Страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

30.37 По графику производной, изображённому на рисунке (см. с. 112—113), определите, имеет ли функция $y = f(x)$ точки экстремума:

а) рис. 49;

б) рис. 50;

в) рис. 51;

г) рис. 52.

Для того чтобы функция $y = f(x)$ имела точку экстремума, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке её производная $f'(x)$ была равна нулю и меняла свой знак. Геометрически это означает, что график производной $y = f'(x)$ должен пересекать ось абсцисс (ось $Ox$). Если график производной только касается оси $Ox$, но не пересекает её, то знак производной не меняется, и в этой точке экстремума нет. Если график производной вообще не пересекает ось $Ox$, то производная нигде не равна нулю, и, следовательно, у функции нет точек экстремума.

а) рис. 49;
На графике, соответствующем данному рисунку, производная $y = f'(x)$ пересекает ось абсцисс. В точках пересечения выполняются два условия: производная равна нулю ($f'(x) = 0$) и производная меняет свой знак (график переходит из положительной полуплоскости в отрицательную или наоборот). Следовательно, функция $y = f(x)$ имеет точки экстремума.
Ответ: да, имеет.

б) рис. 50;
На этом графике производная $y = f'(x)$ касается оси абсцисс, но не пересекает её. В точке касания производная равна нулю ($f'(x) = 0$), что является необходимым условием экстремума. Однако в окрестности этой точки производная сохраняет свой знак (например, остаётся неотрицательной). Поскольку не выполнено условие смены знака производной, в данной точке у функции $y = f(x)$ нет экстремума (это точка перегиба).
Ответ: нет, не имеет.

в) рис. 51;
График производной $y = f'(x)$ на этом рисунке не имеет общих точек с осью абсцисс, то есть расположен полностью выше или полностью ниже неё. Это означает, что производная $f'(x)$ нигде не обращается в ноль. Так как необходимое условие существования экстремума ($f'(x) = 0$) не выполняется ни в одной точке, функция $y = f(x)$ не имеет точек экстремума.
Ответ: нет, не имеет.

г) рис. 52.
На данном графике, как и в случае (а), производная $y = f'(x)$ пересекает ось абсцисс. В каждой точке пересечения производная обращается в ноль и меняет свой знак. Следовательно, каждая такая точка является точкой экстремума для функции $y = f(x)$.
Ответ: да, имеет.

30.41 a) $y = -5x^5 + 3x^3;$

б) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13;$

В) $y = x^4 - 50x^2;$

Г) $y = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3.$

а) $y = -5x^5 + 3x^3$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы, найдем ее производную.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим первую производную функции:

$y' = (-5x^5 + 3x^3)' = -5 \cdot 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 = -25x^4 + 9x^2$.

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$-25x^4 + 9x^2 = 0$

$x^2(-25x^2 + 9) = 0$

Отсюда получаем $x^2 = 0$ или $-25x^2 + 9 = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $25x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{25} \implies x_{2,3} = \pm \frac{3}{5}$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; -3/5)$, $(-3/5; 0)$, $(0; 3/5)$, $(3/5; +\infty)$.

$y' = -x^2(25x^2 - 9) = -x^2(5x-3)(5x+3)$.

• При $x < -3/5$, например $x=-1$, $y' = -(-1)^2(25(-1)^2-9) = -(1)(16) < 0$, функция убывает.
• При $-3/5 < x < 0$, например $x=-0.1$, $y' = -(-0.1)^2(25(-0.1)^2-9) = -(0.01)(0.25-9) > 0$, функция возрастает.
• При $0 < x < 3/5$, например $x=0.1$, $y' = -(0.1)^2(25(0.1)^2-9) = -(0.01)(0.25-9) > 0$, функция возрастает.
• При $x > 3/5$, например $x=1$, $y' = -(1)^2(25(1)^2-9) = -(1)(16) < 0$, функция убывает.

5. Определяем точки экстремума:

• В точке $x = -3/5$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка локального минимума.
• В точке $x = 0$ знак производной не меняется, значит это не точка экстремума (а точка перегиба).
• В точке $x = 3/5$ производная меняет знак с плюса на минус, значит это точка локального максимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума:

$y_{min} = y(-3/5) = -5(-\frac{3}{5})^5 + 3(-\frac{3}{5})^3 = -5(-\frac{243}{3125}) + 3(-\frac{27}{125}) = \frac{243}{625} - \frac{81 \cdot 5}{625} = \frac{243-405}{625} = -\frac{162}{625}$.

$y_{max} = y(3/5) = -5(\frac{3}{5})^5 + 3(\frac{3}{5})^3 = -5(\frac{243}{3125}) + 3(\frac{27}{125}) = -\frac{243}{625} + \frac{405}{625} = \frac{162}{625}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-3/5; 3/5]$, убывает на промежутках $(-\infty; -3/5]$ и $[3/5; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = -3/5$, значение в точке минимума $y_{min} = -162/625$. Точка максимума $x_{max} = 3/5$, значение в точке максимума $y_{max} = 162/625$.

б) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13$

1. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции:

$y' = (x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13)' = 4x^3 - 12x^2 - 16x$.

3. Критические точки ($y'=0$):

$4x^3 - 12x^2 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 3x - 4) = 0$

$4x(x-4)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 4$.

4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 4)$, $(4; +\infty)$.

• При $x < -1$ (например, $x=-2$), $y' = 4(-2)((-2)-4)((-2)+1) = (-)(-)(-) < 0$, функция убывает.
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$), $y' = 4(-0.5)((-0.5)-4)((-0.5)+1) = (-)(-)(+) > 0$, функция возрастает.
• При $0 < x < 4$ (например, $x=1$), $y' = 4(1)(1-4)(1+1) = (+)(-)(+) < 0$, функция убывает.
• При $x > 4$ (например, $x=5$), $y' = 4(5)(5-4)(5+1) = (+)(+)(+) > 0$, функция возрастает.

5. Точки экстремума:

• $x = -1$: смена знака с «−» на «+» $\implies$ точка минимума.
• $x = 0$: смена знака с «+» на «−» $\implies$ точка максимума.
• $x = 4$: смена знака с «−» на «+» $\implies$ точка минимума.

6. Значения функции в точках экстремума:

$y_{min}(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 - 8(-1)^2 + 13 = 1 + 4 - 8 + 13 = 10$.

$y_{max}(0) = (0)^4 - 4(0)^3 - 8(0)^2 + 13 = 13$.

$y_{min}(4) = 4^4 - 4(4)^3 - 8(4)^2 + 13 = 256 - 256 - 8(16) + 13 = -128 + 13 = -115$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 4]$. Точка максимума $x_{max} = 0$, $y_{max} = 13$. Точки минимума $x_{min1} = -1$, $y_{min1} = 10$ и $x_{min2} = 4$, $y_{min2} = -115$.

в) $y = x^4 - 50x^2$

1. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции:

$y' = (x^4 - 50x^2)' = 4x^3 - 100x$.

3. Критические точки ($y'=0$):

$4x^3 - 100x = 0$

$4x(x^2 - 25) = 0$

$4x(x-5)(x+5) = 0$

Критические точки: $x_1 = -5$, $x_2 = 0$, $x_3 = 5$.

4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 5)$, $(5; +\infty)$.

• При $x < -5$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $-5 < x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $0 < x < 5$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 5$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. Точки экстремума:

• $x = -5$: смена знака с «−» на «+» $\implies$ точка минимума.
• $x = 0$: смена знака с «+» на «−» $\implies$ точка максимума.
• $x = 5$: смена знака с «−» на «+» $\implies$ точка минимума.

6. Значения функции в точках экстремума:

$y_{min}(-5) = (-5)^4 - 50(-5)^2 = 625 - 50(25) = 625 - 1250 = -625$.

$y_{max}(0) = 0^4 - 50(0)^2 = 0$.

$y_{min}(5) = 5^4 - 50(5)^2 = 625 - 50(25) = 625 - 1250 = -625$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-5; 0]$ и $[5; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -5]$ и $[0; 5]$. Точка максимума $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$. Точки минимума $x_{min} = \pm 5$, $y_{min} = -625$.

г) $y = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3$

1. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции:

$y' = (2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3)' = 10x^4 + 20x^3 - 30x^2$.

3. Критические точки ($y'=0$):

$10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 0$

$10x^2(x^2 + 2x - 3) = 0$

$10x^2(x+3)(x-1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Исследуем знак производной $y' = 10x^2(x+3)(x-1)$ на интервалах: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$. Знак $y'$ совпадает со знаком выражения $(x+3)(x-1)$, кроме точки $x=0$.

• При $x < -3$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $-3 < x < 1$ и $x \neq 0$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 1$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. Точки экстремума:

• $x = -3$: смена знака с «+» на «−» $\implies$ точка максимума.
• $x = 0$: знак не меняется $\implies$ не является точкой экстремума.
• $x = 1$: смена знака с «−» на «+» $\implies$ точка минимума.

6. Значения функции в точках экстремума:

$y_{max}(-3) = 2(-3)^5 + 5(-3)^4 - 10(-3)^3 + 3 = 2(-243) + 5(81) - 10(-27) + 3 = -486 + 405 + 270 + 3 = 192$.

$y_{min}(1) = 2(1)^5 + 5(1)^4 - 10(1)^3 + 3 = 2 + 5 - 10 + 3 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 1]$. Точка максимума $x_{max} = -3$, $y_{max} = 192$. Точка минимума $x_{min} = 1$, $y_{min} = 0$.

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

30.38 а) $y = 7 + 12x - x^3$;

б) $y = 8 + 2x^2 - x^4$;

в) $y = 3x^3 + 2x^2 - 7$;

г) $y = x^4 - 8x^2$.

а) $y = 7 + 12x - x^3$
1. Найдём производную функции:
$y' = (7 + 12x - x^3)' = 12 - 3x^2$
2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$12 - 3x^2 = 0$
$3x^2 = 12$
$x^2 = 4$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Производная $y' = -3(x-2)(x+2)$ является параболой с ветвями вниз.
- На интервале $(-\infty; -2)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-2; 2)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(2; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
4. Определим характер точек экстремума по смене знака производной:
- В точке $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
Ответ: $x_{min} = -2$ — точка минимума, $x_{max} = 2$ — точка максимума.

б) $y = 8 + 2x^2 - x^4$
1. Найдём производную функции:
$y' = (8 + 2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$
2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x - 4x^3 = 0$
$4x(1 - x^2) = 0$
$4x(1 - x)(1 + x) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -1)$ (например, при $x=-2$): $y'(-2) = 4(-2) - 4(-2)^3 = -8 + 32 = 24 > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0)$ (например, при $x=-0.5$): $y'(-0.5) = 4(-0.5) - 4(-0.5)^3 = -2 + 0.5 = -1.5 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 1)$ (например, при $x=0.5$): $y'(0.5) = 4(0.5) - 4(0.5)^3 = 2 - 0.5 = 1.5 > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1; +\infty)$ (например, при $x=2$): $y'(2) = 4(2) - 4(2)^3 = 8 - 32 = -24 < 0$, функция убывает.
4. Определим характер точек экстремума:
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
Ответ: $x_{max} = -1$ — точка максимума, $x_{min} = 0$ — точка минимума, $x_{max} = 1$ — точка максимума.

в) $y = 3x^3 + 2x^2 - 7$
1. Найдём производную функции:
$y' = (3x^3 + 2x^2 - 7)' = 9x^2 + 4x$
2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$9x^2 + 4x = 0$
$x(9x + 4) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -4/9$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -4/9)$, $(-4/9; 0)$ и $(0; +\infty)$. Производная $y' = x(9x+4)$ является параболой с ветвями вверх.
- На интервале $(-\infty; -4/9)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-4/9; 0)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
4. Определим характер точек экстремума:
- В точке $x = -4/9$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: $x_{max} = -4/9$ — точка максимума, $x_{min} = 0$ — точка минимума.

г) $y = x^4 - 8x^2$
1. Найдём производную функции:
$y' = (x^4 - 8x^2)' = 4x^3 - 16x$
2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x^3 - 16x = 0$
$4x(x^2 - 4) = 0$
$4x(x - 2)(x + 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -2)$ (например, при $x=-3$): $y'(-3) = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-2; 0)$ (например, при $x=-1$): $y'(-1) = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(0; 2)$ (например, при $x=1$): $y'(1) = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$ (например, при $x=3$): $y'(3) = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 > 0$, функция возрастает.
4. Определим характер точек экстремума:
- В точке $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: $x_{min} = -2$ — точка минимума, $x_{max} = 0$ — точка максимума, $x_{min} = 2$ — точка минимума.

30.42 a) $y = x + \frac{4}{x}$;

б) $y = \frac{x^2 + 9}{x}$.

а) $y = x + \frac{4}{x}$

1. Область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нахождение производной.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума, найдем производную функции $y$ по $x$.

$y' = (x + \frac{4}{x})' = (x)' + (4x^{-1})' = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2}$.

3. Нахождение критических точек.

Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies 1 - \frac{4}{x^2} = 0$

$\frac{x^2 - 4}{x^2} = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$x^2 - 4 = 0$

$x^2 \neq 0$

Из первого уравнения получаем $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

Таким образом, критические точки: $x = -2$ и $x = 2$.

4. Анализ знаков производной.

Критические точки и точка разрыва $x=0$ делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.

• На интервале $(-\infty; -2)$, возьмем $x=-3$: $y'(-3) = 1 - \frac{4}{(-3)^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0$, значит, функция возрастает.
• На интервале $(-2; 0)$, возьмем $x=-1$: $y'(-1) = 1 - \frac{4}{(-1)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$, значит, функция убывает.
• На интервале $(0; 2)$, возьмем $x=1$: $y'(1) = 1 - \frac{4}{1^2} = 1 - 4 = -3 < 0$, значит, функция убывает.
• На интервале $(2; +\infty)$, возьмем $x=3$: $y'(3) = 1 - \frac{4}{3^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0$, значит, функция возрастает.

5. Нахождение точек экстремума.

В точке $x=-2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -2 - 2 = -4$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $[-2; 0)$ и $(0; 2]$. Точка максимума: $x_{max} = -2$, $y_{max} = -4$. Точка минимума: $x_{min} = 2$, $y_{min} = 4$.

б) $y = \frac{x^2+9}{x}$

1. Преобразование и область определения функции.

Представим функцию в виде суммы, разделив почленно числитель на знаменатель:

$y = \frac{x^2}{x} + \frac{9}{x} = x + \frac{9}{x}$.

Функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x \neq 0$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нахождение производной.

Найдем производную функции для анализа ее поведения.

$y' = (x + \frac{9}{x})' = (x)' + (9x^{-1})' = 1 - 9x^{-2} = 1 - \frac{9}{x^2}$.

3. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$y' = 0 \implies 1 - \frac{9}{x^2} = 0$

$\frac{x^2 - 9}{x^2} = 0$

Отсюда $x^2 - 9 = 0$ при условии $x^2 \neq 0$.

$x^2 = 9$, что дает $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

Критические точки: $x = -3$ и $x = 3$.

4. Анализ знаков производной.

Интервалы для анализа: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; -3)$, возьмем $x=-4$: $y'(-4) = 1 - \frac{9}{(-4)^2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(-3; 0)$, возьмем $x=-1$: $y'(-1) = 1 - \frac{9}{(-1)^2} = 1 - 9 = -8 < 0$, функция убывает.
• На интервале $(0; 3)$, возьмем $x=1$: $y'(1) = 1 - \frac{9}{1^2} = 1 - 9 = -8 < 0$, функция убывает.
• На интервале $(3; +\infty)$, возьмем $x=4$: $y'(4) = 1 - \frac{9}{4^2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} > 0$, функция возрастает.

5. Нахождение точек экстремума.

В точке $x=-3$ производная меняет знак с «+» на «−», что соответствует точке локального максимума. Значение функции: $y(-3) = -3 + \frac{9}{-3} = -3 - 3 = -6$.

В точке $x=3$ производная меняет знак с «−» на «+», что соответствует точке локального минимума. Значение функции: $y(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутках $[-3; 0)$ и $(0; 3]$. Точка максимума: $x_{max} = -3$, $y_{max} = -6$. Точка минимума: $x_{min} = 3$, $y_{min} = 6$.

30.39 a) $y = 2x + \frac{8}{x}$;

б) $y = \sqrt{2x - 1}$;

В) $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$;

Г) $y = x - 3^4$.

а)

Дана функция $y = 2x + \frac{8}{x}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде, удобном для дифференцирования, используя свойство степеней: $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

$y = 2x + 8x^{-1}$

Используем правило дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$ и формулу для производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Находим производную каждого слагаемого:

Производная первого слагаемого: $(2x)' = 2$.

Производная второго слагаемого: $(8x^{-1})' = 8 \cdot (-1)x^{-1-1} = -8x^{-2} = -\frac{8}{x^2}$.

Складываем полученные производные:

$y' = (2x + 8x^{-1})' = (2x)' + (8x^{-1})' = 2 - \frac{8}{x^2}$.

Ответ: $y' = 2 - \frac{8}{x^2}$.

б)

Дана функция $y = \sqrt{2x - 1}$.

Это сложная функция вида $y=f(g(x))$, где внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя функция $g(x) = 2x - 1$. Для ее дифференцирования применяется правило производной сложной функции: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Сначала найдем производную внешней функции. Представим корень как степень $\frac{1}{2}$:

$f'(u) = (\sqrt{u})' = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Теперь найдем производную внутренней функции:

$g'(x) = (2x - 1)' = 2$.

Теперь перемножим производную внешней функции (в которую подставлена внутренняя функция) на производную внутренней функции:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} \cdot (2x-1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} \cdot 2 = \frac{2}{2\sqrt{2x-1}} = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$.

в)

Дана функция $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$.

Представим функцию в виде $y = \frac{1}{5}x + 5x^{-1}$.

Применим те же правила, что и в пункте а): правило дифференцирования суммы и формулу для производной степенной функции.

Находим производную каждого слагаемого:

Производная первого слагаемого: $(\frac{1}{5}x)' = \frac{1}{5}$.

Производная второго слагаемого: $(5x^{-1})' = 5 \cdot (-1)x^{-1-1} = -5x^{-2} = -\frac{5}{x^2}$.

Складываем производные:

$y' = (\frac{1}{5}x + 5x^{-1})' = (\frac{1}{5}x)' + (5x^{-1})' = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2}$.

г)

Дана функция $y = x - 3^4$.

В этой функции слагаемое $3^4$ является константой (постоянным числом), так как не содержит переменной $x$.

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Таким образом, функция имеет вид $y = x - 81$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$.

Производная $x$ равна 1: $(x)' = 1$.

Производная любой константы ($C$) равна нулю: $(C)' = 0$. В нашем случае $(3^4)'=0$.

Следовательно, производная функции:

$y' = (x - 3^4)' = (x)' - (3^4)' = 1 - 0 = 1$.

Ответ: $y' = 1$.

30.36 Может ли иметь только одну точку экстремума:

а) чётная функция;

б) нечётная функция;

в) периодическая функция;

г) монотонная функция?

а) чётная функция;

Чётной называется функция $f(x)$, для которой при любом $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Предположим, что чётная функция имеет точку экстремума (локального максимума или минимума) в точке $x_0 \neq 0$. В силу симметрии графика относительно оси OY, функция также будет иметь экстремум того же типа и в точке $-x_0$. Например, если в точке $x_0$ находится локальный максимум, то в некоторой её окрестности выполняется $f(x) \le f(x_0)$. Тогда для любой точки $x$ из симметричной окрестности точки $-x_0$ будет выполняться $f(x) = f(-x)$, а так как $-x$ находится в окрестности $x_0$, то $f(-x) \le f(x_0)$. Учитывая, что $f(x_0) = f(-x_0)$, получаем $f(x) \le f(-x_0)$, что означает наличие локального максимума и в точке $-x_0$. Таким образом, если у чётной функции есть точка экстремума не в нуле, то у неё есть как минимум две точки экстремума.

Однако, если точка экстремума находится в точке $x_0 = 0$, то симметричная ей точка $-x_0$ совпадает с ней. В этом случае симметрия не приводит к появлению второй точки экстремума. Следовательно, чётная функция может иметь ровно одну точку экстремума, если эта точка — $x_0 = 0$.

Примером может служить функция $f(x) = x^2$. Эта функция является чётной, так как $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Её единственная точка экстремума — это точка минимума при $x=0$. Другой пример: $f(x) = \cos(x)$ на интервале $(-\pi, \pi)$ имеет единственный максимум в точке $x=0$.

Ответ: да, может.

б) нечётная функция;

Нечётной называется функция $f(x)$, для которой при любом $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Если $0$ входит в область определения нечётной функции, то $f(0)=0$.

Предположим, что нечётная функция имеет точку экстремума в точке $x_0 \neq 0$. Пусть это точка локального максимума. Это означает, что в некоторой окрестности точки $x_0$ выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Рассмотрим точку $-x_0$. Для любой точки $y$ из симметричной окрестности точки $-x_0$ можно записать $y = -x$, где $x$ находится в окрестности $x_0$. Используя свойство нечётности, имеем $f(y) = f(-x) = -f(x)$. Так как $f(x) \le f(x_0)$, то $-f(x) \ge -f(x_0)$. С учётом того, что $f(-x_0) = -f(x_0)$, получаем $f(y) \ge f(-x_0)$. Это означает, что точка $-x_0$ является точкой локального минимума.

Таким образом, если у нечётной функции есть точка экстремума $x_0 \neq 0$, то обязательно есть и вторая точка экстремума $-x_0$. Значит, количество точек экстремума (отличных от нуля) у нечётной функции должно быть чётным.

Может ли единственная точка экстремума быть в точке $x_0 = 0$? Допустим, $x_0=0$ — точка локального максимума. Тогда в некоторой окрестности нуля должно выполняться $f(x) \le f(0) = 0$. То есть для малых $x > 0$ имеем $f(x) \le 0$. Но так как функция нечётная, $f(-x) = -f(x) \ge 0$. Однако для максимума в нуле должно также выполняться $f(-x) \le 0$. Совмещение условий $f(-x) \ge 0$ и $f(-x) \le 0$ возможно только если $f(-x) = 0$, что влечет за собой $f(x)=0$ для всех $x$ в данной окрестности. В таком случае любая точка этой окрестности является точкой экстремума, а не одна-единственная точка. Если же функция не является тождественным нулём в окрестности начала координат, то точка $x=0$ не может быть точкой экстремума.

Следовательно, нечётная функция не может иметь ровно одну точку экстремума.

Ответ: нет, не может.

в) периодическая функция;

Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Предположим, что периодическая функция $f(x)$ имеет ровно одну точку экстремума $x_0$. Пусть $T$ — её период. Так как $x_0$ — точка экстремума, то в этой точке функция достигает локального максимума или минимума. Допустим, это локальный максимум, то есть в некоторой окрестности точки $x_0$ выполнено $f(x) \le f(x_0)$.

Рассмотрим точку $x_1 = x_0 + T$. В силу периодичности $f(x_1) = f(x_0+T) = f(x_0)$. Для любой точки $y$ в окрестности $x_1$ можно записать $y = x+T$, где $x$ находится в окрестности $x_0$. Тогда $f(y) = f(x+T) = f(x)$. Так как $x$ находится в окрестности максимума $x_0$, то $f(x) \le f(x_0)$. Следовательно, $f(y) \le f(x_0) = f(x_1)$, что означает, что точка $x_1 = x_0+T$ также является точкой локального максимума.

Поскольку $T \neq 0$, точка $x_1$ отлична от $x_0$. Повторяя это рассуждение, мы обнаружим, что все точки вида $x_0 + nT$ (где $n$ — любое целое число) также являются точками экстремума. Таким образом, если у непериодической функции есть хотя бы одна точка экстремума, то их у неё бесконечно много. Исключение составляет постоянная функция $f(x)=c$, у которой каждая точка является точкой экстремума, но их не одна.

Следовательно, периодическая функция не может иметь ровно одну точку экстремума.

Ответ: нет, не может.

г) монотонная функция?

Функция называется монотонной, если она является либо неубывающей (если для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) \le f(x_2)$), либо невозрастающей (если для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) \ge f(x_2)$).

Строго монотонная функция (со строгими неравенствами в определении) не может иметь точек экстремума во внутренних точках области определения. Однако, точки экстремума могут существовать на границах области определения.

Рассмотрим монотонную функцию, определённую на множестве, которое является замкнутым с одной стороны, например, на луче $[a, \infty)$. Возьмем функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Её область определения — $[0, \infty)$. Эта функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения.

Проверим наличие точек экстремума. На границе области определения в точке $x=0$ имеем $f(0)=0$. Для любой другой точки $x>0$ из области определения $f(x) = \sqrt{x} > 0 = f(0)$. Следовательно, точка $x=0$ является точкой глобального (а значит и локального) минимума.

Рассмотрим любую другую точку $x_0 > 0$. В любой её окрестности найдутся точки $x_1 < x_0$ и $x_2 > x_0$. Так как функция строго возрастает при $x > 0$, то $f(x_1) < f(x_0) < f(x_2)$. Это означает, что никакая другая точка $x_0 > 0$ не является точкой экстремума.

Таким образом, функция $f(x) = \sqrt{x}$ на области определения $[0, \infty)$ является монотонной и имеет ровно одну точку экстремума. Другим примером может служить функция $f(x) = e^x$ на области определения $(-\infty, 0]$. Она монотонно возрастает и имеет единственный экстремум (максимум) в точке $x=0$.

Ответ: да, может.

30.40 a) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1;$

б) $y = x^3 - 27x + 26;$

В) $y = x^3 - 7x^2 - 5x + 11;$

Г) $y = -2x^3 + 21x^2 + 19.$

а) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1$

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y'$:

$y' = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

2. Найти критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

3. Исследовать знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую прямую: $(-\infty, 2)$, $(2, 3)$ и $(3, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, 2)$ (например, $x=0$): $y'(0) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6 > 0$, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.
• При $x \in (2, 3)$ (например, $x=2.5$): $y'(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0$, следовательно, функция убывает на этом промежутке.
• При $x \in (3, \infty)$ (например, $x=4$): $y'(4) = 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0$, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

4. Определить точки экстремума.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума: $x_{max} = 2$.

В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума: $x_{min} = 3$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 2]$ и $[3, \infty)$, убывает на промежутке $[2, 3]$; точка максимума $x_{max} = 2$, точка минимума $x_{min} = 3$.

б) $y = x^3 - 27x + 26$

1. Находим производную функции:

$y' = (x^3 - 27x + 26)' = 3x^2 - 27$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$3x^2 - 27 = 0$

$3x^2 = 27$

$x^2 = 9$

$x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, -3)$ (например, $x=-4$): $y'(-4) = 3(-4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-3, 3)$ (например, $x=0$): $y'(0) = 3(0)^2 - 27 = -27 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (3, \infty)$ (например, $x=4$): $y'(4) = 3(4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$, функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума.

В точке $x=-3$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = -3$.

В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума: $x_{min} = 3$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[3, \infty)$, убывает на промежутке $[-3, 3]$; точка максимума $x_{max} = -3$, точка минимума $x_{min} = 3$.

в) $y = x^3 - 7x^2 - 5x + 11$

1. Находим производную функции:

$y' = (x^3 - 7x^2 - 5x + 11)' = 3x^2 - 14x - 5$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$3x^2 - 14x - 5 = 0$.

Вычисляем дискриминант: $D = (-14)^2 - 4(3)(-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

Находим корни: $x = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$.

$x_1 = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

$x_2 = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -1/3)$, $(-1/3, 5)$ и $(5, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, -1/3)$ (например, $x=-1$): $y'(-1) = 3(-1)^2 - 14(-1) - 5 = 3 + 14 - 5 = 12 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1/3, 5)$ (например, $x=0$): $y'(0) = 3(0)^2 - 14(0) - 5 = -5 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (5, \infty)$ (например, $x=6$): $y'(6) = 3(6)^2 - 14(6) - 5 = 108 - 84 - 5 = 19 > 0$, функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума.

В точке $x = -1/3$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = -1/3$.

В точке $x=5$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума: $x_{min} = 5$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1/3]$ и $[5, \infty)$, убывает на промежутке $[-1/3, 5]$; точка максимума $x_{max} = -1/3$, точка минимума $x_{min} = 5$.

г) $y = -2x^3 + 21x^2 + 19$

1. Находим производную функции:

$y' = (-2x^3 + 21x^2 + 19)' = -6x^2 + 42x$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$-6x^2 + 42x = 0$

$-6x(x - 7) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 7$.

3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 7)$ и $(7, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, 0)$ (например, $x=-1$): $y'(-1) = -6(-1)^2 + 42(-1) = -6 - 42 = -48 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0, 7)$ (например, $x=1$): $y'(1) = -6(1)^2 + 42(1) = -6 + 42 = 36 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (7, \infty)$ (например, $x=8$): $y'(8) = -6(8)^2 + 42(8) = -6(64) + 336 = -384 + 336 = -48 < 0$, функция убывает.

4. Определяем точки экстремума.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума: $x_{min} = 0$.

В точке $x=7$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = 7$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[7, \infty)$, возрастает на промежутке $[0, 7]$; точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 7$.