Страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

29.19 На графике функции $y = x^3 - 3x^2 + x + 1$ найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$. Составьте уравнение каждой из этих касательных.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $k = f'(x_0)$. Также угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс, $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол $\alpha = 45^\circ$. Найдем угловой коэффициент касательной:

$k = \tan(45^\circ) = 1$

Следовательно, нам нужно найти точки на графике функции, в которых производная равна 1.

Найдем точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°.

Дана функция $y = x^3 - 3x^2 + x + 1$.

Найдем ее производную:

$y'(x) = (x^3 - 3x^2 + x + 1)' = 3x^2 - 6x + 1$

Приравняем производную к значению углового коэффициента $k=1$, чтобы найти абсциссы искомых точек:

$3x^2 - 6x + 1 = 1$

$3x^2 - 6x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 2) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие ординаты этих точек, подставив найденные абсциссы в исходное уравнение функции $y = x^3 - 3x^2 + x + 1$.

При $x_1 = 0$:

$y_1 = 0^3 - 3(0)^2 + 0 + 1 = 1$

Таким образом, первая точка касания — $(0, 1)$.

При $x_2 = 2$:

$y_2 = 2^3 - 3(2)^2 + 2 + 1 = 8 - 3 \cdot 4 + 2 + 1 = 8 - 12 + 2 + 1 = -1$

Таким образом, вторая точка касания — $(2, -1)$.

Составьте уравнение каждой из этих касательных.

Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$, где $k$ — угловой коэффициент.

Для точки $(0, 1)$ и $k=1$ уравнение касательной:

$y - 1 = 1 \cdot (x - 0)$

$y = x + 1$

Для точки $(2, -1)$ и $k=1$ уравнение касательной:

$y - (-1) = 1 \cdot (x - 2)$

$y + 1 = x - 2$

$y = x - 3$

Ответ: Искомые точки на графике функции: $(0, 1)$ и $(2, -1)$. Уравнения касательных в этих точках: $y = x + 1$ и $y = x - 3$.

29.23 Напишите уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{x^3}{3} - 2$, которые параллельны заданной прямой:

а) $y = x - 3;$

б) $y = 9x - 5.$

Чтобы найти уравнения касательных к графику функции $f(x)$, которые параллельны заданной прямой $y = kx + b$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Приравнять производную к угловому коэффициенту $k$ заданной прямой, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$. Условие параллельности прямых — равенство их угловых коэффициентов, а угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $f'(x_0)$.
3. Найти ординаты точек касания $y_0 = f(x_0)$.
4. Подставить найденные значения $x_0$, $y_0$ и $k$ в уравнение касательной: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Дана функция $y = f(x) = \frac{x^3}{3} - 2$.

1. Найдём её производную:

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - 2\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 0 = x^2$.

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен $f'(x_0) = x_0^2$.

а) Ищем касательные, параллельные прямой $y = x - 3$.

2. Угловой коэффициент данной прямой $k = 1$. Приравниваем производную к этому значению, чтобы найти $x_0$:

$f'(x_0) = 1 \implies x_0^2 = 1$.

Отсюда получаем две абсциссы точек касания: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

3. Найдём соответствующие ординаты и уравнения касательных для каждой точки.

Для $x_0 = 1$:

Ордината точки касания: $y_0 = f(1) = \frac{1^3}{3} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$.

4. Уравнение касательной:

$y - \left(-\frac{5}{3}\right) = 1(x - 1)$

$y + \frac{5}{3} = x - 1$

$y = x - 1 - \frac{5}{3}$

$y = x - \frac{8}{3}$

Для $x_0 = -1$:

Ордината точки касания: $y_0 = f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 2 = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}$.

4. Уравнение касательной:

$y - \left(-\frac{7}{3}\right) = 1(x - (-1))$

$y + \frac{7}{3} = x + 1$

$y = x + 1 - \frac{7}{3}$

$y = x - \frac{4}{3}$

Ответ: $y = x - \frac{8}{3}$ и $y = x - \frac{4}{3}$.

б) Ищем касательные, параллельные прямой $y = 9x - 5$.

2. Угловой коэффициент данной прямой $k = 9$. Приравниваем производную к этому значению, чтобы найти $x_0$:

$f'(x_0) = 9 \implies x_0^2 = 9$.

Отсюда получаем две абсциссы точек касания: $x_0 = 3$ и $x_0 = -3$.

3. Найдём соответствующие ординаты и уравнения касательных для каждой точки.

Для $x_0 = 3$:

Ордината точки касания: $y_0 = f(3) = \frac{3^3}{3} - 2 = \frac{27}{3} - 2 = 9 - 2 = 7$.

4. Уравнение касательной:

$y - 7 = 9(x - 3)$

$y - 7 = 9x - 27$

$y = 9x - 20$

Для $x_0 = -3$:

Ордината точки касания: $y_0 = f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} - 2 = \frac{-27}{3} - 2 = -9 - 2 = -11$.

4. Уравнение касательной:

$y - (-11) = 9(x - (-3))$

$y + 11 = 9(x + 3)$

$y + 11 = 9x + 27$

$y = 9x + 16$

Ответ: $y = 9x - 20$ и $y = 9x + 16$.

29.20 В какой точке касательная к графику функции $y = x^2$ параллельна заданной прямой:

а) $y = 2x + 1;$

б) $y = -\frac{1}{2}x + 5;$

в) $y = -\frac{3}{4}x - 2;$

г) $y = -x + 5?$

а) Условие параллельности касательной к графику функции $y = x^2$ и заданной прямой $y = 2x + 1$ заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент $k$ для прямой $y = kx + b$ — это коэффициент при $x$. Для прямой $y = 2x + 1$ угловой коэффициент $k = 2$.
Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке. Найдем производную функции $y = x^2$:
$y' = (x^2)' = 2x$.
Следовательно, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $y'(x_0) = 2x_0$.
Приравняем угловые коэффициенты касательной и прямой:
$2x_0 = 2$
$x_0 = 1$
Теперь найдем ординату точки касания, подставив значение $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = x_0^2 = 1^2 = 1$.
Таким образом, искомая точка касания — $(1, 1)$.
Ответ: $(1, 1)$.

б) Дана прямая $y = -\frac{1}{2}x + 5$. Ее угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$.
Производная функции $y = x^2$ равна $y' = 2x$.
Приравниваем угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ к угловому коэффициенту прямой:
$2x_0 = -\frac{1}{2}$
$x_0 = -\frac{1}{4}$
Найдем ординату точки касания:
$y_0 = x_0^2 = \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.
Искомая точка касания — $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$.
Ответ: $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$.

в) Дана прямая $y = -\frac{3}{4}x - 2$. Ее угловой коэффициент $k = -\frac{3}{4}$.
Производная функции $y = x^2$ равна $y' = 2x$.
Приравниваем угловые коэффициенты:
$2x_0 = -\frac{3}{4}$
$x_0 = -\frac{3}{8}$
Найдем ординату точки касания:
$y_0 = x_0^2 = \left(-\frac{3}{8}\right)^2 = \frac{9}{64}$.
Искомая точка касания — $(-\frac{3}{8}, \frac{9}{64})$.
Ответ: $(-\frac{3}{8}, \frac{9}{64})$.

г) Дана прямая $y = -x + 5$. Ее угловой коэффициент $k = -1$.
Производная функции $y = x^2$ равна $y' = 2x$.
Приравниваем угловые коэффициенты:
$2x_0 = -1$
$x_0 = -\frac{1}{2}$
Найдем ординату точки касания:
$y_0 = x_0^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
Искомая точка касания — $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$.
Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$.

29.17 Напишите уравнения касательных к графику функции $y = 9 - x^2$ в точках его пересечения с осью абсцисс.

Чтобы найти уравнения касательных, сначала определим точки касания. Это точки пересечения графика функции $y = 9 - x^2$ с осью абсцисс, то есть точки, где $y=0$.

Приравняем функцию к нулю и решим уравнение:

$9 - x^2 = 0$

$x^2 = 9$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, точки пересечения с осью абсцисс (и точки касания) — это $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Найдем производную нашей функции $f(x) = 9 - x^2$:

$f'(x) = (9 - x^2)' = -2x$

Теперь составим уравнение касательной для каждой из двух точек.

Касательная в точке $(3, 0)$

В этом случае абсцисса точки касания $x_0 = 3$.

Значение функции в этой точке: $f(3) = 9 - 3^2 = 0$.

Значение производной в этой точке (угловой коэффициент касательной): $f'(3) = -2 \cdot 3 = -6$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 0 + (-6)(x - 3)$

$y = -6x + 18$

Касательная в точке $(-3, 0)$

В этом случае абсцисса точки касания $x_0 = -3$.

Значение функции в этой точке: $f(-3) = 9 - (-3)^2 = 0$.

Значение производной в этой точке (угловой коэффициент касательной): $f'(-3) = -2 \cdot (-3) = 6$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 0 + 6(x - (-3))$

$y = 6(x + 3)$

$y = 6x + 18$

Ответ: $y = -6x + 18$ и $y = 6x + 18$.

В каких точках касательная к графику заданной функции $y = f(x)$ параллельна заданной прямой $y = kx + m$:

29.21 a) $f(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 4$, $y = 3 + x$;

б) $f(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 8$, $y = 0$;

в) $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x - 7$, $y = x - 3$;

г) $f(x) = \frac{5}{4}x^4 - x^3 + 6$, $y = 2?

Для того чтобы касательная к графику функции $y = f(x)$ в некоторой точке была параллельна прямой $y = kx + m$, необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были равны. Угловой коэффициент прямой $y = kx + m$ равен $k$. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $f'(x_0)$. Следовательно, для нахождения абсцисс искомых точек необходимо решить уравнение $f'(x) = k$. После нахождения абсцисс $x_i$, мы находим соответствующие ординаты $y_i = f(x_i)$, чтобы получить координаты точек $(x_i, y_i)$.

а) Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 4$ и прямая $y = 3 + x$.

1. Запишем уравнение прямой в виде $y = kx + m$: $y = x + 3$. Угловой коэффициент этой прямой $k=1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 4\right)' = \frac{3x^2}{3} - 3 \cdot 2x + 10 = x^2 - 6x + 10$.

3. Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссы точек касания:

$f'(x) = k \implies x^2 - 6x + 10 = 1$.

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$.

4. Мы нашли абсциссу точки касания $x_0 = 3$. Теперь найдем ординату этой точки, подставив $x_0$ в исходную функцию $f(x)$:

$y_0 = f(3) = \frac{3^3}{3} - 3(3^2) + 10(3) - 4 = 9 - 27 + 30 - 4 = 8$.

Таким образом, касательная к графику функции параллельна заданной прямой в точке $(3, 8)$.

Ответ: $(3, 8)$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 8$ и прямая $y = 0$.

1. Прямая $y = 0$ является горизонтальной, ее угловой коэффициент $k=0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{x^4}{4} - x^2 + 8\right)' = \frac{4x^3}{4} - 2x = x^3 - 2x$.

3. Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой:

$f'(x) = k \implies x^3 - 2x = 0$.

Решим уравнение, вынеся $x$ за скобки:

$x(x^2 - 2) = 0$.

Отсюда получаем три решения: $x_1 = 0$, $x^2 = 2 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$.

4. Найдем ординаты для каждой из найденных абсцисс:

При $x_1 = 0$: $y_1 = f(0) = \frac{0^4}{4} - 0^2 + 8 = 8$. Точка $(0, 8)$.

При $x_2 = \sqrt{2}$: $y_2 = f(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^4}{4} - (\sqrt{2})^2 + 8 = \frac{4}{4} - 2 + 8 = 1 - 2 + 8 = 7$. Точка $(\sqrt{2}, 7)$.

При $x_3 = -\sqrt{2}$: $y_3 = f(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^4}{4} - (-\sqrt{2})^2 + 8 = \frac{4}{4} - 2 + 8 = 1 - 2 + 8 = 7$. Точка $(-\sqrt{2}, 7)$.

Касательная параллельна прямой $y=0$ в трех точках.

Ответ: $(0, 8)$, $(\sqrt{2}, 7)$, $(-\sqrt{2}, 7)$.

в) Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x - 7$ и прямая $y = x - 3$.

1. Прямая $y = x - 3$ имеет угловой коэффициент $k=1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x - 7\right)' = \frac{3x^2}{3} - 2x + 2 = x^2 - 2x + 2$.

3. Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой:

$f'(x) = k \implies x^2 - 2x + 2 = 1$.

Решим полученное уравнение:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$.

4. Мы нашли абсциссу точки касания $x_0 = 1$. Найдем ординату этой точки:

$y_0 = f(1) = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 2(1) - 7 = \frac{1}{3} - 1 + 2 - 7 = \frac{1}{3} - 6 = \frac{1-18}{3} = -\frac{17}{3}$.

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(1, -17/3)$.

Ответ: $(1, -\frac{17}{3})$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{5}{4}x^4 - x^3 + 6$ и прямая $y = 2$.

1. Прямая $y = 2$ является горизонтальной, ее угловой коэффициент $k=0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{5}{4}x^4 - x^3 + 6\right)' = \frac{5}{4} \cdot 4x^3 - 3x^2 = 5x^3 - 3x^2$.

3. Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой:

$f'(x) = k \implies 5x^3 - 3x^2 = 0$.

Решим уравнение, вынеся $x^2$ за скобки:

$x^2(5x - 3) = 0$.

Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $5x - 3 = 0 \implies x_2 = \frac{3}{5}$.

4. Найдем ординаты для каждой из этих абсцисс:

При $x_1 = 0$: $y_1 = f(0) = \frac{5}{4}(0)^4 - (0)^3 + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.

При $x_2 = \frac{3}{5}$: $y_2 = f(\frac{3}{5}) = \frac{5}{4}\left(\frac{3}{5}\right)^4 - \left(\frac{3}{5}\right)^3 + 6 = \frac{5}{4} \cdot \frac{81}{625} - \frac{27}{125} + 6 = \frac{81}{500} - \frac{27 \cdot 4}{125 \cdot 4} + 6 = \frac{81 - 108}{500} + 6 = -\frac{27}{500} + \frac{3000}{500} = \frac{2973}{500}$. Точка $(\frac{3}{5}, \frac{2973}{500})$.

Касательная параллельна прямой $y=2$ в двух точках.

Ответ: $(0, 6)$, $(\frac{3}{5}, \frac{2973}{500})$.

29.18 Напишите уравнения касательных к параболе $y = x^2 - 3x$ в точках с ординатой 4.

Чтобы найти уравнения касательных к параболе $y = x^2 - 3x$ в точках с ординатой 4, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Нахождение точек касания

Ордината — это координата $y$. Приравняем уравнение параболы к 4, чтобы найти абсциссы ($x$) точек касания:

$x^2 - 3x = 4$

Перенесем 4 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Подбором находим корни:

$x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Таким образом, у нас есть две точки на параболе с ординатой 4: $M_1(4, 4)$ и $M_2(-1, 4)$. В этих точках и нужно провести касательные.

2. Нахождение уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f'(x_0)$ — это значение производной функции в точке $x_0$, которое равно угловому коэффициенту касательной.

Найдем производную функции $f(x) = x^2 - 3x$:

$f'(x) = (x^2 - 3x)' = 2x - 3$

Теперь найдем уравнения для каждой из двух касательных.

Касательная в точке $M_1(4, 4)$

Для этой точки $x_0 = 4$ и $f(x_0) = 4$.

Найдем угловой коэффициент касательной:

$f'(4) = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$

Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной:

$y = 4 + 5(x - 4)$

$y = 4 + 5x - 20$

$y = 5x - 16$

Касательная в точке $M_2(-1, 4)$

Для этой точки $x_0 = -1$ и $f(x_0) = 4$.

Найдем угловой коэффициент касательной:

$f'(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$

Подставим значения в формулу:

$y = 4 + (-5)(x - (-1))$

$y = 4 - 5(x + 1)$

$y = 4 - 5x - 5$

$y = -5x - 1$

Ответ: уравнения касательных к параболе в точках с ординатой 4: $y = 5x - 16$ и $y = -5x - 1$.

29.22 a) $f(x) = \sin x, y = -x$;

б) $f(x) = \cos 3x, y = 0$;

В) $f(x) = \text{tg } x, y = x$;

Г) $f(x) = \sin \frac{x}{3}, y = -1?$;

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \sin x$ и $y = -x$, необходимо решить уравнение $f(x) = y$, то есть $\sin x = -x$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $\sin x + x = 0$.

Очевидно, что $x=0$ является решением данного уравнения, так как $\sin 0 + 0 = 0 + 0 = 0$.

Чтобы определить, есть ли другие решения, рассмотрим функцию $g(x) = \sin x + x$. Найдем ее производную: $g'(x) = (\sin x + x)' = \cos x + 1$.

Так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, то производная $g'(x)$ всегда неотрицательна: $0 \le \cos x + 1 \le 2$. Поскольку производная равна нулю только в отдельных точках (при $x = \pi + 2\pi k$, $k \in Z$), функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Строго возрастающая функция может принимать любое свое значение, в том числе и 0, только один раз.

Следовательно, $x=0$ — это единственное решение уравнения. Найдем соответствующую ординату: $y = -0 = 0$.

Ответ: $(0, 0)$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \cos 3x$ и $y = 0$, необходимо решить уравнение $\cos 3x = 0$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение уравнения $\cos t = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).

В нашем случае $t = 3x$. Приравниваем: $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Ордината всех точек пересечения равна $y=0$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, 0)$, где $k \in Z$.

в) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \operatorname{tg} x$ и $y = x$, необходимо решить уравнение $\operatorname{tg} x = x$.

Методом подбора можно найти одно решение: $x=0$, так как $\operatorname{tg} 0 = 0$. Этой точке соответствует точка пересечения с координатами $(0, 0)$.

Данное уравнение является трансцендентным. Графический анализ показывает, что кроме $x=0$, существует бесконечное множество других решений, так как прямая $y=x$ пересекает каждую ветвь графика $y=\operatorname{tg} x$. Эти решения не могут быть выражены через элементарные функции и находятся численными методами.

В рамках школьного курса обычно достаточно указать очевидное решение.

Ответ: $(0, 0)$.

г) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \sin^2 \frac{x}{3}$ и $y = -1$, необходимо решить уравнение $\sin^2 \frac{x}{3} = -1$.

Функция синус принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$. Следовательно, квадрат синуса, $\sin^2 \frac{x}{3}$, может принимать значения только в диапазоне $[0, 1]$.

Таким образом, выражение $\sin^2 \frac{x}{3}$ всегда является неотрицательным числом. Уравнение $\sin^2 \frac{x}{3} = -1$ не имеет решений в действительных числах, так как неотрицательная величина не может быть равна отрицательному числу.

Это означает, что графики данных функций не пересекаются.

Ответ: решений нет.