Страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

30.33 а) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале $(a; b)$, имеющей на этом интервале одну точку минимума, две точки максимума и не имеющей наименьшего значения.

б) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале $(a; b)$, имеющей на нём две точки минимума, две точки максимума, но не имеющей ни наименьшего, ни наибольшего значений.

а)

Для построения эскиза графика функции, удовлетворяющей заданным условиям, проанализируем эти условия:

1. Дифференцируемость на интервале $(a; b)$. Это означает, что график функции должен быть гладкой, непрерывной кривой на всем интервале, без разрывов, изломов или угловых точек.

2. Одна точка минимума и две точки максимума. Для дифференцируемой функции точки локальных максимумов и минимумов (экстремумов) должны чередоваться. Чтобы получить одну точку минимума и две точки максимума, их порядок на оси $Ox$ должен быть таким: максимум, затем минимум, затем снова максимум. Обозначим абсциссы этих точек как $x_{max1}$, $x_{min}$, $x_{max2}$, где $a < x_{max1} < x_{min} < x_{max2} < b$. В этих точках производная функции равна нулю: $f'(x_{max1}) = f'(x_{min}) = f'(x_{max2}) = 0$.

3. Характер монотонности. Исходя из чередования экстремумов, функция будет возрастать на интервале $(a, x_{max1})$, убывать на $(x_{max1}, x_{min})$, снова возрастать на $(x_{min}, x_{max2})$ и снова убывать на $(x_{max2}, b)$.

4. Отсутствие наименьшего значения. Наименьшее значение на интервале — это глобальный минимум. Его отсутствие означает, что функция не ограничена снизу. Для функции, определённой на открытом интервале $(a; b)$, это возможно, если её значения стремятся к минус бесконечности при приближении аргумента к одной из границ интервала. То есть, должен выполняться один из пределов: $\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty$ или $\lim_{x \to b^-} f(x) = -\infty$.

Совместим все условия для построения эскиза. Выберем вариант, когда $\lim_{x \to b^-} f(x) = -\infty$. Это согласуется с тем, что на последнем участке $(x_{max2}, b)$ функция убывает. На левой границе интервала, при $x \to a^+$, функция может стремиться к конечному значению.

Ответ: Эскиз графика представляет собой гладкую кривую на интервале $(a; b)$. При приближении $x$ к $a$ справа, функция $f(x)$ стремится к некоторому конечному значению (например, к нулю). Затем функция возрастает до точки локального максимума, после чего убывает до точки локального минимума. Далее она снова возрастает до второй точки локального максимума, которая может быть выше или ниже первой. После второй точки максимума функция убывает и стремится к $-\infty$ при приближении $x$ к $b$ слева. Таким образом, прямая $x=b$ является вертикальной асимптотой. Локальный минимум не является наименьшим значением функции, так как функция неограниченно убывает при $x \to b^-$.

б)

Проанализируем условия для построения второго эскиза:

1. Дифференцируемость на интервале $(a; b)$. График — гладкая непрерывная кривая.

2. Две точки минимума и две точки максимума. Это означает, что производная $f'(x)$ имеет четыре корня на интервале $(a; b)$. Экстремумы должны чередоваться. Возможны два порядка: мин-макс-мин-макс или макс-мин-макс-мин. Выберем для примера второй порядок. Пусть абсциссы экстремумов $x_1, x_2, x_3, x_4$ таковы, что $a < x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < b$. Тогда в $x_1$ и $x_3$ — локальные максимумы, а в $x_2$ и $x_4$ — локальные минимумы.

3. Характер монотонности. Для выбранного порядка экстремумов функция возрастает на $(a, x_1)$, убывает на $(x_1, x_2)$, возрастает на $(x_2, x_3)$, убывает на $(x_3, x_4)$ и снова возрастает на $(x_4, b)$.

4. Отсутствие наименьшего и наибольшего значений. Это означает, что функция не ограничена ни снизу, ни сверху. На открытом интервале $(a; b)$ это достигается, если на его концах функция уходит в бесконечность. То есть, должны выполняться предельные соотношения: $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ и $\lim_{x \to b^-} f(x) = \mp\infty$.

Совместим эти условия. Выбранный нами характер монотонности (возрастание на $(a, x_1)$ и на $(x_4, b)$) соответствует следующему поведению на границах: $\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty$ и $\lim_{x \to b^-} f(x) = +\infty$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой гладкую кривую на интервале $(a; b)$. При приближении $x$ к $a$ справа, функция $f(x)$ стремится к $-\infty$ (прямая $x=a$ — вертикальная асимптота). Затем функция возрастает до первого локального максимума, убывает до первого локального минимума, снова возрастает до второго локального максимума и снова убывает до второго локального минимума. После второй точки минимума функция возрастает и стремится к $+\infty$ при приближении $x$ к $b$ слева (прямая $x=b$ — также вертикальная асимптота). Вследствие того, что $\inf_{(a;b)} f(x) = -\infty$ и $\sup_{(a;b)} f(x) = +\infty$, функция не имеет на интервале ни наименьшего, ни наибольшего значений.

30.34 При каких значениях параметра a заданная функция имеет одну стационарную точку:

а) $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5;$

б) $y = x^3 - 3ax^2 + 75x - 10?$

Стационарными точками функции называются точки, в которых её производная равна нулю. Для функции $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5$ найдем производную:

$y' = (x^3 - 3ax^2 + 27x - 5)' = 3x^2 - 6ax + 27$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $3x^2 - 6ax + 27 = 0$.

Чтобы функция имела одну стационарную точку, это квадратное уравнение должно иметь ровно один корень. Для этого его дискриминант $D$ должен быть равен нулю. Упростим уравнение, разделив его на 3: $x^2 - 2ax + 9 = 0$.

Вычислим дискриминант этого уравнения, используя формулу $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4a^2 - 36$.

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:

$4a^2 - 36 = 0$
$4a^2 = 36$
$a^2 = 9$
$a = \pm 3$.

Ответ: $a = -3, a = 3$.

Для функции $y = x^3 - 3ax^2 + 75x - 10$ проделаем аналогичные шаги. Найдем производную:

$y' = (x^3 - 3ax^2 + 75x - 10)' = 3x^2 - 6ax + 75$.

Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 6ax + 75 = 0$.

Данная функция будет иметь одну стационарную точку, если это квадратное уравнение имеет ровно один корень, то есть его дискриминант равен нулю. Упростим уравнение, разделив его на 3:

$x^2 - 2ax + 25 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 4a^2 - 100$.

Приравняем дискриминант к нулю и найдем значения $a$:

$4a^2 - 100 = 0$
$4a^2 = 100$
$a^2 = 25$
$a = \pm 5$.

Ответ: $a = -5, a = 5$.

30.35 Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:

а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

б) функция возрастает при $x \le 1$ и при $x \ge 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$; точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной;

в) функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

г) функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

Для построения эскиза графика функции, обладающей указанными свойствами, можно представить себе волнообразную кривую, ограниченную двумя горизонтальными линиями. Выполним построение по шагам:

1. Поскольку функция ограничена, ее график должен лежать между двумя горизонтальными прямыми. Например, между $y = -2$ и $y = 4$. Это означает, что для любого $x$ из области определения, значение функции $f(x)$ удовлетворяет неравенству $-2 \le f(x) \le 4$.
2. Функция имеет две точки максимума и одну точку минимума. Точки экстремума должны чередоваться. Таким образом, последовательность будет такой: максимум, затем минимум, затем снова максимум.
3. Выберем конкретные значения для точек экстремума. Пусть первая точка максимума будет в точке $x_1 = -3$ со значением $f(-3) = 3$. Вторая точка максимума — в точке $x_2 = 3$ со значением $f(3) = 3$. Точка минимума пусть будет между ними, в точке $x_3 = 0$ со значением $f(0) = 0$.
4. Теперь соединим эти точки плавной кривой. Слева, при $x \to -\infty$, функция может приближаться к какой-либо горизонтальной асимптоте, например $y=1$. При движении вправо функция возрастает до точки максимума $(-3, 3)$.
5. От точки максимума $(-3, 3)$ функция убывает до точки минимума $(0, 0)$.
6. От точки минимума $(0, 0)$ функция возрастает до второй точки максимума $(3, 3)$.
7. После второй точки максимума функция снова убывает и при $x \to +\infty$ может приближаться к той же или другой горизонтальной асимптоте, например $y=1$.

Полученный график напоминает букву "М", слегка сглаженную и расположенную между двумя горизонтальными линиями. Он имеет два пика (максимумы) и одну впадину (минимум) и не уходит на бесконечность, то есть является ограниченным.

Ответ: Эскиз представляет собой гладкую кривую, которая, например, при $x \to -\infty$ приближается к прямой $y=1$, достигает локального максимума в точке $(-3, 3)$, затем убывает до локального минимума в точке $(0, 0)$, возрастает до второго локального максимума в точке $(3, 3)$ и снова убывает, приближаясь к прямой $y=1$ при $x \to +\infty$. Весь график находится в полосе между $y=0$ и $y=3$.

б) функция возрастает при $x \le 1$ и при $x \ge 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$; точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной;

Проанализируем свойства и построим эскиз графика:

1. Интервалы монотонности: функция возрастает на $(-\infty, 1]$, убывает на $[1, 5]$ и снова возрастает на $[5, \infty)$.
2. Поведение в точке $x=1$: слева от точки $x=1$ функция возрастает, а справа — убывает. Это означает, что в точке $x=1$ находится локальный максимум. Условие гласит, что это критическая точка. Критическая точка — это точка, где производная равна нулю или не существует. Чтобы показать случай, где производная не существует, можно нарисовать в этой точке "пик" или "угол".
3. Поведение в точке $x=5$: слева от точки $x=5$ функция убывает, а справа — возрастает. Это означает, что в точке $x=5$ находится локальный минимум. Условие гласит, что это стационарная точка, то есть производная в этой точке равна нулю ($f'(5) = 0$). Графически это означает, что в точке минимума касательная к графику горизонтальна, и кривая имеет гладкий изгиб.
4. Построим эскиз. Пусть функция начинается в левом нижнем углу и возрастает до точки $x=1$. Выберем координаты максимума, например, $(1, 4)$. Нарисуем в этой точке острый пик.
5. От точки максимума $(1, 4)$ функция убывает до точки $x=5$. Выберем координаты минимума, например, $(5, 1)$. В этой точке нарисуем гладкую впадину с горизонтальной касательной.
6. От точки минимума $(5, 1)$ функция возрастает и уходит в правый верхний угол.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, которая возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$, достигая максимума в точке $(1, 4)$ (в этой точке график имеет излом, "пик"). Затем функция убывает на промежутке $[1, 5]$ до точки минимума $(5, 1)$ (в этой точке график имеет гладкий изгиб с горизонтальной касательной). Наконец, на промежутке $[5, \infty)$ функция снова возрастает.

в) функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

Построим эскиз графика, удовлетворяющего данным условиям:

1. Разрыв в точке $x=-2$. Существуют разные типы разрывов. Наиболее наглядным является разрыв второго рода с вертикальной асимптотой. Нарисуем вертикальную прямую $x=-2$.
2. Зададим поведение функции около асимптоты. Например, пусть при приближении к $x=-2$ слева функция уходит на $+\infty$ ($\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$), а при приближении справа — на $-\infty$ ($\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$).
3. Максимум в точке $x=-1$. Справа от асимптоты ($x>-2$) функция "начинается" с $-\infty$ и должна возрасти до точки максимума. Пусть максимум будет в точке $(-1, 2)$.
4. Минимум в точке $x=1$. После максимума в точке $x=-1$ функция должна убывать до точки минимума. Пусть минимум будет в точке $(1, -1)$.
5. После точки минимума $x=1$ функция должна возрастать. Пусть она возрастает неограниченно при $x \to +\infty$.
6. Определим поведение функции слева от асимптоты ($x<-2$). Мы уже задали, что она уходит на $+\infty$ при $x \to -2^-$. При $x \to -\infty$ функция может, например, убывать с $+\infty$ или приближаться к какой-либо горизонтальной асимптоте. Для простоты можно нарисовать ветвь, приходящую из левого верхнего угла.

Ответ: Эскиз может выглядеть так: проведена вертикальная асимптота $x=-2$. Слева от асимптоты ($x<-2$) ветвь графика уходит вверх, стремясь к $+\infty$ при $x \to -2^-$. Справа от асимптоты ($x>-2$) ветвь графика выходит из $-\infty$, возрастает до точки локального максимума $(-1, 2)$, затем убывает до точки локального минимума $(1, -1)$, а после нее возрастает неограниченно при $x \to +\infty$.

г) функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

Для построения эскиза графика с данными свойствами выполним следующие шаги:

1. Нарисуем горизонтальную асимптоту $y=3$. Это означает, что при $x \to \infty$ график функции будет неограниченно приближаться к этой прямой.
2. Функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Они должны располагаться при конечных значениях $x$. Рассмотрим случай, когда максимум находится левее минимума.
3. Выберем положение экстремумов. Пусть точка максимума будет $x_{max} = -1$, а точка минимума — $x_{min} = 2$.
4. Чтобы функция пришла к максимуму, она должна возрастать. Пусть при $x \to -\infty$ функция уходит на $-\infty$. Тогда она возрастает из $-\infty$ до точки максимума. Пусть это точка $(-1, 1)$.
5. От точки максимума $(-1, 1)$ функция убывает до точки минимума. Пусть это точка $(2, -2)$.
6. От точки минимума $(2, -2)$ функция должна возрастать. Поскольку при $x \to \infty$ она должна приближаться к $y=3$, она будет возрастать, приближаясь к этой прямой снизу.

Таким образом, график может пересекать свою горизонтальную асимптоту (в данном примере этого не происходит, но это возможно в другом варианте расположения экстремумов). Главное, что на бесконечности он к ней стремится.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, которая начинается в левой нижней части плоскости (стремится к $-\infty$ при $x \to -\infty$), возрастает до точки локального максимума, например, $(-1, 1)$, затем убывает до точки локального минимума, например, $(2, -2)$, и после этого снова возрастает, приближаясь снизу к горизонтальной асимптоте $y=3$ при $x \to \infty$.

30.32 Используя данные о производной $f'(x)$, приведённые в таблице, укажите:

а) промежутки возрастания функции $y = f(x)$;

б) промежутки убывания функции $y = f(x)$;

в) точки максимума функции $y = f(x)$;

г) точки минимума функции $y = f(x)$.

$x$: $(-\infty; 5)$, $-5$, $(-5; -2)$, $-2$, $(-2; 8)$, $8$, $(8; +\infty)$

$f'(x)$: $+$, $0$, $-$, $0$, $+$, $0$, $+$

а) промежутки возрастания функции $y = f(x)$

Функция $y = f(x)$ возрастает на тех промежутках, где её производная $f'(x)$ положительна ($f'(x) > 0$). Согласно данным из таблицы, производная положительна на интервалах $(-\infty; -5)$, $(-2; 8)$ и $(8; +\infty)$.

Поскольку функция является непрерывной в точках, где производная определена (включая точки, где $f'(x)=0$), мы можем объединить смежные интервалы возрастания. На интервалах $(-2; 8)$ и $(8; +\infty)$ производная положительна, а в точке $x=8$ она равна нулю. Это означает, что функция не убывает и является возрастающей на всем промежутке $[-2; +\infty)$. Аналогично, функция возрастает на промежутке $(-\infty; -5]$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $(-\infty; -5]$ и $[-2; +\infty)$.

б) промежутки убывания функции $y = f(x)$

Функция $y = f(x)$ убывает на тех промежутках, где её производная $f'(x)$ отрицательна ($f'(x) < 0$). Из таблицы видно, что это происходит на интервале $(-5; -2)$.

Поскольку в точках $x=-5$ и $x=-2$ функция непрерывна (так как в них существует производная), промежуток убывания можно записать, включая концы.

Ответ: промежуток убывания функции: $[-5; -2]$.

в) точки максимума функции $y = f(x)$

Точки экстремума функции находятся среди её критических точек — точек, где производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Из таблицы следует, что $f'(x) = 0$ при $x = -5$, $x = -2$ и $x = 8$.

Точка максимума — это критическая точка, при переходе через которую производная меняет знак с «+» на «−».

Рассмотрим точку $x = -5$. Слева от неё (на интервале $(-\infty; -5)$) производная $f'(x)$ положительна, а справа (на интервале $(-5; -2)$) — отрицательна. Таким образом, $x = -5$ является точкой максимума.

Ответ: точка максимума: $x = -5$.

г) точки минимума функции $y = f(x)$

Точка минимума — это критическая точка, при переходе через которую производная $f'(x)$ меняет знак с «−» на «+».

Рассмотрим критическую точку $x = -2$. Слева от неё (на интервале $(-5; -2)$) производная $f'(x)$ отрицательна, а справа (на интервале $(-2; 8)$) — положительна. Следовательно, $x = -2$ является точкой минимума.

В точке $x=8$ знак производной не меняется, поэтому она не является точкой экстремума.

Ответ: точка минимума: $x = -2$.