Страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Докажите, что функция:

30.17 а) $y = x^5 + 3x - 6$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 15 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^3}$ возрастает на $(-\infty; 0)$;

в) $y = x^7 + 7x^3 + 2x - 42$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;

г) $y = 21x - \frac{1}{x^5}$ возрастает на $(0; +\infty)$.

а) Для того чтобы доказать, что функция возрастает на заданном интервале, необходимо найти ее производную и показать, что она положительна (или неотрицательна) на этом интервале.Дана функция $y = x^5 + 3x - 6$.Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.Найдем производную функции:$y' = (x^5 + 3x - 6)' = (x^5)' + (3x)' - (6)' = 5x^4 + 3$.Теперь проанализируем знак производной на интервале $(-\infty; +\infty)$.Для любого действительного числа $x$, выражение $x^4$ является неотрицательным, то есть $x^4 \ge 0$.Следовательно, $5x^4 \ge 0$.Тогда $y' = 5x^4 + 3 \ge 0 + 3 = 3$.Поскольку производная $y' = 5x^4 + 3$ строго больше нуля ($y' > 0$) для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, функция $y = x^5 + 3x - 6$ строго возрастает на всей числовой прямой, что и требовалось доказать.Ответ: Доказано, что функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$, так как ее производная $y' = 5x^4 + 3$ положительна на этом интервале.

б) Дана функция $y = 15 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^3}$.Область определения функции — $x \ne 0$. Мы рассматриваем интервал $(-\infty; 0)$, который входит в область определения.Для удобства дифференцирования перепишем функцию в виде $y = 15 - 2x^{-1} - x^{-3}$.Найдем производную функции:$y' = (15 - 2x^{-1} - x^{-3})' = (15)' - (2x^{-1})' - (x^{-3})' = 0 - 2(-1)x^{-2} - (-3)x^{-4} = 2x^{-2} + 3x^{-4}$.Перепишем производную в виде дроби: $y' = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4}$.Проанализируем знак производной на интервале $(-\infty; 0)$.Для любого $x \in (-\infty; 0)$, $x$ — отрицательное число.Однако, $x^2$ (квадрат любого ненулевого числа) всегда положителен, и $x^4$ (четвертая степень любого ненулевого числа) также всегда положителен.Таким образом, оба слагаемых в выражении для производной положительны: $\frac{2}{x^2} > 0$ и $\frac{3}{x^4} > 0$.Сумма двух положительных чисел всегда положительна, поэтому $y' > 0$ для всех $x \in (-\infty; 0)$.Так как производная функции положительна на интервале $(-\infty; 0)$, функция возрастает на этом интервале, что и требовалось доказать.Ответ: Доказано, что функция возрастает на $(-\infty; 0)$, так как ее производная $y' = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4}$ положительна на этом интервале.

в) Дана функция $y = x^7 + 7x^3 + 2x - 42$.Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.Найдем производную функции:$y' = (x^7 + 7x^3 + 2x - 42)' = (x^7)' + (7x^3)' + (2x)' - (42)' = 7x^6 + 7 \cdot 3x^2 + 2 - 0 = 7x^6 + 21x^2 + 2$.Проанализируем знак производной на интервале $(-\infty; +\infty)$.Для любого действительного числа $x$, выражения $x^6$ и $x^2$ являются неотрицательными, так как любое число в четной степени неотрицательно: $x^6 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$.Следовательно, $7x^6 \ge 0$ и $21x^2 \ge 0$.Тогда $y' = 7x^6 + 21x^2 + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2$.Поскольку производная $y' = 7x^6 + 21x^2 + 2$ строго больше нуля ($y' > 0$) для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, функция $y = x^7 + 7x^3 + 2x - 42$ строго возрастает на всей числовой прямой, что и требовалось доказать.Ответ: Доказано, что функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$, так как ее производная $y' = 7x^6 + 21x^2 + 2$ положительна на этом интервале.

г) Дана функция $y = 21x - \frac{1}{x^5}$.Область определения функции — $x \ne 0$. Мы рассматриваем интервал $(0; +\infty)$, который входит в область определения.Для удобства дифференцирования перепишем функцию в виде $y = 21x - x^{-5}$.Найдем производную функции:$y' = (21x - x^{-5})' = (21x)' - (x^{-5})' = 21 - (-5)x^{-6} = 21 + 5x^{-6}$.Перепишем производную в виде дроби: $y' = 21 + \frac{5}{x^6}$.Проанализируем знак производной на интервале $(0; +\infty)$.Для любого $x \in (0; +\infty)$, $x$ — положительное число.Тогда $x^6$ также является положительным числом, и, следовательно, дробь $\frac{5}{x^6}$ положительна.Сумма положительного числа 21 и положительного числа $\frac{5}{x^6}$ всегда положительна, поэтому $y' > 0$ для всех $x \in (0; +\infty)$.Так как производная функции положительна на интервале $(0; +\infty)$, функция возрастает на этом интервале, что и требовалось доказать.Ответ: Доказано, что функция возрастает на $(0; +\infty)$, так как ее производная $y' = 21 + \frac{5}{x^6}$ положительна на этом интервале.

30.21 а) $y = -x^3 - 5x + 3$ убывает на $(-\infty; +\infty);$

б) $y = -2x^5 - 7x^3 - x + 8$ убывает на $(-\infty; +\infty);$

в) $y = -x^3 + 3x^2 - 6x + 1$ убывает на $(-\infty; +\infty);$

г) $y = -4x^3 + 4x^2 - 2x + 9$ убывает на $(-\infty; +\infty).$

а) Для того чтобы доказать, что функция $y = -x^3 - 5x + 3$ убывает на всей числовой оси, то есть на интервале $(-\infty; +\infty)$, необходимо найти ее производную и показать, что она неположительна ($y' \le 0$) для всех значений $x$.

Найдем производную функции:
$y' = (-x^3 - 5x + 3)' = -3x^2 - 5$.

Теперь проанализируем знак производной $y' = -3x^2 - 5$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$.
Следовательно, $-3x^2 \le 0$.
Тогда $-3x^2 - 5 \le 0 - 5$, что означает $-3x^2 - 5 \le -5$.
Таким образом, производная $y'$ всегда отрицательна ($y' < 0$) для любого действительного значения $x$.

Поскольку производная функции отрицательна на всей области определения, функция монотонно убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: утверждение доказано.

б) Рассмотрим функцию $y = -2x^5 - 7x^3 - x + 8$. Чтобы доказать, что она убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$, найдем ее производную и исследуем ее знак.

Производная функции:
$y' = (-2x^5 - 7x^3 - x + 8)' = -10x^4 - 21x^2 - 1$.

Проанализируем знак производной $y' = -10x^4 - 21x^2 - 1$.
Выражения $x^4$ и $x^2$ всегда неотрицательны: $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $-10x^4 \le 0$ и $-21x^2 \le 0$.
Сумма двух неположительных слагаемых и отрицательного числа (-1) всегда будет отрицательной:
$y' = \underbrace{-10x^4}_{\le 0} + \underbrace{(-21x^2)}_{\le 0} + (-1) < 0$.
Более строго, максимальное значение производной достигается при $x=0$ и равно $y'(0) = -1$. Для всех остальных $x$ значение производной будет еще меньше.

Так как производная функции всегда отрицательна, функция монотонно убывает на всей числовой оси.
Ответ: утверждение доказано.

в) Рассмотрим функцию $y = -x^3 + 3x^2 - 6x + 1$. Докажем, что она убывает на $(-\infty; +\infty)$.

Найдем производную:
$y' = (-x^3 + 3x^2 - 6x + 1)' = -3x^2 + 6x - 6$.

Исследуем знак квадратичной функции $y' = -3x^2 + 6x - 6$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-3 < 0$). Чтобы определить знак этой функции, найдем ее дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(-3)(-6) = 36 - 72 = -36$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент отрицателен ($a = -3 < 0$), вся парабола находится ниже оси абсцисс, то есть $y' < 0$ для всех $x$.
Другой способ — выделить полный квадрат:
$y' = -3(x^2 - 2x + 2) = -3((x^2 - 2x + 1) + 1) = -3((x - 1)^2 + 1) = -3(x - 1)^2 - 3$.
Так как $(x - 1)^2 \ge 0$, то $-3(x-1)^2 \le 0$, и $y' = -3(x - 1)^2 - 3 \le -3$.

Производная всегда отрицательна, следовательно, функция монотонно убывает на $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: утверждение доказано.

г) Рассмотрим функцию $y = -4x^3 + 4x^2 - 2x + 9$. Докажем, что она убывает на $(-\infty; +\infty)$.

Найдем производную:
$y' = (-4x^3 + 4x^2 - 2x + 9)' = -12x^2 + 8x - 2$.

Исследуем знак квадратичной функции $y' = -12x^2 + 8x - 2$. Ветви параболы направлены вниз ($a = -12 < 0$). Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(-12)(-2) = 64 - 96 = -32$.

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент отрицателен ($a = -12 < 0$), то $y' < 0$ для всех $x$.
Также можно выделить полный квадрат:
$y' = -12x^2 + 8x - 2 = -2(6x^2 - 4x + 1)$.
Рассмотрим выражение в скобках. $6x^2 - 4x + 1 = 6(x^2 - \frac{2}{3}x) + 1 = 6(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}) + 1 = 6(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{6}{9} + 1 = 6(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3}$.
Это выражение всегда положительно.
Тогда $y' = -2 \cdot (6(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3})$ всегда отрицательна.

Поскольку производная всегда отрицательна, функция монотонно убывает на $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: утверждение доказано.

Исследуйте функцию на монотонность:

30.14 а) $y = x^4 - 2x^2 - 3;$

б) $y = -x^5 - x;$

в) $y = -3x^4 + 4x^3 - 15;$

г) $y = 5x^5 - 1.$

а) Чтобы исследовать функцию $y = x^4 - 2x^2 - 3$ на монотонность, необходимо найти ее производную и определить знаки производной на интервалах. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Находим производную функции:

$y' = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x-1)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Определяем знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -1)$, например, при $x = -2$: $y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-1, 0)$, например, при $x = -0.5$: $y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(0, 1)$, например, при $x = 0.5$: $y'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(1, +\infty)$, например, при $x = 2$: $y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 > 0$. Функция возрастает.

Следовательно, функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$ и убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$.

б) Исследуем функцию $y = -x^5 - x$. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Находим производную:

$y' = (-x^5 - x)' = -5x^4 - 1$.

2. Ищем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$-5x^4 - 1 = 0 \implies 5x^4 = -1$.

Это уравнение не имеет действительных решений, поскольку $x^4 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

3. Определяем знак производной. Так как $x^4 \ge 0$, то $-5x^4 \le 0$. Следовательно, $y' = -5x^4 - 1 \le -1 < 0$ для всех $x$ из области определения.

Поскольку производная функции отрицательна на всей числовой оси, функция является строго убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.

в) Исследуем функцию $y = -3x^4 + 4x^3 - 15$. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Находим производную:

$y' = (-3x^4 + 4x^3 - 15)' = -12x^3 + 12x^2$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$-12x^3 + 12x^2 = 0$

$-12x^2(x - 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, 0)$, например, при $x = -1$: $y'(-1) = -12(-1)^3 + 12(-1)^2 = 12 + 12 = 24 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(0, 1)$, например, при $x = 0.5$: $y'(0.5) = -12(0.5)^3 + 12(0.5)^2 = -1.5 + 3 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(1, +\infty)$, например, при $x = 2$: $y'(2) = -12(2)^3 + 12(2)^2 = -96 + 48 = -48 < 0$. Функция убывает.

Поскольку производная положительна на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$ и функция непрерывна в точке $x=0$, она возрастает на всем промежутке $(-\infty, 1]$. На промежутке $[1, +\infty)$ производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

г) Исследуем функцию $y = 5x^5 - 1$. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Находим производную:

$y' = (5x^5 - 1)' = 25x^4$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$25x^4 = 0 \implies x = 0$.

3. Определяем знак производной. Для любого $x \ne 0$, $x^4 > 0$, поэтому $y' = 25x^4 > 0$. В точке $x=0$ производная равна нулю.

Так как производная функции неотрицательна ($y' \ge 0$) на всей области определения и обращается в ноль лишь в одной изолированной точке, функция является строго возрастающей на всей числовой оси.

Ответ: функция возрастает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.

30.18 a) $y = 7x - \cos 2x$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 3\operatorname{tg}x$ возрастает на $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$;

в) $y = -\operatorname{ctg}x$ возрастает на $(0; \pi)$;

г) $y = 10x + \sin 3x$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

а)

Для того чтобы доказать, что функция $y = 7x - \cos(2x)$ возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, необходимо найти ее производную и показать, что она положительна для любого $x$ из этого промежутка. Функция дифференцируема на всей числовой прямой.

Найдем производную функции $y(x)$, используя правила дифференцирования:

$y' = (7x - \cos(2x))' = (7x)' - (\cos(2x))' = 7 - (-\sin(2x) \cdot (2x)') = 7 + 2\sin(2x)$.

Теперь оценим знак производной. Область значений функции синус: $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$ для любого $\alpha$. Следовательно, для $\sin(2x)$ также выполняется:

$-1 \le \sin(2x) \le 1$.

Умножим все части неравенства на 2:

$-2 \le 2\sin(2x) \le 2$.

Прибавим 7 ко всем частям неравенства:

$7 - 2 \le 7 + 2\sin(2x) \le 7 + 2$,

$5 \le y' \le 9$.

Так как производная $y'$ всегда находится в пределах от 5 до 9, она всегда строго положительна ($y' > 0$) для любого действительного $x$. Согласно достаточному условию возрастания функции, если производная функции положительна на некотором промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.

Ответ: Производная функции $y' = 7 + 2\sin(2x) > 0$ на всей числовой прямой, так как $5 \le 7 + 2\sin(2x) \le 9$. Это доказывает, что функция $y = 7x - \cos(2x)$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

б)

Чтобы доказать, что функция $y = 3\tg x$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, найдем ее производную. Функция определена и дифференцируема на данном интервале.

Производная функции $y(x)$:

$y' = (3\tg x)' = 3 \cdot (\tg x)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3}{\cos^2 x}$.

Проанализируем знак производной на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Числитель дроби равен 3, что является положительным числом.

Знаменатель дроби $\cos^2 x$. Для любого $x$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ значение $\cos x$ отлично от нуля. Так как квадрат любого ненулевого числа положителен, $\cos^2 x > 0$ на данном интервале.

Таким образом, производная $y' = \frac{3}{\cos^2 x}$ является отношением положительного числа к положительному числу, а значит, $y' > 0$ для всех $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{3}{\cos^2 x} > 0$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что доказывает, что функция $y = 3\tg x$ возрастает на этом интервале.

в)

Чтобы доказать, что функция $y = -\ctg x$ возрастает на интервале $(0; \pi)$, найдем ее производную. Функция определена и дифференцируема на данном интервале.

Производная функции $y(x)$:

$y' = (-\ctg x)' = -(\ctg x)' = -(-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Проанализируем знак производной на интервале $(0; \pi)$.

Числитель дроби равен 1, что является положительным числом.

Знаменатель дроби $\sin^2 x$. Для любого $x$ из интервала $(0; \pi)$ значение $\sin x$ отлично от нуля. Так как квадрат любого ненулевого числа положителен, $\sin^2 x > 0$ на данном интервале.

Таким образом, производная $y' = \frac{1}{\sin^2 x}$ является отношением положительного числа к положительному числу, а значит, $y' > 0$ для всех $x \in (0; \pi)$.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{1}{\sin^2 x} > 0$ на интервале $(0; \pi)$, что доказывает, что функция $y = -\ctg x$ возрастает на этом интервале.

г)

Для того чтобы доказать, что функция $y = 10x + \sin(3x)$ возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, необходимо найти ее производную и показать, что она положительна для любого $x$. Функция дифференцируема на всей числовой прямой.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (10x + \sin(3x))' = (10x)' + (\sin(3x))' = 10 + \cos(3x) \cdot (3x)' = 10 + 3\cos(3x)$.

Теперь оценим знак производной. Область значений функции косинус: $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$ для любого $\alpha$. Следовательно, для $\cos(3x)$ также выполняется:

$-1 \le \cos(3x) \le 1$.

Умножим все части неравенства на 3:

$-3 \le 3\cos(3x) \le 3$.

Прибавим 10 ко всем частям неравенства:

$10 - 3 \le 10 + 3\cos(3x) \le 10 + 3$,

$7 \le y' \le 13$.

Так как производная $y'$ всегда находится в пределах от 7 до 13, она всегда строго положительна ($y' > 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $y' = 10 + 3\cos(3x) > 0$ на всей числовой прямой, так как $7 \le 10 + 3\cos(3x) \le 13$. Это доказывает, что функция $y = 10x + \sin(3x)$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

30.15 a) $y = \frac{1}{x+3}$;

Б) $y = \frac{3x-1}{3x+1}$;

В) $y = \frac{2}{x}+1$;

Г) $y = \frac{1-2x}{3+2x}$.

Функция $y = \frac{1}{x+3}$ является дробно-рациональной. Её область определения — это множество всех действительных чисел, за исключением тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдём значение $x$, которое необходимо исключить, решив уравнение, приравнивающее знаменатель к нулю:
$x + 3 = 0$
$x = -3$
Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме $x = -3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Функция $y = \frac{3x-1}{3x+1}$ является дробно-рациональной. Область определения данной функции — это множество всех действительных чисел, при которых знаменатель не равен нулю. Найдём значения $x$, которые необходимо исключить, решив уравнение $3x + 1 = 0$:
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Следовательно, область определения функции — все действительные числа, кроме $x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Область определения функции $y = \frac{2}{x} + 1$ совпадает с областью определения слагаемого $\frac{2}{x}$, так как второе слагаемое (константа 1) определено для любого $x$. Выражение $\frac{2}{x}$ определено, когда его знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Функция $y = \frac{1-2x}{3+2x}$ является дробно-рациональной. Её область определения — это множество всех действительных чисел, за исключением тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдём это значение $x$, решив уравнение $3 + 2x = 0$:
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}; +\infty)$.

30.19 a) $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x - 35$ возрастает на $(-\infty; +\infty);$

б) $y = 3x^3 - 6x^2 + 41x - 137$ возрастает на $(-\infty; +\infty).$

а) Чтобы доказать, что функция $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x - 35$ возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$, необходимо найти ее производную и показать, что она неотрицательна (а в данном случае, строго положительна) для всех значений $x$.

Функция является дифференцируемой на всей числовой прямой. Найдем ее производную:

$y' = (2x^3 + 2x^2 + 11x - 35)' = 2 \cdot (x^3)' + 2 \cdot (x^2)' + 11 \cdot (x)' - (35)' = 2 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x + 11 \cdot 1 - 0 = 6x^2 + 4x + 11$.

Теперь исследуем знак производной $y' = 6x^2 + 4x + 11$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Старший коэффициент $a = 6$ положителен ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс, найдем дискриминант квадратного трехчлена $6x^2 + 4x + 11$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 6 \cdot 11 = 16 - 264 = -248$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a > 0$, квадратный трехчлен $6x^2 + 4x + 11$ принимает только положительные значения при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, $y'(x) > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Поскольку производная функции строго положительна на всей числовой прямой, функция $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x - 35$ строго возрастает на интервале $(-\infty; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Аналогично предыдущему пункту, чтобы доказать, что функция $y = 3x^3 - 6x^2 + 41x - 137$ возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$, найдем ее производную и исследуем ее знак.

Функция является дифференцируемой на всей числовой прямой. Найдем ее производную:

$y' = (3x^3 - 6x^2 + 41x - 137)' = 3 \cdot (x^3)' - 6 \cdot (x^2)' + 41 \cdot (x)' - (137)' = 3 \cdot 3x^2 - 6 \cdot 2x + 41 \cdot 1 - 0 = 9x^2 - 12x + 41$.

Исследуем знак производной $y' = 9x^2 - 12x + 41$. Это квадратичная функция с параболой, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 9$ положителен ($a > 0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $9x^2 - 12x + 41$:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 41 = 144 - 36 \cdot 41 = 144 - 1476 = -1332$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a > 0$, квадратный трехчлен $9x^2 - 12x + 41$ принимает только положительные значения при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, $y'(x) > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Поскольку производная функции строго положительна на всей числовой прямой, функция $y = 3x^3 - 6x^2 + 41x - 137$ строго возрастает на интервале $(-\infty; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

30.16 a) $y = \sqrt{3x-1}$;

Б) $y = \sqrt{1-x+2x}$;

В) $y = \sqrt{1-2x}$;

Г) $y = \sqrt{2x-1-x}$.

а) $y = \sqrt{3x - 1}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$3x - 1 \ge 0$

Перенесем -1 в правую часть неравенства, изменив знак:

$3x \ge 1$

Разделим обе части на 3:

$x \ge \frac{1}{3}$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие или равные $\frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{1 - x} + 2x$

Область определения функции определяется областью определения каждого слагаемого. Слагаемое $2x$ определено для любых действительных чисел $x$. Для слагаемого $\sqrt{1-x}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$1 - x \ge 0$

Перенесем $-x$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$1 \ge x$

или

$x \le 1$

Следовательно, область определения всей функции — это все значения $x$, меньшие или равные 1.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

в) $y = \sqrt{1 - 2x}$

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$1 - 2x \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$-2x \ge -1$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-1}{-2}$

$x \le \frac{1}{2}$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, меньшие или равные $\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}]$.

г) $y = \sqrt{2x - 1} - x$

Область определения функции определяется областью определения каждого члена выражения. Выражение $-x$ определено для любых действительных чисел $x$. Для выражения $\sqrt{2x - 1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$2x - 1 \ge 0$

Перенесем -1 в правую часть:

$2x \ge 1$

Разделим обе части на 2:

$x \ge \frac{1}{2}$

Следовательно, область определения всей функции — это все значения $x$, большие или равные $\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; +\infty)$.

30.20 a) $y = \frac{4x}{4x+1}$ возрастает на $(-\frac{1}{4}; +\infty)$;

б) $y = \frac{2x-13}{x-5}$ возрастает на $(-\infty; 5)$.

а)

Для того чтобы доказать, что функция $y = \frac{4x}{4x+1}$ возрастает на интервале $(-\frac{1}{4}; +\infty)$, необходимо найти ее производную и определить знак этой производной на заданном интервале. Функция является возрастающей на интервале, если ее производная на этом интервале положительна.

Область определения функции задается условием $4x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{1}{4}$. Заданный интервал $(-\frac{1}{4}; +\infty)$ входит в область определения функции.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = 4x$ и $v(x) = 4x + 1$. Тогда $u'(x) = 4$ и $v'(x) = 4$.

$y' = \left(\frac{4x}{4x+1}\right)' = \frac{(4x)'(4x+1) - 4x(4x+1)'}{(4x+1)^2} = \frac{4(4x+1) - 4x \cdot 4}{(4x+1)^2}$

$y' = \frac{16x + 4 - 16x}{(4x+1)^2} = \frac{4}{(4x+1)^2}$

Теперь определим знак производной $y' = \frac{4}{(4x+1)^2}$ на интервале $(-\frac{1}{4}; +\infty)$.

Числитель дроби равен 4, что является положительным числом.

Знаменатель дроби $(4x+1)^2$ является квадратом выражения. Для любого $x$ из интервала $(-\frac{1}{4}; +\infty)$, выражение $4x+1$ строго больше нуля, следовательно, его квадрат $(4x+1)^2$ также будет строго больше нуля.

Поскольку производная представляет собой отношение положительного числа (4) к положительному числу ($(4x+1)^2$), то $y' > 0$ для всех $x \in (-\frac{1}{4}; +\infty)$.

Так как производная функции положительна на всем указанном интервале, то функция $y = \frac{4x}{4x+1}$ возрастает на этом интервале, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Для того чтобы доказать, что функция $y = \frac{2x-13}{x-5}$ возрастает на интервале $(-\infty; 5)$, найдем ее производную и исследуем ее знак на этом интервале.

Область определения функции задается условием $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$. Заданный интервал $(-\infty; 5)$ входит в область определения функции.

Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = 2x-13$ и $v(x) = x-5$. Тогда $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 1$.

$y' = \left(\frac{2x-13}{x-5}\right)' = \frac{(2x-13)'(x-5) - (2x-13)(x-5)'}{(x-5)^2} = \frac{2(x-5) - (2x-13) \cdot 1}{(x-5)^2}$

$y' = \frac{2x - 10 - 2x + 13}{(x-5)^2} = \frac{3}{(x-5)^2}$

Теперь определим знак производной $y' = \frac{3}{(x-5)^2}$ на интервале $(-\infty; 5)$.

Числитель дроби равен 3, что является положительным числом.

Знаменатель дроби $(x-5)^2$ является квадратом выражения. Для любого $x$ из интервала $(-\infty; 5)$, выражение $x-5$ не равно нулю, следовательно, его квадрат $(x-5)^2$ всегда будет строго больше нуля.

Таким образом, производная $y'$ является отношением положительного числа (3) к положительному числу ($(x-5)^2$), а значит, $y' > 0$ для всех $x \in (-\infty; 5)$.

Поскольку производная функции положительна на всем указанном интервале, то функция $y = \frac{2x-13}{x-5}$ возрастает на этом интервале, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.