Страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.14 a) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 2;$

Б) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -1;$

В) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 5;$

Г) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -0,5.$

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ используется формула:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче функция $f(x) = \frac{1}{x}$.

Сначала найдем производную этой функции. Запишем функцию в виде $f(x) = x^{-1}$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

Теперь мы можем найти уравнения касательных для каждого случая.

а) Для $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = 2$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = \frac{1}{2}$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$

3. Составим уравнение касательной, подставив найденные значения:

$y = f(2) + f'(2)(x - 2)$

$y = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{4})(x - 2)$

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}x + \frac{2}{4}$

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{4}x + 1$

Ответ: $y = -\frac{1}{4}x + 1$.

б) Для $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -1$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(x_0) = f(-1) = \frac{1}{-1} = -1$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(x_0) = f'(-1) = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$

3. Составим уравнение касательной:

$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$

$y = -1 + (-1)(x + 1)$

$y = -1 - x - 1$

$y = -x - 2$

Ответ: $y = -x - 2$.

в) Для $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = 5$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 5$:

$f(x_0) = f(5) = \frac{1}{5}$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 5$:

$f'(x_0) = f'(5) = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25}$

3. Составим уравнение касательной:

$y = f(5) + f'(5)(x - 5)$

$y = \frac{1}{5} + (-\frac{1}{25})(x - 5)$

$y = \frac{1}{5} - \frac{1}{25}x + \frac{5}{25}$

$y = \frac{1}{5} - \frac{1}{25}x + \frac{1}{5}$

$y = -\frac{1}{25}x + \frac{2}{5}$

Ответ: $y = -\frac{1}{25}x + \frac{2}{5}$.

г) Для $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -0,5$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -0,5$:

$f(x_0) = f(-0,5) = \frac{1}{-0,5} = -2$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -0,5$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = -\frac{1}{(-0,5)^2} = -\frac{1}{0,25} = -4$

3. Составим уравнение касательной:

$y = f(-0,5) + f'(-0,5)(x - (-0,5))$

$y = -2 + (-4)(x + 0,5)$

$y = -2 - 4x - 4 \cdot 0,5$

$y = -2 - 4x - 2$

$y = -4x - 4$

Ответ: $y = -4x - 4$.

27.15 Пользуясь алгоритмом нахождения производной (см. п. 2 в §27), выведите формулу дифференцирования функции:

а) $y = x^2 + x$;

б) $y = 2x^2 - 3$;

в) $y = 3x - 2x^2$;

г) $y = x^4 + 4x - 5$.

Для вывода формул дифференцирования воспользуемся определением производной функции $y=f(x)$ в точке $x$:

$y' = f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Алгоритм нахождения производной:

1. Найти приращение функции $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$.
2. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
3. Вычислить предел этого отношения при $\Delta x \to 0$.

а) $y = x^2 + x$

1. Найдем приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^2 + (x + \Delta x)) - (x^2 + x)$

Раскроем скобки:

$\Delta y = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + x + \Delta x) - x^2 - x$

Упростим выражение:

$\Delta y = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + \Delta x$

2. Найдем отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + \Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x + 1)}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 1$

3. Вычислим предел:

$y' = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 1) = 2x + 0 + 1 = 2x + 1$

Ответ: $y' = 2x + 1$

б) $y = 2x^2 - 3$

1. Найдем приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (2(x + \Delta x)^2 - 3) - (2x^2 - 3)$

Раскроем скобки:

$\Delta y = (2(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - 3) - 2x^2 + 3$

$\Delta y = 2x^2 + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2 - 3 - 2x^2 + 3$

Упростим выражение:

$\Delta y = 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2$

2. Найдем отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4x\Delta x + 2(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(4x + 2\Delta x)}{\Delta x} = 4x + 2\Delta x$

3. Вычислим предел:

$y' = \lim_{\Delta x \to 0} (4x + 2\Delta x) = 4x + 2 \cdot 0 = 4x$

Ответ: $y' = 4x$

в) $y = 3x - 2x^2$

1. Найдем приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (3(x + \Delta x) - 2(x + \Delta x)^2) - (3x - 2x^2)$

Раскроем скобки:

$\Delta y = (3x + 3\Delta x - 2(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2)) - 3x + 2x^2$

$\Delta y = 3x + 3\Delta x - 2x^2 - 4x\Delta x - 2(\Delta x)^2 - 3x + 2x^2$

Упростим выражение:

$\Delta y = 3\Delta x - 4x\Delta x - 2(\Delta x)^2$

2. Найдем отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3\Delta x - 4x\Delta x - 2(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(3 - 4x - 2\Delta x)}{\Delta x} = 3 - 4x - 2\Delta x$

3. Вычислим предел:

$y' = \lim_{\Delta x \to 0} (3 - 4x - 2\Delta x) = 3 - 4x - 2 \cdot 0 = 3 - 4x$

Ответ: $y' = 3 - 4x$

г) $y = x^4 + 4x - 5$

1. Найдем приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^4 + 4(x + \Delta x) - 5) - (x^4 + 4x - 5)$

Используем формулу бинома Ньютона для $(x + \Delta x)^4 = x^4 + 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4$ и раскроем скобки:

$\Delta y = (x^4 + 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + \dots + 4x + 4\Delta x - 5) - x^4 - 4x + 5$

Упростим выражение. Все слагаемые, не содержащие $\Delta x$, сократятся:

$\Delta y = 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4 + 4\Delta x$

2. Найдем отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4 + 4\Delta x}{\Delta x}$

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 4x^3 + 6x^2\Delta x + 4x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 4$

3. Вычислим предел:

$y' = \lim_{\Delta x \to 0} (4x^3 + 6x^2\Delta x + 4x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 4)$

Все слагаемые, содержащие $\Delta x$, стремятся к нулю:

$y' = 4x^3 + 0 + 0 + 0 + 4 = 4x^3 + 4$

Ответ: $y' = 4x^3 + 4$

27.12 Найдите скорость изменения функции в произвольной точке $x$:

а) $y = 9.5x - 3$;

б) $y = -16x + 3$;

в) $y = 6.7x - 13$;

г) $y = -9x + 4$.

Найдите скорость изменения функции $y=f(x)$ в указанной точке $x_0$:

Скорость изменения функции в произвольной точке $x$ определяется значением ее производной в этой точке. Все представленные функции являются линейными и имеют вид $y = kx + b$. Скорость изменения (производная) для таких функций является постоянной величиной и равна угловому коэффициенту $k$.

Общая формула для нахождения производной линейной функции: $y' = (kx + b)' = k$.

а) Дана функция $y = 9,5x - 3$.

Это линейная функция, где угловой коэффициент $k = 9,5$.

Найдем ее производную, которая и будет скоростью изменения функции:

$y' = (9,5x - 3)' = (9,5x)' - (3)' = 9,5 \cdot (x)' - 0 = 9,5 \cdot 1 = 9,5$.

Скорость изменения функции постоянна в любой точке $x$ и равна $9,5$.

Ответ: $9,5$.

б) Дана функция $y = -16x + 3$.

Это линейная функция, где угловой коэффициент $k = -16$.

Найдем ее производную:

$y' = (-16x + 3)' = (-16x)' + (3)' = -16 \cdot (x)' + 0 = -16 \cdot 1 = -16$.

Скорость изменения функции постоянна в любой точке $x$ и равна $-16$.

Ответ: $-16$.

в) Дана функция $y = 6,7x - 13$.

Это линейная функция, где угловой коэффициент $k = 6,7$.

Найдем ее производную:

$y' = (6,7x - 13)' = (6,7x)' - (13)' = 6,7 \cdot (x)' - 0 = 6,7 \cdot 1 = 6,7$.

Скорость изменения функции постоянна в любой точке $x$ и равна $6,7$.

Ответ: $6,7$.

г) Дана функция $y = -9x + 4$.

Это линейная функция, где угловой коэффициент $k = -9$.

Найдем ее производную:

$y' = (-9x + 4)' = (-9x)' + (4)' = -9 \cdot (x)' + 0 = -9 \cdot 1 = -9$.

Скорость изменения функции постоянна в любой точке $x$ и равна $-9$.

Ответ: $-9$.

27.13 a) $f(x) = x^2, x_0 = 2;$

В) $f(x) = x^2, x_0 = -2;$

б) $f(x) = x^2, x_0 = -1;$

Г) $f(x) = x^2, x_0 = 2.$

а) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка $x_0 = 2$.
Задача состоит в том, чтобы найти значение производной функции в заданной точке, то есть $f'(x_0)$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$ в общем виде. Используем правило дифференцирования для степенной функции, которое гласит, что $(x^n)' = nx^{n-1}$.
Для нашей функции $f(x) = x^2$ получаем:
$f'(x) = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.
Теперь, чтобы найти значение производной в точке $x_0 = 2$, подставим это значение в найденное выражение для производной:
$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: $4$

б) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка $x_0 = -1$.
Как было найдено в предыдущем пункте, производная функции $f(x) = x^2$ равна $f'(x) = 2x$.
Вычислим значение этой производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$.
Ответ: $-2$

в) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка $x_0 = -2$.
Производная функции $f(x) = x^2$ нам уже известна: $f'(x) = 2x$.
Подставим значение $x_0 = -2$ в выражение для производной:
$f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.
Ответ: $-4$

г) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка $x_0 = 2$.
Данное задание идентично заданию из пункта а).
Производная функции $f(x) = x^2$ равна $f'(x) = 2x$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: $4$

28.3 Найдите значение производной функции $y = g(x)$ в точке $x_0$, если:

а) $g(x) = \sqrt{x}, x_0 = 4;$

б) $g(x) = x^2, x_0 = -7;$

в) $g(x) = -3x - 11, x_0 = -3;$

г) $g(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0,5.$

а) Для функции $g(x) = \sqrt{x}$ в точке $x_0 = 4$.

Сначала найдем производную функции $g(x)$. Для этого представим корень в виде степени: $g(x) = x^{\frac{1}{2}}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$g'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 4$ в выражение для производной:

$g'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Для функции $g(x) = x^2$ в точке $x_0 = -7$.

Найдем производную функции $g(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$g'(x) = (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.

Подставим значение $x_0 = -7$ в выражение для производной:

$g'(-7) = 2 \cdot (-7) = -14$.

Ответ: $-14$.

в) Для функции $g(x) = -3x - 11$ в точке $x_0 = -3$.

Найдем производную линейной функции $g(x)$. Используем правила дифференцирования: производная от $x$ равна 1, а производная от константы равна 0.

$g'(x) = (-3x - 11)' = (-3x)' - (11)' = -3 \cdot (x)' - 0 = -3 \cdot 1 = -3$.

Производная данной функции является константой, то есть ее значение не зависит от $x$. Таким образом, в точке $x_0 = -3$ значение производной также равно -3.

$g'(-3) = -3$.

Ответ: $-3$.

г) Для функции $g(x) = \frac{1}{x}$ в точке $x_0 = 0,5$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степени: $g(x) = x^{-1}$.

Применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$g'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,5$:

$g'(0,5) = -\frac{1}{(0,5)^2} = -\frac{1}{0,25} = -4$.

Ответ: $-4$.

28.4 a) $g(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{2}$;$

б) $g(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;$

в) $g(x) = \cos x, x_0 = -3\pi$;$

г) $g(x) = \sin x, x_0 = 0$.$

а)

Уравнение касательной к графику функции $y=g(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $g(x) = \sin x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$g(x_0) = g(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$g'(x_0) = g'(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.

4. Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной:

$y = -1 + 0 \cdot (x - (-\frac{\pi}{2}))$

$y = -1 + 0 \cdot (x + \frac{\pi}{2})$

$y = -1$.

Ответ: $y = -1$.

б)

Дана функция $g(x) = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$g(x_0) = g(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$g'(x_0) = g'(\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

4. Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{1}{2}) \cdot (x - \frac{\pi}{6})$

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

в)

Дана функция $g(x) = \cos x$ и точка $x_0 = -3\pi$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$g(x_0) = g(-3\pi) = \cos(-3\pi) = \cos(3\pi) = -1$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$g'(x_0) = g'(-3\pi) = -\sin(-3\pi) = \sin(3\pi) = 0$.

4. Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$:

$y = -1 + 0 \cdot (x - (-3\pi))$

$y = -1 + 0 \cdot (x + 3\pi)$

$y = -1$.

Ответ: $y = -1$.

г)

Дана функция $g(x) = \sin x$ и точка $x_0 = 0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$g(x_0) = g(0) = \sin(0) = 0$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$g'(x_0) = g'(0) = \cos(0) = 1$.

4. Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$:

$y = 0 + 1 \cdot (x - 0)$

$y = x$.

Ответ: $y = x$.

Найдите производную функции:

28.1 а) $y = 7x + 4;$

б) $y = x^2;$

в) $y = -6x + 1;$

г) $y = \frac{1}{x}.$

а) Чтобы найти производную функции $y = 7x + 4$, используем основные правила дифференцирования. Производная суммы равна сумме производных, а константу можно выносить за знак производной.
Правила: $(u+v)' = u' + v'$, $(c \cdot x)' = c$ и $(c)' = 0$, где $c$ - константа.
$y' = (7x + 4)' = (7x)' + (4)'$
Производная от $7x$ равна $7$, а производная от константы $4$ равна $0$.
$y' = 7 + 0 = 7$.
Ответ: $y' = 7$

б) Для нахождения производной функции $y = x^2$ используем формулу производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
В данном случае показатель степени $n=2$.
$y' = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x^1 = 2x$.
Ответ: $y' = 2x$

в) Для функции $y = -6x + 1$ применяем те же правила, что и в пункте а).
$y' = (-6x + 1)' = (-6x)' + (1)'$
Производная от $-6x$ равна $-6$, а производная от константы $1$ равна $0$.
$y' = -6 + 0 = -6$.
Ответ: $y' = -6$

г) Функцию $y = \frac{1}{x}$ можно представить в виде степенной функции $y = x^{-1}$.
Далее используем ту же формулу для производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=-1$.
$y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2}$

28.2 a) $y = \sin x;$

б) $y = \sqrt{x};$

в) $y = \cos x;$

г) $y = 10^{10}.$

а)

Чтобы найти производную функции $y = \sin x$, необходимо воспользоваться таблицей производных основных элементарных функций. Производная функции синус равна косинусу.

Запишем формулу производной: $y' = (\sin x)' = \cos x$.

Ответ: $y' = \cos x$

б)

Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x}$ представим ее в виде степенной функции: $y = x^{1/2}$. Затем применим правило дифференцирования для степенной функции, которое гласит $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. В нашем случае $n = 1/2$.

Применяем правило, подставляя $n=1/2$:
$y' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$.

Преобразуем выражение с отрицательной степенью в дробь и вернемся к записи с корнем:
$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

в)

Чтобы найти производную функции $y = \cos x$, мы, как и в пункте а), используем таблицу производных. Производная функции косинус равна минус синусу.

Формула производной для косинуса: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Ответ: $y' = -\sin x$

г)

Функция $y = 10^{10}$ является константой (постоянной величиной), так как её значение не зависит от переменной $x$.

Производная любой константы $C$ равна нулю. Это одно из основных правил дифференцирования: $(C)' = 0$.

Следовательно, производная данной функции равна нулю: $y' = (10^{10})' = 0$.

Ответ: $y' = 0$