Страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

ч. 2. Cтраница 125

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125
№32.12 (с. 125)
Условие. №32.12 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.12, Условие

32.12 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x + \frac{4}{x-1}$ на отрезке:

а) [2; 4];

б) [-2; 0].

Решение 1. №32.12 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.12, Решение 1
Решение 2. №32.12 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.12, Решение 2
Решение 3. №32.12 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.12, Решение 3
Решение 5. №32.12 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.12, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.12, Решение 5 (продолжение 2)
Решение 6. №32.12 (с. 125)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом отрезке необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в тех критических точках, которые ему принадлежат. Затем из всех полученных значений выбрать самое большое и самое маленькое.

Дана функция: $y = x + \frac{4}{x-1}$.

Сначала найдем ее производную:

$y'(x) = \left(x + \frac{4}{x-1}\right)' = (x)' + \left(4(x-1)^{-1}\right)' = 1 + 4(-1)(x-1)^{-2} = 1 - \frac{4}{(x-1)^2}$.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Производная не существует в точке $x=1$, но эта точка не входит в область определения функции.

$y'(x) = 0 \implies 1 - \frac{4}{(x-1)^2} = 0$

$(x-1)^2 = 4$

Отсюда получаем две критические точки:

$x-1 = 2 \implies x_1 = 3$

$x-1 = -2 \implies x_2 = -1$

а) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[2; 4]$.

Внутри этого отрезка лежит одна критическая точка: $x=3$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка, в точках $x=2$ и $x=4$:

$y(2) = 2 + \frac{4}{2-1} = 2 + 4 = 6$.

$y(3) = 3 + \frac{4}{3-1} = 3 + \frac{4}{2} = 5$.

$y(4) = 4 + \frac{4}{4-1} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$.

Среди значений $\{6, 5, 5\frac{1}{3}\}$ наибольшее равно 6, а наименьшее равно 5.

Ответ: $y_{наиб}=6$, $y_{наим}=5$.

б) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 0]$.

Внутри этого отрезка лежит одна критическая точка: $x=-1$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка, в точках $x=-2$ и $x=0$:

$y(-2) = -2 + \frac{4}{-2-1} = -2 - \frac{4}{3} = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$.

$y(-1) = -1 + \frac{4}{-1-1} = -1 - 2 = -3$.

$y(0) = 0 + \frac{4}{0-1} = -4$.

Среди значений $\{-3\frac{1}{3}, -3, -4\}$ наибольшее равно -3, а наименьшее равно -4.

Ответ: $y_{наиб}=-3$, $y_{наим}=-4$.

№32.16 (с. 125)
Условие. №32.16 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.16, Условие

32.16 a) $y = x^2 - 4x + 5 + |1 - x|$, $[0; 4];

б) $y = |x^3 - 1| - 3x$, $[-1; 3].

Решение 1. №32.16 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.16, Решение 1
Решение 2. №32.16 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.16, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.16, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №32.16 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.16, Решение 3
Решение 5. №32.16 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.16, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.16, Решение 5 (продолжение 2)
Решение 6. №32.16 (с. 125)
а)

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 5 + |1 - x|$ на отрезке $[0; 4]$.

Сначала раскроем модуль. Выражение под модулем $1-x$ меняет знак в точке $x=1$. Эта точка принадлежит нашему отрезку $[0; 4]$, поэтому рассмотрим два случая.

1. При $x \in [0; 1]$ имеем $1 - x \ge 0$, следовательно $|1 - x| = 1 - x$.
Функция принимает вид: $y = x^2 - 4x + 5 + (1 - x) = x^2 - 5x + 6$.
Найдем производную: $y' = (x^2 - 5x + 6)' = 2x - 5$.
На отрезке $[0; 1]$ производная $y'$ отрицательна (например, $y'(0) = -5$, $y'(1) = -3$), значит, функция на этом отрезке убывает. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке достигаются на его концах.
$y(0) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$.
$y(1) = 1^2 - 5(1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2$.

2. При $x \in (1; 4]$ имеем $1 - x < 0$, следовательно $|1 - x| = -(1 - x) = x - 1$.
Функция принимает вид: $y = x^2 - 4x + 5 + (x - 1) = x^2 - 3x + 4$.
Найдем производную: $y' = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5$.
Точка $x = 1.5$ принадлежит рассматриваемому интервалу $(1; 4]$. Это точка локального минимума, так как при $x < 1.5$ производная отрицательна, а при $x > 1.5$ — положительна.
Вычислим значение функции в этой точке и на конце отрезка $x=4$.
$y(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) + 4 = 2.25 - 4.5 + 4 = 1.75$.
$y(4) = 4^2 - 3(4) + 4 = 16 - 12 + 4 = 8$.

Теперь сравним все полученные значения функции в точках $0, 1, 1.5, 4$:
$y(0) = 6$
$y(1) = 2$
$y(1.5) = 1.75$
$y(4) = 8$
Наибольшее значение функции на отрезке $[0; 4]$ равно 8, а наименьшее — 1.75.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 1.75$, наибольшее значение функции $y_{max} = 8$.

б)

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = |x^3 - 1| - 3x$ на отрезке $[-1; 3]$.

Раскроем модуль. Выражение $x^3 - 1$ меняет знак в точке $x=1$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 3]$, поэтому рассмотрим два случая.

1. При $x \in [-1; 1]$ имеем $x^3 - 1 \le 0$, следовательно $|x^3 - 1| = -(x^3 - 1) = 1 - x^3$.
Функция принимает вид: $y = (1 - x^3) - 3x = -x^3 - 3x + 1$.
Найдем производную: $y' = (-x^3 - 3x + 1)' = -3x^2 - 3 = -3(x^2 + 1)$.
Так как $x^2 + 1 > 0$ для всех $x$, то производная $y'$ всегда отрицательна. Это значит, что функция на отрезке $[-1; 1]$ монотонно убывает. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.
$y(-1) = -(-1)^3 - 3(-1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$.
$y(1) = -(1)^3 - 3(1) + 1 = -1 - 3 + 1 = -3$.

2. При $x \in (1; 3]$ имеем $x^3 - 1 > 0$, следовательно $|x^3 - 1| = x^3 - 1$.
Функция принимает вид: $y = (x^3 - 1) - 3x = x^3 - 3x - 1$.
Найдем производную: $y' = (x^3 - 3x - 1)' = 3x^2 - 3$.
Найдем критические точки: $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Интервалу $(1; 3]$ ни одна из этих точек не принадлежит. Однако, на этом интервале $y' = 3(x^2-1) > 0$, значит, функция монотонно возрастает. Наименьшее значение будет при $x \to 1^+$, а наибольшее при $x=3$.
Мы уже знаем, что $y(1)=-3$.
Вычислим значение на правом конце отрезка:
$y(3) = 3^3 - 3(3) - 1 = 27 - 9 - 1 = 17$.

Сравним значения функции на концах исходного отрезка $[-1; 3]$ и в точке "излома" $x=1$:
$y(-1) = 5$
$y(1) = -3$
$y(3) = 17$
Наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ равно 17, а наименьшее — -3.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -3$, наибольшее значение функции $y_{max} = 17$.

№32.13 (с. 125)
Условие. №32.13 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.13, Условие

32.13 Найдите область значений функции:

a) $y = \operatorname{ctg} x + x, x \in \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4} \right];$

б) $y = 2 \sin x - x, x \in [0; \pi];$

в) $y = 2 \cos x + x, x \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right];$

г) $y = \operatorname{tg} x - x, x \in \left[ 0; \frac{\pi}{3} \right].$

Решение 1. №32.13 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.13, Решение 1
Решение 2. №32.13 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.13, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.13, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №32.13 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.13, Решение 3
Решение 5. №32.13 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.13, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.13, Решение 5 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.13, Решение 5 (продолжение 3) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.13, Решение 5 (продолжение 4)
Решение 6. №32.13 (с. 125)

а) Для нахождения области значений функции $y = \text{ctg } x + x$ на отрезке $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$, мы воспользуемся производной. Функция непрерывна на данном отрезке.
1. Найдем производную функции: $y' = (\text{ctg } x + x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} + 1$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$1 - \frac{1}{\sin^2 x} = 0 \implies \sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm 1$.
На отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$ этому условию удовлетворяет только точка $x = \frac{\pi}{2}$.
3. Для любого $x$ из отрезка $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$, значение $\sin x$ находится в пределах $[\frac{\sqrt{2}}{2}; 1]$. Следовательно, $\sin^2 x \in [\frac{1}{2}; 1]$. Тогда $\frac{1}{\sin^2 x} \ge 1$, и производная $y' = 1 - \frac{1}{\sin^2 x} \le 0$ на всем отрезке. Это означает, что функция является неубывающей (монотонно убывает).
4. Поскольку функция монотонно убывает, свое наибольшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
- Наибольшее значение: $y(\frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\pi}{4}$.
- Наименьшее значение: $y(\frac{3\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) + \frac{3\pi}{4} = -1 + \frac{3\pi}{4}$.
Таким образом, область значений функции — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.
Ответ: $[-1 + \frac{3\pi}{4}; 1 + \frac{\pi}{4}]$.

б) Для нахождения области значений функции $y = 2\sin x - x$ на отрезке $x \in [0; \pi]$, исследуем ее с помощью производной. Функция непрерывна на данном отрезке.
1. Найдем производную: $y' = (2\sin x - x)' = 2\cos x - 1$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$.
На отрезке $[0; \pi]$ решением является $x = \frac{\pi}{3}$.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
- $y(0) = 2\sin(0) - 0 = 0$.
- $y(\pi) = 2\sin(\pi) - \pi = 0 - \pi = -\pi$.
- $y(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.
4. Сравним полученные значения. $y(0)=0$, $y(\pi) \approx -3.14$, $y(\frac{\pi}{3}) \approx 1.732 - 1.047 \approx 0.685$.
Наибольшее значение функции равно $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$, а наименьшее равно $-\pi$.
Ответ: $[-\pi; \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}]$.

в) Для нахождения области значений функции $y = 2\cos x + x$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, применим стандартный алгоритм. Функция непрерывна на данном отрезке.
1. Найдем производную: $y' = (2\cos x + x)' = -2\sin x + 1$.
2. Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$: $-2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$.
На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ решением является $x = \frac{\pi}{6}$.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
- $y(-\frac{\pi}{2}) = 2\cos(-\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.
- $y(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
- $y(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$.
4. Сравним значения: $y(-\frac{\pi}{2}) \approx -1.57$, $y(\frac{\pi}{2}) \approx 1.57$, $y(\frac{\pi}{6}) \approx 1.732 + 0.524 \approx 2.256$.
Наибольшее значение равно $\sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$, а наименьшее равно $-\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}; \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}]$.

г) Для нахождения области значений функции $y = \text{tg } x - x$ на отрезке $x \in [0; \frac{\pi}{3}]$, исследуем ее монотонность. Функция непрерывна на данном отрезке.
1. Найдем производную: $y' = (\text{tg } x - x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$.
2. Используя тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$, преобразуем производную: $y' = (1 + \text{tg}^2 x) - 1 = \text{tg}^2 x$.
3. Так как $\text{tg}^2 x \ge 0$ при всех допустимых $x$, и на интервале $(0, \frac{\pi}{3}]$ значение $\text{tg}^2 x$ строго положительно, производная $y' \ge 0$. Это означает, что функция является неубывающей (монотонно возрастает) на всем отрезке $[0; \frac{\pi}{3}]$.
4. Для монотонно возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
- Наименьшее значение: $y(0) = \text{tg}(0) - 0 = 0$.
- Наибольшее значение: $y(\frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, область значений функции — это отрезок от 0 до $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $[0; \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}]$.

№32.17 (с. 125)
Условие. №32.17 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.17, Условие

Найдите область значений функции:

32.17 a) $y = 2x - \sqrt{16x - 4}$, $x \in \left[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}\right];$

б) $y = 2\sqrt{x - 1} - 0,5x$, $x \in [1; 10].$

Решение 1. №32.17 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.17, Решение 1
Решение 2. №32.17 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.17, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.17, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №32.17 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.17, Решение 3
Решение 5. №32.17 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.17, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.17, Решение 5 (продолжение 2)
Решение 6. №32.17 (с. 125)

а) Чтобы найти область значений функции $y = 2x - \sqrt{16x - 4}$ на отрезке $x \in [\frac{1}{4}; \frac{17}{4}]$, найдем ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Поскольку функция непрерывна на данном отрезке, эти значения достигаются либо в критических точках, либо на концах отрезка.
1. Найдем производную функции:
$y' = (2x - \sqrt{16x - 4})' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{16x - 4}} \cdot (16x - 4)' = 2 - \frac{16}{2\sqrt{16x - 4}} = 2 - \frac{8}{\sqrt{16x - 4}}$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$2 - \frac{8}{\sqrt{16x - 4}} = 0$
$2\sqrt{16x - 4} = 8$
$\sqrt{16x - 4} = 4$
Возведя обе части в квадрат, получим:
$16x - 4 = 16$
$16x = 20$
$x = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.
Эта точка $x = \frac{5}{4}$ принадлежит отрезку $[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}]$. Производная не определена в точке $x = \frac{1}{4}$, которая является концом отрезка.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке:
- При $x = \frac{1}{4}$: $y(\frac{1}{4}) = 2(\frac{1}{4}) - \sqrt{16(\frac{1}{4}) - 4} = \frac{1}{2} - \sqrt{4 - 4} = 0.5$.
- При $x = \frac{5}{4}$: $y(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4}) - \sqrt{16(\frac{5}{4}) - 4} = \frac{5}{2} - \sqrt{20 - 4} = 2.5 - \sqrt{16} = 2.5 - 4 = -1.5$.
- При $x = \frac{17}{4}$: $y(\frac{17}{4}) = 2(\frac{17}{4}) - \sqrt{16(\frac{17}{4}) - 4} = \frac{17}{2} - \sqrt{68 - 4} = 8.5 - \sqrt{64} = 8.5 - 8 = 0.5$.
4. Сравнивая полученные значения ($0.5$, $-1.5$, $0.5$), заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-1.5$, а наибольшее — $0.5$.
Следовательно, область значений функции есть отрезок от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $[-1.5; 0.5]$.

б) Чтобы найти область значений функции $y = 2\sqrt{x-1} - 0.5x$ на отрезке $x \in [1; 10]$, найдем ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.
1. Найдем производную функции:
$y' = (2\sqrt{x-1} - 0.5x)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} - 0.5 = \frac{1}{\sqrt{x-1}} - 0.5$.
2. Найдем критические точки из условия $y' = 0$:
$\frac{1}{\sqrt{x-1}} - 0.5 = 0$
$\frac{1}{\sqrt{x-1}} = 0.5$
$\sqrt{x-1} = 2$
Возведя обе части в квадрат, получим:
$x - 1 = 4$
$x = 5$.
Эта точка $x = 5$ принадлежит отрезку $[1; 10]$. Производная не определена при $x=1$, что является концом отрезка.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
- При $x = 1$: $y(1) = 2\sqrt{1-1} - 0.5(1) = 2 \cdot 0 - 0.5 = -0.5$.
- При $x = 5$: $y(5) = 2\sqrt{5-1} - 0.5(5) = 2\sqrt{4} - 2.5 = 2 \cdot 2 - 2.5 = 4 - 2.5 = 1.5$.
- При $x = 10$: $y(10) = 2\sqrt{10-1} - 0.5(10) = 2\sqrt{9} - 5 = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$.
4. Сравнивая полученные значения ($-0.5$, $1.5$, $1$), заключаем, что наименьшее значение функции равно $-0.5$, а наибольшее — $1.5$.
Таким образом, область значений функции на данном отрезке есть промежуток от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $[-0.5; 1.5]$.

№32.14 (с. 125)
Условие. №32.14 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.14, Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:

32.14 а) $y = x^3 - 2x^2 + 1$, $[0,5; +\infty)$;

б) $y = x - 2\sqrt{x}$, $[0; +\infty)$;

в) $y = \frac{1}{5}x^5 - x^2$, $(-\infty; 1];$

г) $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}$, $(-\infty; +\infty)$.

Решение 1. №32.14 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.14, Решение 1
Решение 2. №32.14 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.14, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.14, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №32.14 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.14, Решение 3
Решение 5. №32.14 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.14, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.14, Решение 5 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.14, Решение 5 (продолжение 3)
Решение 6. №32.14 (с. 125)

а) Рассмотрим функцию $y = x^3 - 2x^2 + 1$ на промежутке $[0,5; +\infty)$. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке, сначала найдем ее производную: $y' = (x^3 - 2x^2 + 1)' = 3x^2 - 4x$. Затем найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $3x^2 - 4x = 0 \implies x(3x - 4) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{4}{3}$. Из этих точек заданному промежутку $[0,5; +\infty)$ принадлежит только $x_2 = \frac{4}{3}$ (так как $0 < 0,5$). Вычислим значение функции в этой критической точке и на левой границе промежутка $x = 0,5$: $y(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + 1 = \frac{64}{27} - 2 \cdot \frac{16}{9} + 1 = \frac{64 - 96 + 27}{27} = -\frac{5}{27}$. $y(0,5) = (0,5)^3 - 2(0,5)^2 + 1 = 0,125 - 2 \cdot 0,25 + 1 = 0,125 - 0,5 + 1 = 0,625$. Для определения наличия наибольшего значения исследуем поведение функции при $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 2x^2 + 1) = +\infty$. Так как функция неограниченно возрастает, наибольшего значения на данном промежутке не существует. Сравнивая вычисленные значения $y(\frac{4}{3}) = -\frac{5}{27}$ и $y(0,5) = 0,625$, находим, что наименьшее значение функции равно $-\frac{5}{27}$.
Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{5}{27}$, наибольшего значения не существует.

б) Рассмотрим функцию $y = x - 2\sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$. Область определения функции $x \ge 0$ совпадает с заданным промежутком. Найдем производную функции для $x>0$: $y' = (x - 2\sqrt{x})' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$. Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$: $1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1$. Критическая точка $x = 1$ принадлежит промежутку $[0; +\infty)$. Вычислим значения функции в этой точке и на границе промежутка в точке $x=0$: $y(1) = 1 - 2\sqrt{1} = 1 - 2 = -1$. $y(0) = 0 - 2\sqrt{0} = 0$. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} (x - 2\sqrt{x}) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) = +\infty$. Так как функция неограниченно возрастает, наибольшего значения не существует. Сравнивая значения $y(1)=-1$ и $y(0)=0$, заключаем, что наименьшее значение функции равно $-1$.
Ответ: наименьшее значение функции равно $-1$, наибольшего значения не существует.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{5}x^5 - x^2$ на промежутке $(-\infty; 1]$. Найдем производную функции: $y' = (\frac{1}{5}x^5 - x^2)' = x^4 - 2x$. Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$: $x^4 - 2x = 0 \implies x(x^3 - 2) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \sqrt[3]{2}$. Заданному промежутку $(-\infty; 1]$ принадлежит только точка $x_1 = 0$, так как $\sqrt[3]{2} \approx 1,26 > 1$. Вычислим значение функции в критической точке $x = 0$ и на правой границе промежутка $x = 1$: $y(0) = \frac{1}{5}(0)^5 - (0)^2 = 0$. $y(1) = \frac{1}{5}(1)^5 - (1)^2 = \frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5}$. Исследуем поведение функции при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{5}x^5 - x^2) = \lim_{x \to -\infty} x^5(\frac{1}{5} - \frac{1}{x^3}) = -\infty$. Так как функция неограниченно убывает, наименьшего значения на данном промежутке не существует. Сравнивая значения $y(0)=0$ и $y(1)=-\frac{4}{5}$, находим, что наибольшее значение функции равно $0$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $0$, наименьшего значения не существует.

г) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного: $y' = \frac{(x^4)'(x^4+1) - x^4(x^4+1)'}{(x^4+1)^2} = \frac{4x^3(x^4+1) - x^4(4x^3)}{(x^4+1)^2} = \frac{4x^7 + 4x^3 - 4x^7}{(x^4+1)^2} = \frac{4x^3}{(x^4+1)^2}$. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $\frac{4x^3}{(x^4+1)^2} = 0 \implies 4x^3 = 0 \implies x = 0$. Вычислим значение функции в единственной критической точке $x=0$: $y(0) = \frac{0^4}{0^4 + 1} = 0$. Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^4 + 1 > 0$, значение функции всегда неотрицательно: $y(x) \ge 0$. Следовательно, $y(0)=0$ является наименьшим значением функции. Исследуем поведение функции на бесконечности: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4}{x^4 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4}{x^4(1 + \frac{1}{x^4})} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^4}} = 1$. Функция стремится к $1$ при $x \to \pm\infty$, но никогда не достигает этого значения, так как для любого действительного $x$ числитель $x^4$ строго меньше знаменателя $x^4 + 1$. Таким образом, функция ограничена сверху числом 1, но своего наибольшего значения не достигает.
Ответ: наименьшее значение функции равно $0$, наибольшего значения не существует.

№32.15 (с. 125)
Условие. №32.15 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.15, Условие

32.15 a) $y = x + \frac{1}{x}$, $(-\infty; 0)$;

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$, $[0; +\infty)$;

в) $y = -2x - \frac{1}{2x}$, $(0; +\infty)$;

г) $y = \sqrt{2x + 6} - x$, $[-3; +\infty)$.

Решение 1. №32.15 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.15, Решение 1
Решение 2. №32.15 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.15, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.15, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.15, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 3. №32.15 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.15, Решение 3
Решение 5. №32.15 (с. 125)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.15, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.15, Решение 5 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 125, номер 32.15, Решение 5 (продолжение 3)
Решение 6. №32.15 (с. 125)

а) $y = x + \frac{1}{x}$, $(-\infty; 0)$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции найдем ее производную и критические точки.

1. Находим производную функции:
$y' = (x + x^{-1})' = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.

2. Находим критические точки:
Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.
$\frac{x^2 - 1}{x^2} = 0$.
$x^2 - 1 = 0$, при условии что $x \neq 0$.
$(x - 1)(x + 1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

3. Анализ критических точек на заданном интервале:
Интервал $(-\infty; 0)$. Точка $x = 1$ не принадлежит этому интервалу. Точка $x = -1$ принадлежит.

4. Определяем знаки производной и промежутки монотонности:
- На интервале $(-\infty; -1)$, возьмем точку $x = -2$. $y'(-2) = 1 - \frac{1}{(-2)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$. Функция возрастает. - На интервале $(-1; 0)$, возьмем точку $x = -0.5$. $y'(-0.5) = 1 - \frac{1}{(-0.5)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$. Функция убывает.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. Найдем значение функции в этой точке: $y_{max} = y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$.

Поскольку на интервале $(-\infty; 0)$ функция стремится к $-\infty$ при $x \to -\infty$ и при $x \to 0^{-}$, наименьшего значения у функции нет.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = -2$, наименьшего значения нет.

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$, $[0; +\infty)$

1. Находим производную функции, используя правило частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(3x)'(x^2 + 3) - 3x(x^2 + 3)'}{(x^2 + 3)^2} = \frac{3(x^2 + 3) - 3x(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{3x^2 + 9 - 6x^2}{(x^2 + 3)^2} = \frac{9 - 3x^2}{(x^2 + 3)^2}$.

2. Находим критические точки:
$y' = 0 \Rightarrow 9 - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 3$.
Критические точки: $x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$.

3. Анализ критических точек на заданном интервале:
Интервал $[0; +\infty)$. Точка $x = -\sqrt{3}$ не принадлежит этому интервалу. Точка $x = \sqrt{3}$ принадлежит.

4. Определяем знаки производной и промежутки монотонности:
- На интервале $[0; \sqrt{3})$, возьмем $x = 1$. $y'(1) = \frac{9 - 3(1)^2}{(1^2+3)^2} = \frac{6}{16} > 0$. Функция возрастает. - На интервале $(\sqrt{3}; +\infty)$, возьмем $x = 2$. $y'(2) = \frac{9 - 3(2)^2}{(2^2+3)^2} = \frac{9 - 12}{49} < 0$. Функция убывает.

В точке $x = \sqrt{3}$ достигается максимум. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на промежутке, вычислим значения функции в критической точке и на концах промежутка.

- Значение на левой границе: $y(0) = \frac{3 \cdot 0}{0^2 + 3} = 0$.
- Значение в точке максимума: $y(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{3+3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Поведение на правой границе (бесконечность): $\lim_{x\to+\infty} \frac{3x}{x^2+3} = \lim_{x\to+\infty} \frac{3/x}{1+3/x^2} = 0$.

Сравнивая полученные значения, заключаем, что $y_{max} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y_{min} = 0$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение $y_{min} = 0$.

в) $y = -2x - \frac{1}{2x}$, $(0; +\infty)$

1. Находим производную функции:
$y' = (-2x - \frac{1}{2}x^{-1})' = -2 - \frac{1}{2}(-1)x^{-2} = -2 + \frac{1}{2x^2} = \frac{1 - 4x^2}{2x^2}$.

2. Находим критические точки:
$y' = 0 \Rightarrow 1 - 4x^2 = 0 \Rightarrow 4x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4}$.
Критические точки: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.

3. Анализ критических точек на заданном интервале:
Интервал $(0; +\infty)$. Точка $x = -\frac{1}{2}$ не принадлежит этому интервалу. Точка $x = \frac{1}{2}$ принадлежит.

4. Определяем знаки производной и промежутки монотонности:
- На интервале $(0; \frac{1}{2})$, возьмем $x = 0.1$. $y'(0.1) = -2 + \frac{1}{2(0.1)^2} = -2 + 50 = 48 > 0$. Функция возрастает. - На интервале $(\frac{1}{2}; +\infty)$, возьмем $x = 1$. $y'(1) = -2 + \frac{1}{2(1)^2} = -1.5 < 0$. Функция убывает.

В точке $x = \frac{1}{2}$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. $y_{max} = y(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2(\frac{1}{2})} = -1 - 1 = -2$.

Поскольку при $x \to 0^+$ и при $x \to +\infty$ функция стремится к $-\infty$, наименьшего значения у функции нет.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = -2$, наименьшего значения нет.

г) $y = \sqrt{2x+6} - x$, $[-3; +\infty)$

Область определения функции $2x+6 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$, что совпадает с заданным промежутком.

1. Находим производную функции:
$y' = (\sqrt{2x+6} - x)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+6}} \cdot (2x+6)' - 1 = \frac{2}{2\sqrt{2x+6}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2x+6}} - 1$.

2. Находим критические точки:
- Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x+6}} - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{2x+6} = 1$. Возводим в квадрат: $2x+6 = 1 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x = -2.5$. - Производная не определена при $2x+6=0 \Rightarrow x=-3$. Это левая граница промежутка.

3. Анализ критических точек на заданном интервале:
Точка $x = -2.5$ принадлежит интервалу $[-3; +\infty)$.

4. Определяем знаки производной и промежутки монотонности:
- На интервале $(-3; -2.5)$, возьмем $x = -2.9$. $y'(-2.9) = \frac{1}{\sqrt{2(-2.9)+6}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{0.2}} - 1 > 0$. Функция возрастает. - На интервале $(-2.5; +\infty)$, возьмем $x = -1$. $y'(-1) = \frac{1}{\sqrt{2(-1)+6}} - 1 = \frac{1}{2} - 1 < 0$. Функция убывает.

В точке $x = -2.5$ достигается максимум. Сравним значения функции на границе промежутка и в точке максимума.

- Значение на левой границе: $y(-3) = \sqrt{2(-3)+6} - (-3) = \sqrt{0} + 3 = 3$.
- Значение в точке максимума: $y(-2.5) = \sqrt{2(-2.5)+6} - (-2.5) = \sqrt{1} + 2.5 = 3.5$.
- Поведение на бесконечности: $\lim_{x\to+\infty} (\sqrt{2x+6}-x) = -\infty$.

Следовательно, наибольшее значение функции равно $3.5$, а наименьшего значения не существует.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = 3.5$, наименьшего значения нет.

№1 (с. 125)
Условие. №1 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 125, номер 1, Условие

1. Назовите два основных метода решения тригонометрических уравнений.

Решение 6. №1 (с. 125)

Двумя основными и наиболее универсальными методами решения тригонометрических уравнений являются метод введения новой переменной и метод разложения на множители.

1. Метод введения новой переменной (метод замены)
Этот метод применяется, когда уравнение можно привести к алгебраическому виду (например, квадратному, кубическому) относительно одной тригонометрической функции ($\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$ и т.д.). Суть метода заключается в замене этой функции на новую переменную (например, $t$), решении полученного алгебраического уравнения относительно $t$ и последующем выполнении обратной замены для нахождения $x$.

Пример: Решить уравнение $2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 2 = 0$.
Шаг 1. Введем замену. Пусть $t = \cos(x)$. Поскольку значения косинуса лежат в пределах от -1 до 1, на новую переменную накладывается ограничение: $|t| \le 1$.
Шаг 2. Запишем уравнение с новой переменной. Оно становится квадратным: $2t^2 + 3t - 2 = 0$.
Шаг 3. Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Корни: $t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$.
Шаг 4. Проверим корни на соответствие ограничению $|t| \le 1$. Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ подходит, так как $|\frac{1}{2}| \le 1$. Корень $t_2 = -2$ является посторонним, так как $|-2| > 1$.
Шаг 5. Выполним обратную замену для подходящего корня: $\cos(x) = \frac{1}{2}$.
Шаг 6. Решим простейшее тригонометрическое уравнение. Решения имеют вид: $x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, то есть $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод заключается в сведении тригонометрического уравнения к алгебраическому путем замены тригонометрической функции на новую переменную.

2. Метод разложения на множители
Этот метод используется, когда все члены уравнения можно перенести в одну сторону и разложить полученное выражение на множители. Уравнение вида $F(x) \cdot G(x) = 0$ равносильно совокупности уравнений $F(x)=0$ и $G(x)=0$ (при условии, что оба выражения определены). Это позволяет разбить одно сложное уравнение на несколько более простых.

Пример: Решить уравнение $\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$.
Шаг 1. Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Уравнение принимает вид: $2\sin(x)\cos(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$.
Шаг 2. Вынесем общий множитель $\cos(x)$ за скобки: $\cos(x)(2\sin(x) - \sqrt{3}) = 0$.
Шаг 3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Перейдем к совокупности двух уравнений:
1) $\cos(x) = 0$
2) $2\sin(x) - \sqrt{3} = 0$
Шаг 4. Решим каждое уравнение отдельно.
Из $\cos(x) = 0$ следует, что $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Из $2\sin(x) - \sqrt{3} = 0$ следует, что $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения этого уравнения: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k$, то есть $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5. Решением исходного уравнения является объединение найденных серий корней.

Ответ: Метод заключается в преобразовании уравнения к виду, где произведение нескольких выражений равно нулю, что позволяет свести решение одного сложного уравнения к решению совокупности более простых.

№2 (с. 125)
Условие. №2 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 125, номер 2, Условие

2. Объясните, как при решении уравнения $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ вы воспользуетесь методом введения новой переменной. Решите это уравнение.

Решение 6. №2 (с. 125)

Объяснение, как при решении уравнения воспользоваться методом введения новой переменной

Данное тригонометрическое уравнение $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ является квадратным относительно функции $\sin x$. Это означает, что если мы заменим выражение $\sin x$ на новую переменную, например $t$, то исходное уравнение превратится в алгебраическое квадратное уравнение, которое легко решить.

Метод введения новой переменной применяется следующим образом:

  1. Вводится замена: пусть $t = \sin x$.
  2. Поскольку $\sin^2 x$ это то же самое, что и $(\sin x)^2$, это выражение заменяется на $t^2$.
  3. Исходное уравнение $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ преобразуется в квадратное уравнение относительно $t$: $2t^2 + t - 1 = 0$.
  4. Ключевым моментом является учет области значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$. Это накладывает ограничение на возможные значения новой переменной $t$: $|t| \le 1$.
  5. Далее решается квадратное уравнение $2t^2 + t - 1 = 0$, и из его корней выбираются только те, которые удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
  6. Для каждого подходящего значения $t$ выполняется обратная замена, то есть решается простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin x = t$.
  7. Объединение всех полученных решений является окончательным ответом.

Решение уравнения

Дано уравнение: $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.

1. Введем новую переменную. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$.

После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения:

$2t^2 + t - 1 = 0$.

2. Решим это уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

3. Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $|t| \le 1$.

  • $t_1 = \frac{1}{2}$. Условие $|\frac{1}{2}| \le 1$ выполняется.
  • $t_2 = -1$. Условие $|-1| \le 1$ выполняется.

Оба корня подходят для дальнейшего решения.

5. Выполним обратную замену и решим два простейших тригонометрических уравнения.

а) $\sin x = t_1 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения:

$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) $\sin x = t_2 \Rightarrow \sin x = -1$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решение:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Объединив найденные серии решений, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

№3 (с. 125)
Условие. №3 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 125, номер 3, Условие

3. Объясните, как при решении уравнения $2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$ вы воспользуетесь методом введения новой переменной. Решите это уравнение.

Решение 6. №3 (с. 125)

Для решения уравнения $2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$ метод введения новой переменной используется для того, чтобы свести данное тригонометрическое уравнение к стандартному алгебраическому (в данном случае — квадратному), которое легко решается.

Сначала необходимо привести уравнение к одной тригонометрической функции. В уравнении присутствуют $\cos^2 x$ и $\sin x$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2 - 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
$-2\sin^2 x - \sin x + 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при старшей степени стал положительным:
$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

Теперь, когда уравнение содержит только одну функцию $\sin x$, можно ввести новую переменную. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$, на новую переменную накладывается ограничение: $-1 \le t \le 1$.

После замены уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения относительно $t$:
$2t^2 + t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Оба найденных корня удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$, поэтому оба они являются допустимыми решениями.

Выполним обратную замену для каждого из корней, чтобы найти $x$:
1) Для $t_1 = \frac{1}{2}$ получаем уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$. Решения этого уравнения:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, что соответствует $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Для $t_2 = -1$ получаем уравнение $\sin x = -1$. Это частный случай, его решение:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

№4 (с. 125)
Условие. №4 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 125, номер 4, Условие

4. Какое тригонометрическое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени? Опишите алгоритм его решения.

Решение 6. №4 (с. 125)

Какое тригонометрическое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени?

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называют уравнение вида:
$a \sin x + b \cos x = 0$
Здесь $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числовые коэффициенты, причем хотя бы один из них не равен нулю ($a^2 + b^2 \neq 0$).

Основными признаками такого уравнения являются:

  • В уравнении присутствуют только синус и косинус одного и того же аргумента.
  • Все члены уравнения имеют одинаковую степень — первую.
  • Свободный член (число без тригонометрической функции) равен нулю.

Ответ: Однородное тригонометрическое уравнение первой степени — это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = 0$, где $a$ и $b$ — действительные числа, не равные нулю одновременно.

Опишите алгоритм его решения.

Алгоритм решения уравнения $a \sin x + b \cos x = 0$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$) состоит из следующих шагов:

  1. Проверка возможности деления на $\cos x$.
    Для решения этого типа уравнений используется метод деления обеих частей на $\cos x$. Важно убедиться, что при этом не происходит потеря корней. Предположим, что $\cos x = 0$. Тогда из исходного уравнения следует $a \sin x + b \cdot 0 = 0$, что равносильно $a \sin x = 0$. Поскольку для тех же значений $x$, для которых $\cos x = 0$, значение $\sin x$ равно $1$ или $-1$ (согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$), то равенство $a \sin x = 0$ может выполняться только при $a=0$. Если же $a \neq 0$, то значения $x$, при которых $\cos x = 0$, не являются корнями исходного уравнения. Это означает, что мы можем безопасно разделить обе части уравнения на $\cos x$, не теряя корней. Аналогично доказывается, что при $b \neq 0$ можно делить на $\sin x$.
  2. Выполнение деления.
    Разделим обе части уравнения $a \sin x + b \cos x = 0$ на $\cos x$:
    $\frac{a \sin x}{\cos x} + \frac{b \cos x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$
  3. Переход к уравнению с тангенсом.
    Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, преобразуем уравнение:
    $a \tan x + b = 0$
  4. Решение простейшего уравнения относительно тангенса.
    Выразим $\tan x$:
    $\tan x = -\frac{b}{a}$
  5. Запись общего решения.
    Находим значение $x$ по общей формуле для арктангенса:
    $x = \arctan(-\frac{b}{a}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
    Или, используя свойство нечетности арктангенса ($\arctan(-y) = -\arctan(y)$):
    $x = -\arctan(\frac{b}{a}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Примечание: Если один из коэффициентов равен нулю (например, $a=0$), уравнение становится простейшим: $b \cos x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Если $b=0$, то $a \sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Для решения уравнения $a \sin x + b \cos x = 0$ (где $a, b \neq 0$) необходимо разделить обе его части на $\cos x$ (или $\sin x$), после чего решить полученное линейное уравнение относительно $\tan x$ (или $\cot x$): $a \tan x + b = 0 \implies \tan x = -b/a \implies x = -\arctan(b/a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

№5 (с. 125)
Условие. №5 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 125, номер 5, Условие

5. Какое тригонометрическое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени? Опишите алгоритм его решения.

Решение 6. №5 (с. 125)

Какое тригонометрическое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени?

Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называется уравнение вида $a\sin^2(x) + b\sin(x)\cos(x) + c\cos^2(x) = 0$, где $a, b, c$ – это некоторые действительные коэффициенты, причем хотя бы один из них не равен нулю.

Ключевой особенностью такого уравнения является то, что сумма степеней тригонометрических функций ($\sin(x)$ и $\cos(x)$) в каждом слагаемом одинакова и равна 2. Например, в слагаемом $a\sin^2(x)$ степень равна 2. В слагаемом $b\sin(x)\cos(x)$ степени $\sin(x)$ и $\cos(x)$ равны 1, а их сумма также равна $1+1=2$. В слагаемом $c\cos^2(x)$ степень равна 2.

Ответ: Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называют уравнение вида $a\sin^2(x) + b\sin(x)\cos(x) + c\cos^2(x) = 0$, в котором все слагаемые имеют одинаковую степень, равную двум.

Опишите алгоритм его решения.

Стандартный метод решения такого уравнения заключается в сведении его к квадратному уравнению относительно тангенса. Алгоритм состоит из следующих шагов (рассматривается основной случай, когда коэффициент $a \neq 0$):

  1. Проверка возможности деления на $\cos^2(x)$.

    Чтобы разделить уравнение на $\cos^2(x)$, нужно убедиться, что $\cos(x) \neq 0$ не приводит к потере корней. Предположим, что $\cos(x) = 0$ является решением. Тогда из основного тригонометрического тождества $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ следует, что $\sin^2(x) = 1$. Подставив $\cos(x) = 0$ и $\sin^2(x) = 1$ в исходное уравнение, получим: $a \cdot 1 + b \cdot \sin(x) \cdot 0 + c \cdot 0 = 0$, что равносильно $a = 0$.

    Таким образом, если коэффициент $a \neq 0$, то $\cos(x)$ не может быть равен нулю, и мы можем безопасно разделить обе части уравнения на $\cos^2(x)$.

    Примечание: Если $a = 0$, уравнение принимает вид $b\sin(x)\cos(x) + c\cos^2(x) = 0$. Оно решается вынесением общего множителя $\cos(x)$ за скобки: $\cos(x)(b\sin(x) + c\cos(x)) = 0$. Решение распадается на два уравнения: $\cos(x) = 0$ и $b\sin(x) + c\cos(x) = 0$ (однородное уравнение первой степени).

  2. Деление на $\cos^2(x)$.

    Разделим каждый член уравнения $a\sin^2(x) + b\sin(x)\cos(x) + c\cos^2(x) = 0$ на $\cos^2(x)$: $a\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + b\frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)} + c\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = 0$

  3. Сведение к уравнению относительно $\tan(x)$.

    Используя тождество $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$, получаем уравнение: $a\tan^2(x) + b\tan(x) + c = 0$

  4. Введение новой переменной.

    Сделаем замену $t = \tan(x)$. Уравнение превращается в стандартное квадратное уравнение относительно $t$: $at^2 + bt + c = 0$

  5. Решение квадратного уравнения.

    Находим корни $t_1$ и $t_2$ этого уравнения (например, через дискриминант $D = b^2-4ac$), если они существуют в множестве действительных чисел.

  6. Обратная замена и нахождение $x$.

    Возвращаемся к исходной переменной. Решаем одно или два простейших тригонометрических уравнения: $\tan(x) = t_1$ и (если есть второй корень) $\tan(x) = t_2$.

    Общие решения этих уравнений записываются в виде $x = \arctan(t_1) + \pi n$ и $x = \arctan(t_2) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Алгоритм решения (для случая $a \neq 0$): 1. Убедиться, что $\cos(x) \neq 0$, и разделить уравнение на $\cos^2(x)$. 2. Получить квадратное уравнение относительно $\tan(x)$: $a\tan^2(x) + b\tan(x) + c = 0$. 3. Сделать замену $t = \tan(x)$ и решить квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$. 4. Выполнить обратную замену и найти $x$ из простейших тригонометрических уравнений вида $\tan(x)=t$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться