-ой степени, проверить два условия:
1. Число $\frac{2}{3}$ является неотрицательным (так как подкоренное выражение положительно): $\frac{2}{3} \ge 0$. Это верно.
2. Пятая степень числа $\frac{2}{3}$ равна подкоренному выражению $\frac{32}{243}$. Проверим это: $(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$. Это также верно.
Поскольку оба условия определения выполняются, равенство является верным.
Ответ: Равенство верно.

33.3 Объясните, почему неверно равенство:

a) $\sqrt{25} = -5;$

б) $\sqrt[6]{-64} = -2;$

в) $-\sqrt[3]{-8} = -2;$

г) $\sqrt[4]{625} = -25.$

а) Равенство $\sqrt{25} = -5$ неверно, потому что по определению арифметического квадратного корня, его значение не может быть отрицательным числом. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. В данном случае, $\sqrt{25} = 5$, так как $5^2 = 25$ и $5 \ge 0$.
Ответ: Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.

б) Равенство $\sqrt[6]{-64} = -2$ неверно, потому что в области действительных чисел корень четной степени (в данном случае 6-й степени) из отрицательного числа не определен. Не существует такого действительного числа $x$, чтобы $x^6 = -64$, так как любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат ($x^6 \ge 0$).
Ответ: Корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел.

в) Равенство $-\sqrt[3]{-8} = -2$ неверно. Вычислим левую часть равенства. Корень нечетной степени (3-й степени) из отрицательного числа существует и является отрицательным числом: $\sqrt[3]{-8} = -2$, так как $(-2)^3 = -8$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $-(\sqrt[3]{-8}) = -(-2) = 2$. Таким образом, левая часть равенства равна $2$, а правая равна $-2$. Равенство $2 = -2$ является ложным.
Ответ: Левая часть равенства равна $2$, а не $-2$.

г) Равенство $\sqrt[4]{625} = -25$ неверно. По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае 4-й степени) из неотрицательного числа есть число неотрицательное. Значение $\sqrt[4]{625}$ должно быть больше или равно нулю. Правильное значение: $\sqrt[4]{625} = 5$, поскольку $5^4 = 625$ и $5 \ge 0$. Кроме того, стоит заметить, что $(-25)^4 = 390625$, а не $625$.
Ответ: Значение арифметического корня четной степени не может быть отрицательным.