Страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

28.27 a) При каких значениях $x$ выполняется равенство $f'(x) = 2$, если известно, что $f(x) = 2\sqrt{x} - 5x + 3$?

б) При каких значениях $x$ выполняется равенство $f'(x) = 1$, если известно, что $f(x) = 3x - \sqrt{x} + 13$?

а)

Для решения задачи нам нужно найти значение $x$, при котором производная функции $f(x)$ равна 2.

Дана функция: $f(x) = 2\sqrt{x} - 5x + 3$.

Сначала найдем производную этой функции, $f'(x)$. Область определения производной $x > 0$.

Используем правила дифференцирования: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, $(u-v+w)' = u'-v'+w'$, и формулы производных: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(x)' = 1$, $(C)' = 0$.

$f'(x) = (2\sqrt{x} - 5x + 3)' = 2 \cdot (\sqrt{x})' - 5 \cdot (x)' + (3)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 5 \cdot 1 + 0 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 5$.

Теперь приравняем полученную производную к 2, согласно условию $f'(x) = 2$:

$\frac{1}{\sqrt{x}} - 5 = 2$

Перенесем $-5$ в правую часть уравнения:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 2 + 5$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 7$

Из этого выражения находим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{7}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = \left(\frac{1}{7}\right)^2 = \frac{1}{49}$

Значение $x = \frac{1}{49}$ удовлетворяет области определения производной ($x > 0$).

Ответ: $x = \frac{1}{49}$.

б)

Для решения задачи нам нужно найти значение $x$, при котором производная функции $f(x)$ равна 1.

Дана функция: $f(x) = 3x - \sqrt{x} + 13$.

Сначала найдем производную этой функции, $f'(x)$. Область определения производной $x > 0$.

Используя те же правила дифференцирования:

$f'(x) = (3x - \sqrt{x} + 13)' = 3 \cdot (x)' - (\sqrt{x})' + (13)' = 3 \cdot 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = 3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь приравняем полученную производную к 1, согласно условию $f'(x) = 1$:

$3 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$

Перенесем 1 влево, а член с корнем вправо:

$3 - 1 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$2 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Умножим обе части уравнения на $2\sqrt{x}$:

$2 \cdot 2\sqrt{x} = 1$

$4\sqrt{x} = 1$

Отсюда находим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$

Значение $x = \frac{1}{16}$ удовлетворяет области определения производной ($x > 0$).

Ответ: $x = \frac{1}{16}$.

28.24 Вычислите скорость изменения данной функции в данной точке $x_0$:

а) $y = 2 \sin x - 4x, x_0 = \frac{\pi}{3}$;

б) $y = \frac{\operatorname{tg} x}{3}, x_0 = -\frac{\pi}{3}$;

в) $y = -3 \cos x + x, x_0 = -\frac{\pi}{6}$;

г) $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{5}, x_0 = \frac{\pi}{3}$.

а) Скорость изменения функции в данной точке - это значение ее производной в этой точке.
1. Найдем производную функции $y = 2 \sin x - 4x$:
$y'(x) = (2 \sin x - 4x)' = (2 \sin x)' - (4x)' = 2\cos x - 4$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:
$y'(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) - 4 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 4 = 1 - 4 = -3$.
Ответ: $-3$.

б) Скорость изменения функции в данной точке - это значение ее производной в этой точке.
1. Найдем производную функции $y = \frac{\operatorname{tg} x}{3}$:
$y'(x) = (\frac{1}{3}\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{3}(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{3\cos^2 x}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{3}$:
$y'(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{3\cos^2(-\frac{\pi}{3})}$. Используя свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$ и значение $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$y'(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{3(\cos(\frac{\pi}{3}))^2} = \frac{1}{3(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

в) Скорость изменения функции в данной точке - это значение ее производной в этой точке.
1. Найдем производную функции $y = -3 \cos x + x$:
$y'(x) = (-3 \cos x + x)' = (-3\cos x)' + (x)' = -3(-\sin x) + 1 = 3\sin x + 1$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{6}$:
$y'(-\frac{\pi}{6}) = 3\sin(-\frac{\pi}{6}) + 1$. Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$ и значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$y'(-\frac{\pi}{6}) = 3(-\sin(\frac{\pi}{6})) + 1 = 3(-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) Скорость изменения функции в данной точке - это значение ее производной в этой точке.
1. Найдем производную функции $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{5}$:
$y'(x) = (\frac{1}{5}\operatorname{ctg} x)' = \frac{1}{5}(\operatorname{ctg} x)' = \frac{1}{5} \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{1}{5\sin^2 x}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:
$y'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{5\sin^2(\frac{\pi}{3})}$. Используя значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$y'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{5(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = -\frac{1}{5 \cdot \frac{3}{4}} = -\frac{1}{\frac{15}{4}} = -\frac{4}{15}$.
Ответ: $-\frac{4}{15}$.

Найдите производную функции:

28.28 a) $y = (4x - 9)^7;$ в) $y = (5x + 1)^9;$

б) $y = \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12};$ г) $y = \left(\frac{x}{4} - 3\right)^{14}.$

а) $y = (4x - 9)^7$

Для нахождения производной данной сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом) в сочетании с формулой производной степенной функции: $(u(x)^n)' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$.

В нашем случае, внутренняя функция $u(x) = 4x - 9$, а показатель степени $n = 7$.

Сначала найдем производную внутренней функции:

$u'(x) = (4x - 9)' = 4$.

Теперь подставляем все компоненты в формулу производной сложной функции:

$y' = 7 \cdot (4x - 9)^{7-1} \cdot (4x - 9)'$

$y' = 7(4x - 9)^6 \cdot 4$

$y' = 28(4x - 9)^6$

Ответ: $y' = 28(4x - 9)^6$

б) $y = (\frac{x}{3} + 2)^{12}$

Применяем то же правило дифференцирования сложной функции. Здесь внутренняя функция $u(x) = \frac{x}{3} + 2$, а показатель степени $n=12$.

Находим производную внутренней функции:

$u'(x) = (\frac{x}{3} + 2)' = (\frac{1}{3}x + 2)' = \frac{1}{3}$.

Подставляем в формулу производной сложной функции:

$y' = 12 \cdot (\frac{x}{3} + 2)^{12-1} \cdot (\frac{x}{3} + 2)'$

$y' = 12(\frac{x}{3} + 2)^{11} \cdot \frac{1}{3}$

$y' = \frac{12}{3}(\frac{x}{3} + 2)^{11}$

$y' = 4(\frac{x}{3} + 2)^{11}$

Ответ: $y' = 4(\frac{x}{3} + 2)^{11}$

в) $y = (5x + 1)^9$

Снова используем правило производной сложной функции. Внутренняя функция $u(x) = 5x + 1$, показатель степени $n=9$.

Находим производную внутренней функции:

$u'(x) = (5x + 1)' = 5$.

Подставляем в формулу:

$y' = 9 \cdot (5x + 1)^{9-1} \cdot (5x + 1)'$

$y' = 9(5x + 1)^8 \cdot 5$

$y' = 45(5x + 1)^8$

Ответ: $y' = 45(5x + 1)^8$

г) $y = (\frac{x}{4} - 3)^{14}$

Используем правило производной сложной функции. Внутренняя функция $u(x) = \frac{x}{4} - 3$, показатель степени $n=14$.

Находим производную внутренней функции:

$u'(x) = (\frac{x}{4} - 3)' = (\frac{1}{4}x - 3)' = \frac{1}{4}$.

Подставляем в формулу:

$y' = 14 \cdot (\frac{x}{4} - 3)^{14-1} \cdot (\frac{x}{4} - 3)'$

$y' = 14(\frac{x}{4} - 3)^{13} \cdot \frac{1}{4}$

$y' = \frac{14}{4}(\frac{x}{4} - 3)^{13}$

$y' = \frac{7}{2}(\frac{x}{4} - 3)^{13}$

Ответ: $y' = \frac{7}{2}(\frac{x}{4} - 3)^{13}$

28.25 Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$:

a) $h(x) = x^6 - 4x$, $x_0 = 1$;

б) $h(x) = \sqrt{x} - 3$, $x_0 = \frac{1}{4}$;

в) $h(x) = -x^5 - 2x^2 + 2$, $x_0 = -1$;

г) $h(x) = \frac{25}{x} + 2$, $x_0 = \frac{5}{4}$.

Тангенс угла между касательной к графику функции $y=h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $x$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $\tan(\alpha) = h'(x_0)$.

а)

Дана функция $h(x) = x^6 - 4x$. Найдем ее производную:

$h'(x) = (x^6 - 4x)' = 6x^5 - 4$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$h'(1) = 6 \cdot 1^5 - 4 = 6 - 4 = 2$.

Ответ: 2.

б)

Дана функция $h(x) = \sqrt{x} - 3$. Найдем ее производную, представив $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:

$h'(x) = (\sqrt{x} - 3)' = (x^{1/2})' - (3)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:

$h'(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1.

в)

Дана функция $h(x) = -x^5 - 2x^2 + 2$. Найдем ее производную:

$h'(x) = (-x^5 - 2x^2 + 2)' = -5x^4 - 4x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$h'(-1) = -5(-1)^4 - 4(-1) = -5(1) + 4 = -5 + 4 = -1$.

Ответ: -1.

г)

Дана функция $h(x) = \frac{25}{x} + 2$. Найдем ее производную, представив $\frac{25}{x}$ как $25x^{-1}$:

$h'(x) = (\frac{25}{x} + 2)' = (25x^{-1} + 2)' = -25x^{-2} = -\frac{25}{x^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{5}{4}$:

$h'(\frac{5}{4}) = -\frac{25}{(\frac{5}{4})^2} = -\frac{25}{\frac{25}{16}} = -25 \cdot \frac{16}{25} = -16$.

Ответ: -16.

28.26 Для заданной функции f(x) найдите значение её производной в указанной точке:

a) $f(x) = x^2 \sin x, f'(\frac{\pi}{2}) = ?$

б) $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \frac{x^2}{\pi} + x \sin \frac{\pi}{6}, f'(\frac{\pi}{6}) = ?$

в) $f(x) = x(1 + \cos x), f'(\pi) = ?$

г) $f(x) = \sqrt{3} \cos x - x \cos \frac{\pi}{6} + \frac{x^2}{\pi}, f'(\frac{\pi}{3}) = ?$

а) Дана функция $f(x) = x^2 \sin x$.

Для нахождения её производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$. Тогда $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = \cos x$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) + (\frac{\pi}{2})^2 \cdot \cos(\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, подставляем эти значения:

$f'(\frac{\pi}{2}) = \pi \cdot 1 + \frac{\pi^2}{4} \cdot 0 = \pi + 0 = \pi$.

Ответ: $\pi$.

б) Дана функция $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \frac{x^2}{\pi} + x \sin \frac{\pi}{6}$.

Найдем производную $f'(x)$ как сумму производных её слагаемых. Обратим внимание, что $\sin \frac{\pi}{6}$ — это константа, равная $\frac{1}{2}$.

$f'(x) = (\sqrt{3} \sin x)' + (\frac{x^2}{\pi})' + (x \sin \frac{\pi}{6})' = \sqrt{3} \cos x + \frac{2x}{\pi} + \sin \frac{\pi}{6}$.

Вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{6}$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \cos(\frac{\pi}{6}) + \frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{\pi} + \sin(\frac{\pi}{6})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{6\pi} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$.

Складываем дроби:

$f'(\frac{\pi}{6}) = (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} = \frac{4}{2} + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$.

в) Дана функция $f(x) = x(1 + \cos x)$.

Сначала раскроем скобки для удобства дифференцирования: $f(x) = x + x \cos x$.

Найдем производную $f'(x)$ как сумму производных. Для второго слагаемого используем правило произведения.

$f'(x) = (x)' + (x \cos x)' = 1 + ((x)' \cos x + x (\cos x)') = 1 + (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x)) = 1 + \cos x - x \sin x$.

Вычислим значение производной в точке $x = \pi$:

$f'(\pi) = 1 + \cos(\pi) - \pi \sin(\pi)$.

Зная, что $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$, подставляем эти значения:

$f'(\pi) = 1 + (-1) - \pi \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt{3} \cos x - x \cos \frac{\pi}{6} + \frac{x^2}{\pi}$.

Найдем производную $f'(x)$, дифференцируя каждое слагаемое. Обратим внимание, что $\cos \frac{\pi}{6}$ — это константа, равная $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$f'(x) = (\sqrt{3} \cos x)' - (x \cos \frac{\pi}{6})' + (\frac{x^2}{\pi})' = \sqrt{3}(-\sin x) - \cos \frac{\pi}{6} + \frac{2x}{\pi} = -\sqrt{3} \sin x - \cos \frac{\pi}{6} + \frac{2x}{\pi}$.

Вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{6}) + \frac{2 \cdot \frac{\pi}{3}}{\pi}$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3\pi} = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{3}$.

Сгруппируем и сложим рациональные слагаемые:

$f'(\frac{\pi}{3}) = (-\frac{3}{2} + \frac{2}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = (-\frac{9}{6} + \frac{4}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{5}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{5}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.