Страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

30.9 Докажите, что заданная функция возрастает:

а) $y = \cos x + 2x;$

б) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4;$

в) $y = \sin x + x^3 + x;$

г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x - 8.$

Для доказательства того, что функция является возрастающей, необходимо найти ее производную и показать, что она неотрицательна (а в данном случае — строго положительна) на всей области определения.

Находим производную данной функции:
$y' = (\cos x + 2x)' = (\cos x)' + (2x)' = -\sin x + 2$.
Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ для любого $x$.
Следовательно, для производной $y' = 2 - \sin x$ можем найти ее наименьшее значение. Оно достигается, когда $\sin x$ принимает свое максимальное значение, равное 1:
$y'_{min} = 2 - 1 = 1$.
Таким образом, производная $y'(x) \ge 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку $y'(x) > 0$ на всей области определения, функция $y = \cos x + 2x$ является строго возрастающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Находим производную данной функции:
$y' = (x^5 + 3x^3 + 7x + 4)' = 5x^4 + 9x^2 + 7$.
Проанализируем знак производной. Выражение для $y'$ состоит из трех слагаемых.
Поскольку $x$ возводится в четные степени, слагаемые $5x^4$ и $9x^2$ всегда неотрицательны: $5x^4 \ge 0$ и $9x^2 \ge 0$.
Третье слагаемое — это положительная константа 7.
Сумма двух неотрицательных чисел и положительного числа всегда положительна. Наименьшее значение производная принимает при $x=0$:
$y'_{min} = 5(0)^4 + 9(0)^2 + 7 = 7$.
Так как $y'(x) \ge 7 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$ является строго возрастающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Находим производную данной функции:
$y' = (\sin x + x^3 + x)' = \cos x + 3x^2 + 1$.
Оценим знак производной. Область значений функции косинус — отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Слагаемое $3x^2$ всегда неотрицательно: $3x^2 \ge 0$.
Мы можем переписать производную так: $y' = (\cos x + 1) + 3x^2$.
Поскольку $\cos x \ge -1$, то $\cos x + 1 \ge 0$.
Производная $y'$ является суммой двух неотрицательных слагаемых, $(\cos x + 1)$ и $3x^2$, а значит $y' \ge 0$.
Равенство $y'=0$ было бы возможно, только если оба слагаемых равны нулю одновременно:
1) $3x^2 = 0 \implies x=0$.
2) $\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1$.
При $x=0$ значение $\cos(0) = 1$, что не удовлетворяет второму условию. Следовательно, эти два условия не могут выполняться одновременно, и производная никогда не обращается в ноль.
Таким образом, $y'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, и функция $y = \sin x + x^3 + x$ является строго возрастающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Находим производную данной функции:
$y' = (x^5 + 4x^3 + 8x - 8)' = 5x^4 + 12x^2 + 8$.
Проанализируем знак производной. Выражение для $y'$ состоит из трех слагаемых.
Слагаемые $5x^4$ и $12x^2$ всегда неотрицательны, так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$.
Третье слагаемое — это положительная константа 8.
Сумма двух неотрицательных слагаемых и положительного слагаемого всегда будет положительной. Наименьшее значение производная принимает при $x=0$:
$y'_{min} = 5(0)^4 + 12(0)^2 + 8 = 8$.
Так как $y'(x) \ge 8 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $y = x^5 + 4x^3 + 8x - 8$ является строго возрастающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

30.13 a) $y = x^3 + 2x;$

б) $y = 60 + 45x - 3x^2 - x^3;$

В) $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40;$

Г) $y = -x^5 + 5x.$

а) $y = x^3 + 2x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2$.

3. Находим критические точки, для этого приравниваем производную к нулю:

$3x^2 + 2 = 0$.

$3x^2 = -2$.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, у функции нет критических точек.

4. Определяем знак производной на всей области определения. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $y' = 3x^2 + 2 > 0$ для любого $x$.

5. Поскольку производная всегда положительна, функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Точек экстремума (минимумов и максимумов) у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$; точек экстремума нет.

б) $y = 60 + 45x - 3x^2 - x^3$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (60 + 45x - 3x^2 - x^3)' = 45 - 6x - 3x^2$.

3. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$-3x^2 - 6x + 45 = 0$.

Разделим обе части на -3:

$x^2 + 2x - 15 = 0$.

Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 3$.

4. Критические точки $x = -5$ и $x = 3$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале. Графиком производной $y' = -3x^2 - 6x + 45$ является парабола с ветвями, направленными вниз.

• При $x \in (-\infty, -5)$ (например, $x = -6$): $y'(-6) = 45 - 6(-6) - 3(-6)^2 = 45 + 36 - 108 = -27 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-5, 3)$ (например, $x = 0$): $y'(0) = 45 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (3, +\infty)$ (например, $x = 4$): $y'(4) = 45 - 6(4) - 3(4)^2 = 45 - 24 - 48 = -27 < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = -5$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума:

$y_{min} = y(-5) = 60 + 45(-5) - 3(-5)^2 - (-5)^3 = 60 - 225 - 75 + 125 = -115$.

$y_{max} = y(3) = 60 + 45(3) - 3(3)^2 - (3)^3 = 60 + 135 - 27 - 27 = 141$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-5, 3]$; убывает на промежутках $(-\infty, -5]$ и $[3, +\infty)$; $x_{min} = -5$, $y_{min} = -115$; $x_{max} = 3$, $y_{max} = 141$.

в) $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (2x^3 - 3x^2 - 36x + 40)' = 6x^2 - 6x - 36$.

3. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$6x^2 - 6x - 36 = 0$.

Разделим обе части на 6:

$x^2 - x - 6 = 0$.

Решая квадратное уравнение, находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$.

4. Критические точки $x = -2$ и $x = 3$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале. Графиком производной $y' = 6x^2 - 6x - 36$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

• При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x = -3$): $y'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-2, 3)$ (например, $x = 0$): $y'(0) = -36 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (3, +\infty)$ (например, $x = 4$): $y'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 > 0$. Функция возрастает.

5. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума:

$y_{max} = y(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 40 = -16 - 12 + 72 + 40 = 84$.

$y_{min} = y(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) + 40 = 54 - 27 - 108 + 40 = -41$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[3, +\infty)$; убывает на промежутке $[-2, 3]$; $x_{max} = -2$, $y_{max} = 84$; $x_{min} = 3$, $y_{min} = -41$.

г) $y = -x^5 + 5x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (-x^5 + 5x)' = -5x^4 + 5$.

3. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$-5x^4 + 5 = 0$.

$5x^4 = 5$.

$x^4 = 1$.

Корни этого уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

4. Критические точки $x = -1$ и $x = 1$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной $y' = -5x^4 + 5 = -5(x^4-1)$ в каждом интервале.

• При $x \in (-\infty, -1)$ (например, $x = -2$): $y'(-2) = -5(-2)^4 + 5 = -5(16) + 5 = -75 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1, 1)$ (например, $x = 0$): $y'(0) = -5(0)^4 + 5 = 5 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1, +\infty)$ (например, $x = 2$): $y'(2) = -5(2)^4 + 5 = -5(16) + 5 = -75 < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума:

$y_{min} = y(-1) = -(-1)^5 + 5(-1) = 1 - 5 = -4$.

$y_{max} = y(1) = -(1)^5 + 5(1) = -1 + 5 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$; убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$; $x_{min} = -1$, $y_{min} = -4$; $x_{max} = 1$, $y_{max} = 4$.

30.10 Докажите, что заданная функция убывает:

а) $y = \sin 2x - 3x;$

б) $y = \cos 3x - 4x.$

а) $y = \sin 2x - 3x$

Чтобы доказать, что функция является убывающей, нужно найти ее производную и показать, что она отрицательна на всей области определения. Область определения данной функции — все действительные числа.

Найдем производную функции:

$y' = (\sin 2x - 3x)' = (\sin 2x)' - (3x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' - 3 = 2\cos 2x - 3$.

Теперь оценим знак производной. Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos 2x \le 1$ для любого значения $x$.

Выполним преобразования с этим неравенством, чтобы получить выражение для производной:

Умножим все части на 2: $-2 \le 2\cos 2x \le 2$.

Вычтем 3 из всех частей: $-2 - 3 \le 2\cos 2x - 3 \le 2 - 3$.

Получаем: $-5 \le 2\cos 2x - 3 \le -1$.

Таким образом, значение производной $y'$ всегда находится в пределах от -5 до -1. Это означает, что производная $y'(x) < 0$ для любого $x$.

Так как производная функции отрицательна на всей области определения, функция $y = \sin 2x - 3x$ является убывающей.

Ответ: Доказано, что функция убывает, так как ее производная $y' = 2\cos 2x - 3$ отрицательна при всех $x$.

б) $y = \cos 3x - 4x$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Найдем производную функции, область определения которой — все действительные числа.

Производная функции:

$y' = (\cos 3x - 4x)' = (\cos 3x)' - (4x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' - 4 = -3\sin 3x - 4$.

Оценим знак производной. Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin 3x \le 1$ для любого значения $x$.

Выполним преобразования с неравенством:

Умножим все части на -3 (при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные): $3 \ge -3\sin 3x \ge -3$, что равносильно $-3 \le -3\sin 3x \le 3$.

Вычтем 4 из всех частей: $-3 - 4 \le -3\sin 3x - 4 \le 3 - 4$.

Получаем: $-7 \le -3\sin 3x - 4 \le -1$.

Значение производной $y'$ всегда находится в пределах от -7 до -1. Следовательно, производная $y'(x) < 0$ для любого $x$.

Так как производная функции отрицательна на всей области определения, функция $y = \cos 3x - 4x$ является убывающей.

Ответ: Доказано, что функция убывает, так как ее производная $y' = -3\sin 3x - 4$ отрицательна при всех $x$.

30.7 Изобразите эскиз графика производной функции $y = f(x)$, если известно, что функция $y = f(x)$ возрастает на луче $(-\infty; 1]$ и убывает на луче $[1; +\infty)$.

Для того чтобы изобразить эскиз графика производной функции $y = f'(x)$, воспользуемся связью между знаком производной и поведением (монотонностью) самой функции $y = f(x)$.

Основное правило, которое мы будем использовать, заключается в следующем:

• Если функция $f(x)$ возрастает на некотором интервале, то её производная $f'(x)$ на этом интервале неотрицательна, то есть $f'(x) \ge 0$.
• Если функция $f(x)$ убывает на некотором интервале, то её производная $f'(x)$ на этом интервале неположительна, то есть $f'(x) \le 0$.

Проанализируем предоставленные условия:

1. На луче $(-\infty; 1]$ функция $y = f(x)$ возрастает.
   Это означает, что для всех $x$ из этого интервала, производная $f'(x)$ должна быть неотрицательной: $f'(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty; 1]$. График производной $y=f'(x)$ на этом участке должен располагаться выше или на оси абсцисс (оси Ox).
2. На луче $[1; +\infty)$ функция $y = f(x)$ убывает.
   Это означает, что для всех $x$ из этого интервала, производная $f'(x)$ должна быть неположительной: $f'(x) \le 0$ при $x \in [1; +\infty)$. График производной $y=f'(x)$ на этом участке должен располагаться ниже или на оси абсцисс (оси Ox).
3. В точке $x=1$ происходит смена монотонности функции.
   Функция переходит от возрастания к убыванию. Это значит, что $x=1$ является точкой локального максимума функции $f(x)$. Если функция $f(x)$ дифференцируема в этой точке, то её производная в этой точке равна нулю: $f'(1) = 0$. Это означает, что график производной $y=f'(x)$ должен пересекать ось абсцисс в точке $x=1$.

Таким образом, эскиз графика производной $y=f'(x)$ должен удовлетворять трем условиям:

• График находится выше или на оси Ox при $x \le 1$.
• График находится ниже или на оси Ox при $x \ge 1$.
• График пересекает ось Ox в точке $(1; 0)$.

Существует бесконечное множество функций, удовлетворяющих этим условиям. Простейшим примером является линейная функция, например $y = -x+1$ или $y = -2(x-1)$. В более общем случае это может быть любая непрерывная кривая, которая проходит через точку $(1;0)$ и меняет знак с плюса на минус в этой точке.

Ответ:

Эскиз графика производной $y = f'(x)$ представляет собой кривую, которая находится в верхней полуплоскости (или на оси абсцисс) при $x \le 1$, в нижней полуплоскости (или на оси абсцисс) при $x \ge 1$ и пересекает ось абсцисс в точке $x=1$. Ниже приведен один из возможных эскизов такого графика.

30.11 Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой;

укажите характер монотонности:

a) $y = x^5 + 6x^3 - 7$;

б) $y = \sin x - 2x - 15$;

в) $y = x - \cos x + 8$;

г) $y = 11 - 5x - x^3$.

а) $y = x^5 + 6x^3 - 7$

Для того чтобы доказать, что функция монотонна на всей числовой прямой, и определить характер монотонности, найдем ее производную. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (x^5 + 6x^3 - 7)' = 5x^4 + 18x^2$.

Теперь проанализируем знак производной. Так как переменная $x$ возводится в четные степени (4 и 2), слагаемые $5x^4$ и $18x^2$ являются неотрицательными для любого действительного значения $x$:

$x^4 \ge 0 \implies 5x^4 \ge 0$

$x^2 \ge 0 \implies 18x^2 \ge 0$

Сумма двух неотрицательных слагаемых также неотрицательна:

$y' = 5x^4 + 18x^2 \ge 0$ для всех $x \in R$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю: $5x^4 + 18x^2 = 0 \implies x^2(5x^2 + 18) = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x=0$, так как выражение в скобках $5x^2+18$ всегда положительно.

Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль только в одной изолированной точке, функция является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

б) $y = \sin x - 2x - 15$

Найдем производную функции. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (\sin x - 2x - 15)' = \cos x - 2$.

Проанализируем знак производной. Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$ для любого действительного $x$.

Вычтем 2 из всех частей этого неравенства, чтобы оценить значение производной:

$-1 - 2 \le \cos x - 2 \le 1 - 2$

$-3 \le y' \le -1$

Так как производная $y'(x)$ всегда отрицательна (ее значения лежат в диапазоне от -3 до -1), функция является строго убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно убывает на всей числовой прямой.

в) $y = x - \cos x + 8$

Найдем производную функции. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (x - \cos x + 8)' = 1 - (-\sin x) + 0 = 1 + \sin x$.

Проанализируем знак производной. Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ для любого действительного $x$.

Прибавим 1 ко всем частям этого неравенства, чтобы оценить значение производной:

$1 + (-1) \le 1 + \sin x \le 1 + 1$

$0 \le y' \le 2$

Производная $y'(x)$ неотрицательна для всех $x$. Она обращается в ноль в точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$. Так как производная неотрицательна и обращается в ноль только в изолированных точках (а не на целом интервале), функция является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

г) $y = 11 - 5x - x^3$

Найдем производную функции. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (11 - 5x - x^3)' = 0 - 5 - 3x^2 = -5 - 3x^2$.

Проанализируем знак производной. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$.

Следовательно, $-3x^2 \le 0$.

Тогда для всей производной имеем: $y' = -5 - 3x^2 \le -5$.

Так как производная $y'(x)$ всегда отрицательна (ее значение не превышает -5) для всех значений $x$ на числовой прямой, функция является строго убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно убывает на всей числовой прямой.

30.8 Изобразите эскиз графика функции $y = f(x)$, если промежутки постоянства знака производной $f'(x)$ представлены на заданной схеме:

а) рис. 60;

Над осью: +   -   +

Точки на оси: $-4$, $3$. Ось: $x$.

Puc. 60

б) рис. 61;

Над осью: -   +   -   +

Точки на оси: $0$, $2$, $5$. Ось: $x$.

Puc. 61

б) рис. 62;

Над осью: +   -   +   -

Точки на оси: $-2$, $4$, $7$. Ось: $x$.

Puc. 62

г) рис. 63.

Над осью: +   +   -   +   -

Точки на оси: $-1$, $0$, $1$, $2$. Ось: $x$.

Puc. 63

а) рис. 60

Проанализируем знаки производной $f'(x)$, представленные на схеме (рис. 60). Знак производной функции определяет промежутки ее монотонности (возрастания и убывания).

• На промежутке $(-\infty, -4)$ имеем $f'(x) > 0$, следовательно, на этом промежутке функция $y = f(x)$ возрастает.
• На промежутке $(-4, 3)$ имеем $f'(x) < 0$, следовательно, на этом промежутке функция $y = f(x)$ убывает.
• На промежутке $(3, +\infty)$ имеем $f'(x) > 0$, следовательно, на этом промежутке функция $y = f(x)$ снова возрастает.

Точки, в которых производная меняет знак, являются точками экстремума функции.

• В точке $x = -4$ знак производной меняется с «+» на «−», значит, это точка локального максимума.
• В точке $x = 3$ знак производной меняется с «−» на «+», значит, это точка локального минимума.

Эскиз графика функции $y=f(x)$ представляет собой кривую, которая возрастает из $-\infty$ до точки $x=-4$, где достигает своего локального максимума. Затем функция убывает до точки $x=3$, где находится ее локальный минимум. После точки $x=3$ функция снова начинает возрастать. График напоминает кубическую параболу.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[3, +\infty)$, убывает на промежутке $[-4, 3]$. Точка $x=-4$ является точкой максимума, а точка $x=3$ — точкой минимума. Эскиз графика: кривая поднимается до пика при $x=-4$, затем опускается до впадины при $x=3$ и снова поднимается.

б) рис. 61

Анализируем знаки производной $f'(x)$ на схеме (рис. 61).

• На промежутке $(-\infty, 0)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.
• На промежутке $(0, 2)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.
• На промежутке $(2, 5)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.
• На промежутке $(5, +\infty)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.

Определим точки экстремума:

• В точке $x = 0$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 2$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 5$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это еще одна точка локального минимума.

Эскиз графика функции $y=f(x)$ будет иметь W-образную форму. Функция убывает до точки $x=0$ (локальный минимум), затем возрастает до $x=2$ (локальный максимум), снова убывает до $x=5$ (второй локальный минимум) и после этого возрастает до $+\infty$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[0, 2]$ и $[5, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, 5]$. Точки $x=0$ и $x=5$ — точки минимума, точка $x=2$ — точка максимума. Эскиз графика: кривая опускается до впадины при $x=0$, поднимается до пика при $x=2$, снова опускается до впадины при $x=5$ и затем поднимается.

б) рис. 62

Анализируем знаки производной $f'(x)$ на схеме (рис. 62).

• На промежутке $(-\infty, -2)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.
• На промежутке $(-2, 4)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.
• На промежутке $(4, 7)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.
• На промежутке $(7, +\infty)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.

Определим точки экстремума:

• В точке $x = -2$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 4$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 7$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это еще одна точка локального максимума.

Эскиз графика функции $y=f(x)$ будет иметь M-образную форму. Функция возрастает до точки $x=-2$ (локальный максимум), затем убывает до $x=4$ (локальный минимум), снова возрастает до $x=7$ (второй локальный максимум) и после этого убывает до $-\infty$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[4, 7]$, убывает на промежутках $[-2, 4]$ и $[7, +\infty)$. Точки $x=-2$ и $x=7$ — точки максимума, точка $x=4$ — точка минимума. Эскиз графика: кривая поднимается до пика при $x=-2$, опускается до впадины при $x=4$, снова поднимается до пика при $x=7$ и затем опускается.

г) рис. 63

Анализируем знаки производной $f'(x)$ на схеме (рис. 63).

• На промежутках $(-\infty, -1)$ и $(-1, 0)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает на всем промежутке $(-\infty, 0)$.
• На промежутке $(0, 1)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.
• На промежутке $(1, 2)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.
• На промежутке $(2, +\infty)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.

Определим характер критических точек:

• В точке $x = -1$ знак производной не меняется («+» на «+»). Это означает, что в этой точке нет экстремума. Если предположить, что $f'(-1)=0$, то это точка перегиба с горизонтальной касательной (седловая точка).
• В точке $x = 0$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 1$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 2$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.

Эскиз графика: функция возрастает, в точке $x=-1$ имеет перегиб (например, на мгновение становится горизонтальной, но продолжает расти), достигает локального максимума в точке $x=0$, затем убывает до локального минимума в точке $x=1$, снова возрастает до локального максимума в точке $x=2$ и после этого убывает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, 2]$, убывает на промежутках $[0, 1]$ и $[2, +\infty)$. Точка $x=-1$ — точка перегиба, точки $x=0$ и $x=2$ — точки максимума, точка $x=1$ — точка минимума. Эскиз графика: кривая поднимается, в точке $x=-1$ "выравнивается" и продолжает подъем до пика при $x=0$, затем опускается до впадины при $x=1$, поднимается до второго пика при $x=2$ и снова опускается.

30.12 Определите промежутки монотонности функции:

a) $y = x^2 - 5x + 4;$

б) $y = 5x^2 + 15x - 1;$

в) $y = -x^2 + 8x - 7;$

г) $y = x^2 - x.$

а) $y = x^2 - 5x + 4$

Данная функция является квадратичной вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -5$, $c = 4$. Ее график — парабола.

Так как старший коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция сначала убывает до вершины, а затем возрастает.

Точкой смены монотонности является вершина параболы. Найдем ее абсциссу по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 2.5]$ и возрастает на промежутке $[2.5; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 2.5]$ и возрастает на промежутке $[2.5; +\infty)$.

б) $y = 5x^2 + 15x - 1$

Это квадратичная функция, где $a = 5$, $b = 15$, $c = -1$. График — парабола.

Поскольку старший коэффициент $a = 5 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция сначала убывает, а после вершины — возрастает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{15}{2 \cdot 5} = -\frac{15}{10} = -1.5$.

Промежуток убывания функции: $(-\infty; -1.5]$. Промежуток возрастания функции: $[-1.5; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1.5]$ и возрастает на промежутке $[-1.5; +\infty)$.

в) $y = -x^2 + 8x - 7$

Это квадратичная функция, где $a = -1$, $b = 8$, $c = -7$. График — парабола.

Так как старший коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция сначала возрастает до вершины, а затем убывает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$ и убывает на промежутке $[4; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$ и убывает на промежутке $[4; +\infty)$.

г) $y = x^2 - x$

Это квадратичная функция, где $a = 1$, $b = -1$, $c = 0$. График — парабола.

Поскольку старший коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция сначала убывает, а затем возрастает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Промежуток убывания функции: $(-\infty; 0.5]$. Промежуток возрастания функции: $[0.5; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0.5]$ и возрастает на промежутке $[0.5; +\infty)$.

1. Что такое $\operatorname{arctg} a$?

1. Арктангенс числа $a$ (обозначается как $arctg\;a$ или $\arctan a$) — это математическая функция, обратная к тригонометрической функции тангенса ($y = tg\;x$). Она отвечает на вопрос: «какой угол нужно взять, чтобы его тангенс был равен $a$?»

Поскольку функция тангенса периодическая (с периодом $\pi$), она не является взаимно-однозначной на всей своей области определения. Это означает, что одно и то же значение тангенса могут иметь бесконечно много углов (например, $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, $tg(\frac{5\pi}{4}) = 1$ и т.д.). Чтобы определить единственную обратную функцию, область определения тангенса сужают до интервала, на котором он строго возрастает. Общепринятым является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Следовательно, арктангенс определяется следующим образом:

$y = arctg\;a$ тогда и только тогда, когда $tg\;y = a$ и при этом угол $y$ принадлежит интервалу $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Основные свойства функции $y = arctg\;a$:

• Область определения: Аргумент $a$ может быть любым действительным числом. То есть, $a \in (-\infty; +\infty)$ или $a \in \mathbb{R}$.
• Область значений: Значения функции арктангенса всегда лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Обратите внимание, что концы интервала не включаются.
• Нечетность: Функция является нечетной, что означает $arctg(-a) = -arctg\;a$ для любого $a$.
• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Примеры вычисления:

• $arctg\;1 = \frac{\pi}{4}$, так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
• $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, так как $tg(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ и $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
• $arctg\;0 = 0$, так как $tg(0) = 0$ и $-\frac{\pi}{2} < 0 < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: Арктангенсом числа $a$ называется такое число $y$ (угол в радианах) из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

2. Что такое $ \text{arcctg } a $?

Арккотангенс числа $a$, который обозначается как $\text{arcctg } a$, — это обратная тригонометрическая функция. По определению, $\text{arcctg } a$ — это такой угол $\alpha$ (в радианах), для которого выполняются два условия:

1. Котангенс этого угла равен $a$, то есть $\text{ctg } \alpha = a$.

2. Этот угол строго находится в интервале от $0$ до $\pi$, то есть $0 < \alpha < \pi$.

Второе условие (ограничение на интервал) необходимо, потому что функция котангенса является периодической, и без этого ограничения одному значению $a$ соответствовало бы бесконечное множество углов. Выбранный интервал $(0, \pi)$ соответствует главному значению арккотангенса.

Таким образом, функция $y = \text{arcctg}(x)$ является обратной к функции $y = \text{ctg}(x)$, рассматриваемой на интервале $(0, \pi)$, где она монотонно убывает.

Область определения и область значений:

• Область определения функции $\text{arcctg } a$ (все возможные значения $a$): все действительные числа, $a \in (-\infty, +\infty)$.
• Область значений функции $\text{arcctg } a$: интервал $(0, \pi)$.

Примеры вычисления:

• $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, так как $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ и $0 < \frac{\pi}{4} < \pi$.
• $\text{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$, так как $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ и $0 < \frac{\pi}{2} < \pi$.
• $\text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$, так как $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$ и $0 < \frac{3\pi}{4} < \pi$.
• $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ и $0 < \frac{\pi}{6} < \pi$.

Ответ: Арккотангенсом числа $a$ ($\text{arcctg } a$) называется такой угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $a$. Таким образом, запись $\alpha = \text{arcctg } a$ равносильна системе из двух условий: $\text{ctg } \alpha = a$ и $0 < \alpha < \pi$.

3. Какие из приведённых ниже чисел принадлежат области значений функции $y = \text{arctg } x$: $0$, $2$, $-\frac{2}{3}$, $-1$, $\sqrt{3}$?

Для того чтобы определить, какие из предложенных чисел принадлежат области значений функции $y = \operatorname{arctg} x$, необходимо вспомнить определение и свойства этой функции.

Функция арктангенс, $y = \operatorname{arctg} x$, является обратной к функции тангенс, $y = \operatorname{tg} x$, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Область определения функции $y = \operatorname{arctg} x$ — это все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции $y = \operatorname{arctg} x$ (обозначается как $E(y)$) — это строго ограниченный интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это означает, что любое значение функции $y$ должно удовлетворять неравенству $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, нам нужно проверить, какие из данных чисел попадают в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Для удобства сравнения, воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3.14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$. Итак, мы ищем числа, лежащие в интервале, приблизительно равном $(-1.5708; 1.5708)$.

Рассмотрим каждое из предложенных чисел:

0

Проверяем, выполняется ли неравенство $-\frac{\pi}{2} < 0 < \frac{\pi}{2}$. Это неравенство, очевидно, верно. Следовательно, число 0 принадлежит области значений функции.

2

Проверяем неравенство $-\frac{\pi}{2} < 2 < \frac{\pi}{2}$. Так как $2 > \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$, это неравенство неверно. Следовательно, число 2 не принадлежит области значений функции.

$-\frac{2}{3}$

Проверяем неравенство $-\frac{\pi}{2} < -\frac{2}{3} < \frac{\pi}{2}$. Десятичное представление дроби $-\frac{2}{3} \approx -0.6667$. Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$, неравенство $-1.5708 < -0.6667 < 1.5708$ является верным. Следовательно, число $-\frac{2}{3}$ принадлежит области значений функции.

-1

Проверяем неравенство $-\frac{\pi}{2} < -1 < \frac{\pi}{2}$. Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$, неравенство $-1.5708 < -1 < 1.5708$ является верным. Следовательно, число -1 принадлежит области значений функции.

$\sqrt{3}$

Проверяем неравенство $-\frac{\pi}{2} < \sqrt{3} < \frac{\pi}{2}$. Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$. Так как $1.732 > \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$, неравенство неверно. Следовательно, число $\sqrt{3}$ не принадлежит области значений функции. (Важно не путать область значений $y = \operatorname{arctg} x$ с областью определения. Например, $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, но само число $\sqrt{3}$ является аргументом функции, а не её значением в данном контексте).

Таким образом, из предложенного списка чисел области значений функции $y = \operatorname{arctg} x$ принадлежат три числа.

Ответ: $0, -\frac{2}{3}, -1$.

4. Какие из приведённых ниже чисел принадлежат области значений функции $y = \mathrm{arcctg}x: 0, -\frac{2}{3}, 4, \pi, \sqrt{15}$?

Для того чтобы определить, какие из предложенных чисел принадлежат области значений функции $y = \mathrm{arcctg}\,x$, необходимо знать эту область значений.

По определению, областью значений (или множеством значений) функции арккотангенс является интервал $(0; \pi)$.

Это означает, что любое значение функции $y = \mathrm{arcctg}\,x$ должно удовлетворять строгому неравенству $0 < y < \pi$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел на принадлежность этому интервалу. Для сравнения будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159$.

1. Число 0
Число 0 не принадлежит интервалу $(0; \pi)$, так как оно является его левой границей. Неравенство $0 < 0$ неверно.

2. Число $\frac{2}{3}$
Проверим выполнение неравенства $0 < \frac{2}{3} < \pi$.
$\frac{2}{3} \approx 0,667$.
Неравенство $0 < 0,667 < 3,14159$ является верным. Следовательно, число $\frac{2}{3}$ принадлежит области значений функции.

3. Число 4
Проверим выполнение неравенства $0 < 4 < \pi$.
Неравенство $4 < \pi$ неверно, так как $4 > 3,14159$. Следовательно, число 4 не принадлежит области значений функции.

4. Число $\pi$
Число $\pi$ не принадлежит интервалу $(0; \pi)$, так как оно является его правой границей. Неравенство $\pi < \pi$ неверно.

5. Число $\sqrt{15}$
Проверим выполнение неравенства $0 < \sqrt{15} < \pi$.
Для сравнения чисел $\sqrt{15}$ и $\pi$ можно сравнить их квадраты: $(\sqrt{15})^2 = 15$ и $\pi^2$.
Так как $\pi \approx 3,14$, то $\pi^2 \approx (3,14)^2 = 9,8596$.
Поскольку $15 > 9,8596$, то $\sqrt{15} > \pi$.
Неравенство $\sqrt{15} < \pi$ неверно. Следовательно, число $\sqrt{15}$ не принадлежит области значений функции.

Таким образом, из всех предложенных чисел только $\frac{2}{3}$ принадлежит области значений функции $y = \mathrm{arcctg}\,x$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

5. Запишите в общем виде решения уравнения $tg x = a$, $ctg x = a$.

tg x = a
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение этого уравнения существует для любого действительного числа $a$, так как область значений функции $y = \operatorname{tg} x$ — это множество всех действительных чисел ($a \in \mathbb{R}$).
Для нахождения корней уравнения используется понятие арктангенса. Арктангенсом числа $a$ ($\operatorname{arctg} a$) называется такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что $\operatorname{tg} \alpha = a$.
Функция тангенса является периодической. Её наименьший положительный период равен $\pi$. Это означает, что если $x_0$ является одним из решений уравнения, то все остальные решения можно получить, прибавляя к $x_0$ целое число периодов. Таким образом, все решения уравнения $\operatorname{tg} x = a$ можно описать одной серией корней.
Общая формула для нахождения решений уравнения имеет вид: $x = \operatorname{arctg} a + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $x = \operatorname{arctg} a + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ctg x = a
Это также простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение существует для любого действительного числа $a$, поскольку область значений функции $y = \operatorname{ctg} x$ также является множеством всех действительных чисел ($a \in \mathbb{R}$).
Для решения используется понятие арккотангенса. Арккотангенсом числа $a$ ($\operatorname{arcctg} a$) называется такое число (угол) $\beta$ из интервала $(0; \pi)$, что $\operatorname{ctg} \beta = a$.
Функция котангенса является периодической с наименьшим положительным периодом, равным $\pi$. Аналогично тангенсу, зная одно решение $x_0$, все остальные решения можно найти по формуле $x = x_0 + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Следовательно, общая формула для всех решений уравнения $\operatorname{ctg} x = a$ имеет следующий вид: $x = \operatorname{arcctg} a + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \operatorname{arcctg} a + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6. Как связаны между собой числа $\operatorname{arctg} a$ и $\operatorname{arctg}(-a)$?

Для того чтобы определить, как связаны между собой числа $\text{arctg}(a)$ и $\text{arctg}(-a)$, обратимся к определению функции арктангенс и свойствам функции тангенс.

По определению, арктангенс числа $x$, то есть $y = \text{arctg}(x)$, — это такой угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Иными словами, если $y = \text{arctg}(x)$, то $\text{tg}(y) = x$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Пусть $y_1 = \text{arctg}(a)$. Тогда по определению $\text{tg}(y_1) = a$ и $-\frac{\pi}{2} < y_1 < \frac{\pi}{2}$.

Теперь рассмотрим $y_2 = \text{arctg}(-a)$. Аналогично, по определению $\text{tg}(y_2) = -a$ и $-\frac{\pi}{2} < y_2 < \frac{\pi}{2}$.

Подставим выражение для $a$ из первого равенства ($a = \text{tg}(y_1)$) во второе:

$\text{tg}(y_2) = - \text{tg}(y_1)$

Функция тангенс является нечетной, что означает $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$ для любого $x$ из области определения. Применим это свойство к правой части нашего равенства:

$\text{tg}(y_2) = \text{tg}(-y_1)$

Теперь нам нужно сравнить углы $y_2$ и $-y_1$. Мы знаем, что $y_2$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ по определению. Также, поскольку $-\frac{\pi}{2} < y_1 < \frac{\pi}{2}$, то, умножив неравенство на $-1$, получим $\frac{\pi}{2} > -y_1 > -\frac{\pi}{2}$, что эквивалентно $-\frac{\pi}{2} < -y_1 < \frac{\pi}{2}$. Таким образом, оба угла, $y_2$ и $-y_1$, принадлежат одному и тому же интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция тангенс является строго возрастающей, а значит, и взаимно-однозначной (инъективной). Это означает, что если тангенсы двух углов из этого интервала равны, то равны и сами углы.

Из равенства $\text{tg}(y_2) = \text{tg}(-y_1)$ и того факта, что оба угла $y_2$ и $-y_1$ лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, следует, что $y_2 = -y_1$.

Подставив обратно исходные обозначения $y_1 = \text{arctg}(a)$ и $y_2 = \text{arctg}(-a)$, мы получаем итоговое соотношение:

$\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$

Это равенство означает, что числа $\text{arctg}(a)$ и $\text{arctg}(-a)$ являются противоположными. Также это свойство доказывает, что функция $f(a) = \text{arctg}(a)$ является нечетной функцией.

Ответ: $\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$.

7. Как связаны между собой числа $ \operatorname{arcctg} a $ и $ \operatorname{arcctg}(-a) $?

Для того чтобы установить связь между числами $arcctg(a)$ и $arcctg(-a)$, воспользуемся определением функции арккотангенс и тригонометрическими тождествами.

По определению, $y = arcctg(x)$ — это такое число $y$ из интервала $(0, \pi)$, что $ctg(y) = x$.

Пусть $y = arcctg(a)$. Это означает, что выполняются два условия: $ctg(y) = a$ и $0 < y < \pi$.

Теперь рассмотрим $arcctg(-a)$. Пусть $z = arcctg(-a)$. Аналогично, это означает, что $ctg(z) = -a$ и $0 < z < \pi$.

Мы можем подставить $a$ из первого выражения ($a=ctg(y)$) во второе: $ctg(z) = -ctg(y)$.

Далее воспользуемся формулой приведения для котангенса: $ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$.

Применив эту формулу к нашему равенству, получим:

$ctg(z) = -ctg(y) = ctg(\pi - y)$.

Из равенства $ctg(z) = ctg(\pi - y)$ следует, что $z$ и $\pi - y$ могут отличаться на целое число периодов котангенса, то есть на $\pi k$, где $k$ — целое число: $z = \pi - y + \pi k$. Однако мы должны учесть области значений функций.

Область значений арккотангенса — это интервал $(0, \pi)$. Следовательно, и $z$, и $y$ принадлежат этому интервалу. Проверим, в какой интервал попадает выражение $\pi - y$. Так как $0 < y < \pi$, то, умножив на $-1$, получим $0 > -y > -\pi$. Прибавив $\pi$ ко всем частям неравенства, получим: $\pi > \pi - y > 0$, или $0 < \pi - y < \pi$.

Это означает, что значение $\pi - y$ также находится в основном промежутке $(0, \pi)$. Поскольку $z$ также должен лежать в этом промежутке, единственно возможным значением для $k$ является $k=0$. Таким образом, мы получаем единственное решение: $z = \pi - y$.

Подставив обратно $y = arcctg(a)$ и $z = arcctg(-a)$, мы получаем искомую связь:

$arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$

Эту связь можно также записать в виде суммы:

$arcctg(a) + arcctg(-a) = \pi$

Ответ: Числа $arcctg(a)$ и $arcctg(-a)$ связаны тождеством $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$, или, что эквивалентно, $arcctg(a) + arcctg(-a) = \pi$.