Страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

28.15 a) $y = x^3 + 2x^5$;

б) $y = x^4 - x^9$;

В) $y = x^3 + 4x^{100}$;

Г) $y = x^4 - 7x^9$.

а) Дана функция $y = x^3 + 2x^5$.

Для нахождения производной этой функции, мы используем правило дифференцирования суммы и правило для степенной функции.

Правило суммы: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Правило степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Применяя эти правила, дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

Производная первого слагаемого: $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Производная второго слагаемого (с использованием правила для константы $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$): $(2x^5)' = 2 \cdot (x^5)' = 2 \cdot 5x^{5-1} = 10x^4$.

Складывая результаты, получаем производную всей функции:

$y' = (x^3)' + (2x^5)' = 3x^2 + 10x^4$.

Ответ: $y' = 3x^2 + 10x^4$.

б) Дана функция $y = x^4 - x^9$.

Для нахождения производной этой функции, мы используем правило дифференцирования разности и правило для степенной функции.

Правило разности: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.

Правило степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Применяя эти правила, дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

Производная первого слагаемого: $(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.

Производная второго слагаемого: $(x^9)' = 9x^{9-1} = 9x^8$.

Вычитая вторую производную из первой, получаем производную всей функции:

$y' = (x^4)' - (x^9)' = 4x^3 - 9x^8$.

Ответ: $y' = 4x^3 - 9x^8$.

в) Дана функция $y = x^3 + 4x^{100}$.

Используем те же правила, что и в пункте а): правило дифференцирования суммы и правило для степенной функции.

Дифференцируем каждое слагаемое:

Производная первого слагаемого: $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Производная второго слагаемого: $(4x^{100})' = 4 \cdot (x^{100})' = 4 \cdot 100x^{100-1} = 400x^{99}$.

Складывая результаты, получаем производную всей функции:

$y' = (x^3)' + (4x^{100})' = 3x^2 + 400x^{99}$.

Ответ: $y' = 3x^2 + 400x^{99}$.

г) Дана функция $y = x^4 - 7x^9$.

Используем те же правила, что и в пункте б): правило дифференцирования разности и правило для степенной функции.

Дифференцируем каждое слагаемое:

Производная первого слагаемого: $(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.

Производная второго слагаемого: $(7x^9)' = 7 \cdot (x^9)' = 7 \cdot 9x^{9-1} = 63x^8$.

Вычитая вторую производную из первой, получаем производную всей функции:

$y' = (x^4)' - (7x^9)' = 4x^3 - 63x^8$.

Ответ: $y' = 4x^3 - 63x^8$.

28.19 а) $y = 3\sin x + \operatorname{ctg} x$;

б) $y = \operatorname{tg} x - \cos x$;

В) $y = \cos x + \operatorname{tg} x$;

Г) $y = 6\operatorname{tg} x - \sin x$.

а) Чтобы найти производную функции $y = 3\sin x + \operatorname{ctg} x$, мы будем использовать правило дифференцирования суммы и табличные производные.

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций:

$y' = (3\sin x + \operatorname{ctg} x)' = (3\sin x)' + (\operatorname{ctg} x)'$

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная от $3\sin x$ находится с использованием правила вынесения константы за знак производной и табличной производной синуса:

$(3\sin x)' = 3 \cdot (\sin x)' = 3\cos x$

Производная от $\operatorname{ctg} x$ является табличной:

$(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Теперь сложим полученные производные:

$y' = 3\cos x + (-\frac{1}{\sin^2 x}) = 3\cos x - \frac{1}{\sin^2 x}$

Ответ: $y' = 3\cos x - \frac{1}{\sin^2 x}$.

б) Для нахождения производной функции $y = \operatorname{tg} x - \cos x$ воспользуемся правилом дифференцирования разности и табличными производными.

Производная разности функций равна разности их производных:

$y' = (\operatorname{tg} x - \cos x)' = (\operatorname{tg} x)' - (\cos x)'$

Найдем производную каждого члена функции.

Производная тангенса является табличной:

$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Производная косинуса также является табличной:

$(\cos x)' = -\sin x$

Теперь вычтем вторую производную из первой:

$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - (-\sin x) = \frac{1}{\cos^2 x} + \sin x$

Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x} + \sin x$.

в) Найдем производную функции $y = \cos x + \operatorname{tg} x$. Применим правило дифференцирования суммы.

Производная функции является суммой производных ее слагаемых:

$y' = (\cos x + \operatorname{tg} x)' = (\cos x)' + (\operatorname{tg} x)'$

Используем табличные значения производных.

Производная от $\cos x$:

$(\cos x)' = -\sin x$

Производная от $\operatorname{tg} x$:

$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Складываем полученные результаты:

$y' = -\sin x + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - \sin x$

Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x} - \sin x$.

г) Для нахождения производной функции $y = 6\operatorname{tg} x - \sin x$ используем правило дифференцирования разности, правило вынесения константы и табличные производные.

Производная разности равна разности производных:

$y' = (6\operatorname{tg} x - \sin x)' = (6\operatorname{tg} x)' - (\sin x)'$

Найдем производную первого слагаемого, вынеся константу за знак производной:

$(6\operatorname{tg} x)' = 6 \cdot (\operatorname{tg} x)' = 6 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{6}{\cos^2 x}$

Найдем производную второго слагаемого:

$(\sin x)' = \cos x$

Теперь найдем разность производных:

$y' = \frac{6}{\cos^2 x} - \cos x$

Ответ: $y' = \frac{6}{\cos^2 x} - \cos x$.

28.23 Вычислите скорость изменения функции $y = g(x)$ в точке $x_0$:

а) $g(x) = x^3 + 2x, x_0 = 2;$

б) $g(x) = (\sqrt{x} + 1)\sqrt{x}, x_0 = 1;$

в) $g(x) = x^2 + 4\sqrt{x} - 4x, x_0 = 4;$

г) $g(x) = \frac{1}{x}(\frac{4}{x} - 2), x_0 = -0,5.$

а) Скорость изменения функции в точке $x_0$ равна значению ее производной в этой точке, то есть $g'(x_0)$. Найдем производную функции $g(x) = x^3 + 2x$. Используя правила дифференцирования суммы и степенной функции, получаем: $g'(x) = (x^3 + 2x)' = (x^3)' + (2x)' = 3x^2 + 2$. Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$: $g'(2) = 3 \cdot 2^2 + 2 = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$.
Ответ: 14

б) Сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки: $g(x) = (\sqrt{x} + 1)\sqrt{x} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 1 \cdot \sqrt{x} = x + \sqrt{x}$. Для нахождения скорости изменения функции найдем ее производную. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$: $g'(x) = (x + x^{1/2})' = (x)' + (x^{1/2})' = 1 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $g'(1) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1 + \frac{1}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5

в) Скорость изменения функции равна значению ее производной. Найдем производную функции $g(x) = x^2 + 4\sqrt{x} - 4x$. $g'(x) = (x^2 + 4\sqrt{x} - 4x)' = (x^2)' + (4x^{1/2})' - (4x)' = 2x + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 4 = 2x + \frac{2}{\sqrt{x}} - 4$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$: $g'(4) = 2 \cdot 4 + \frac{2}{\sqrt{4}} - 4 = 8 + \frac{2}{2} - 4 = 8 + 1 - 4 = 5$.
Ответ: 5

г) Сначала упростим выражение для функции: $g(x) = \frac{1}{x}(\frac{4}{x} - 2) = \frac{4}{x^2} - \frac{2}{x}$. Для удобства дифференцирования запишем функцию через степени: $g(x) = 4x^{-2} - 2x^{-1}$. Найдем производную: $g'(x) = (4x^{-2} - 2x^{-1})' = 4 \cdot (-2)x^{-3} - 2 \cdot (-1)x^{-2} = -8x^{-3} + 2x^{-2} = -\frac{8}{x^3} + \frac{2}{x^2}$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -0,5$: $g'(-0,5) = -\frac{8}{(-0,5)^3} + \frac{2}{(-0,5)^2} = -\frac{8}{-0,125} + \frac{2}{0,25} = 64 + 8 = 72$.
Ответ: 72

28.16 a) $y = (x^2 - 1)(x^4 + 2);$

б) $y = (x^3 + 1)\sqrt{x};$

В) $y = (x^2 + 3)(x^4 - 1);$

Г) $y = \sqrt{x}(x^4 + 2).$

а) $y = (x^2 - 1)(x^4 + 2)$

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = x^4 + 2$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$

$v'(x) = (x^4 + 2)' = 4x^3$

Теперь подставим найденные значения в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (2x)(x^4 + 2) + (x^2 - 1)(4x^3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y' = 2x \cdot x^4 + 2x \cdot 2 + x^2 \cdot 4x^3 - 1 \cdot 4x^3$

$y' = 2x^5 + 4x + 4x^5 - 4x^3$

Приведем подобные слагаемые:

$y' = (2x^5 + 4x^5) - 4x^3 + 4x = 6x^5 - 4x^3 + 4x$

Ответ: $y' = 6x^5 - 4x^3 + 4x$

б) $y = (x^3 + 1)\sqrt{x}$

Используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^3 + 1$ и $v(x) = \sqrt{x}$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2$

$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим в формулу:

$y' = u'v + uv' = (3x^2)(\sqrt{x}) + (x^3 + 1)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$

Упростим первое слагаемое и раскроем скобки во втором:

$y' = 3x^2\sqrt{x} + \frac{x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$y' = \frac{3x^2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{6x^2 (\sqrt{x})^2 + x^3 + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{6x^2 \cdot x + x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{6x^3 + x^3 + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$

в) $y = (x^2 + 3)(x^4 - 1)$

Снова применяем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2 + 3$ и $v(x) = x^4 - 1$.

Находим производные:

$u'(x) = (x^2 + 3)' = 2x$

$v'(x) = (x^4 - 1)' = 4x^3$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = (2x)(x^4 - 1) + (x^2 + 3)(4x^3)$

Раскрываем скобки:

$y' = 2x \cdot x^4 - 2x \cdot 1 + x^2 \cdot 4x^3 + 3 \cdot 4x^3$

$y' = 2x^5 - 2x + 4x^5 + 12x^3$

Приводим подобные слагаемые:

$y' = (2x^5 + 4x^5) + 12x^3 - 2x = 6x^5 + 12x^3 - 2x$

Ответ: $y' = 6x^5 + 12x^3 - 2x$

г) $y = \sqrt{x}(x^4 + 2)$

Воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = x^4 + 2$.

Их производные:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (x^4 + 2)' = 4x^3$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(x^4 + 2) + (\sqrt{x})(4x^3)$

Упростим выражение:

$y' = \frac{x^4 + 2}{2\sqrt{x}} + 4x^3\sqrt{x}$

Приведем к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$y' = \frac{x^4 + 2}{2\sqrt{x}} + \frac{4x^3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{x^4 + 2 + 8x^3 (\sqrt{x})^2}{2\sqrt{x}} = \frac{x^4 + 2 + 8x^3 \cdot x}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{x^4 + 2 + 8x^4}{2\sqrt{x}} = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$

28.20 a) $y = x \operatorname{tg} x;$

б) $y = \sin x \operatorname{tg} x;$

В) $y = x \operatorname{ctg} x;$

Г) $y = \cos x \operatorname{ctg} x.$

а) Дана функция $y = x \operatorname{tg} x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. В нашем случае $u(x) = x$ и $v(x) = \operatorname{tg} x$.
Найдём производные этих функций: $u'(x) = (x)' = 1$
$v'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Теперь подставим найденные производные в формулу произведения: $y' = (x \operatorname{tg} x)' = u'v + uv' = (x)' \operatorname{tg} x + x (\operatorname{tg} x)' = 1 \cdot \operatorname{tg} x + x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$.

б) Дана функция $y = \sin x \operatorname{tg} x$. Применим правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = \sin x$ и $v(x) = \operatorname{tg} x$.
Найдём производные этих функций: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$
$v'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Подставляем в формулу и находим производную исходной функции: $y' = (\sin x \operatorname{tg} x)' = (\sin x)' \operatorname{tg} x + \sin x (\operatorname{tg} x)' = \cos x \cdot \operatorname{tg} x + \sin x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.
Упростим полученное выражение, используя тригонометрическое тождество $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$: $y' = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$.

в) Дана функция $y = x \operatorname{ctg} x$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = x$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$.
Найдём производные: $u'(x) = (x)' = 1$
$v'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Подставляем производные в формулу: $y' = (x \operatorname{ctg} x)' = (x)' \operatorname{ctg} x + x (\operatorname{ctg} x)' = 1 \cdot \operatorname{ctg} x + x \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = \operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}$.

г) Дана функция $y = \cos x \operatorname{ctg} x$. Применим правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$.
Найдём производные этих функций: $u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$
$v'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Подставляем в формулу и находим производную: $y' = (\cos x \operatorname{ctg} x)' = (\cos x)' \operatorname{ctg} x + \cos x (\operatorname{ctg} x)' = -\sin x \cdot \operatorname{ctg} x + \cos x \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$.
Упростим выражение, используя тождество $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$: $y' = -\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cos x - \frac{\cos x}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = -\cos x - \frac{\cos x}{\sin^2 x}$.

28.17 a) $y = \left(\frac{1}{x} + 1\right) (2x - 3);$

Б) $y = \sqrt{x} \cos x;$

В) $y = \left(\frac{1}{x} + 8\right) (5x - 2);$

Г) $y = \sqrt{x} \sin x;$

а) $y = (\frac{1}{x} + 1)(2x - 3)$

Для нахождения производной этой функции можно пойти двумя путями: использовать правило дифференцирования произведения или сначала упростить выражение. Второй способ в данном случае проще.

1. Раскроем скобки в выражении для $y$:

$y = \frac{1}{x} \cdot 2x - \frac{1}{x} \cdot 3 + 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3$

2. Упростим полученное выражение:

$y = 2 - \frac{3}{x} + 2x - 3 = 2x - \frac{3}{x} - 1$

3. Теперь найдем производную функции $y$ по $x$. Запишем $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$ и применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (2x - 3x^{-1} - 1)'$

$y' = (2x)' - (3x^{-1})' - (1)'$

$y' = 2 - 3(-1)x^{-2} - 0$

$y' = 2 + 3x^{-2}$

4. Запишем результат в более привычном виде:

$y' = 2 + \frac{3}{x^2}$

Ответ: $y' = 2 + \frac{3}{x^2}$

б) $y = \sqrt{x} \cos x$

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \cos x$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

1. Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

2. Подставим найденные производные в формулу правила произведения:

$y' = u'v + uv' = (\frac{1}{2\sqrt{x}}) \cdot \cos x + \sqrt{x} \cdot (-\sin x)$

3. Упростим полученное выражение:

$y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$

Ответ: $y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$

в) $y = (\frac{1}{x} + 8)(5x - 2)$

Аналогично пункту а), сначала упростим исходное выражение, раскрыв скобки.

1. Раскроем скобки:

$y = \frac{1}{x} \cdot 5x + \frac{1}{x} \cdot (-2) + 8 \cdot 5x + 8 \cdot (-2)$

2. Упростим выражение:

$y = 5 - \frac{2}{x} + 40x - 16 = 40x - \frac{2}{x} - 11$

3. Найдем производную функции $y$ по $x$, представив $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$:

$y' = (40x - 2x^{-1} - 11)'$

$y' = (40x)' - (2x^{-1})' - (11)'$

$y' = 40 - 2(-1)x^{-2} - 0$

$y' = 40 + 2x^{-2}$

4. Преобразуем результат к окончательному виду:

$y' = 40 + \frac{2}{x^2}$

Ответ: $y' = 40 + \frac{2}{x^2}$

г) $y = \sqrt{x} \sin x$

Эта функция, как и в пункте б), является произведением двух функций: $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \sin x$. Применим правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

1. Найдем производные для каждой из функций:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

2. Подставим найденные производные в формулу правила произведения:

$y' = u'v + uv' = (\frac{1}{2\sqrt{x}}) \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \cos x$

3. Запишем итоговое выражение:

$y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$

Ответ: $y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$

28.21 a) $y = x^2 + 2x - 1, x_0 = 0;$

б) $y = x^3 - 3x + 2, x_0 = -1;$

в) $y = x^2 + 3x - 4, x_0 = 1;$

Г) $y = x^3 - 9x^2 + 7, x_0 = 2.$

а) Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, воспользуемся формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^2 + 2x - 1$ и точка $x_0 = 0$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 1 = -1$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 + 2x - 1)' = 2x + 2$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 2$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -1 + 2(x - 0)$
$y = 2x - 1$.
Ответ: $y = 2x - 1$.

б) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x + 2$ и точка $x_0 = -1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3 \cdot 1 - 3 = 0$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 4 + 0(x - (-1))$
$y = 4$.
Ответ: $y = 4$.

в) Дана функция $f(x) = x^2 + 3x - 4$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 + 3x - 4)' = 2x + 3$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 0 + 5(x - 1)$
$y = 5x - 5$.
Ответ: $y = 5x - 5$.

г) Дана функция $f(x) = x^3 - 9x^2 + 7$ и точка $x_0 = 2$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 7 = 8 - 9 \cdot 4 + 7 = 8 - 36 + 7 = -21$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 9x^2 + 7)' = 3x^2 - 18x$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 18 \cdot 2 = 3 \cdot 4 - 36 = 12 - 36 = -24$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -21 + (-24)(x - 2)$
$y = -21 - 24x + 48$
$y = -24x + 27$.
Ответ: $y = -24x + 27$.

28.18 a) $y = \frac{x^3}{2x + 4};$

б) $y = \frac{x^2}{x^2 - 1};$

В) $y = \frac{x^2}{3 - 4x};$

Г) $y = \frac{x}{x^2 + 1}.$

а) $y = \frac{x^3}{2x + 4}$

1. Поиск вертикальных асимптот. Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. Для дробно-рациональной функции это точки, в которых знаменатель равен нулю, а числитель отличен от нуля.

Приравняем знаменатель к нулю: $2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.

В точке $x = -2$ числитель равен $(-2)^3 = -8$, что не равно нулю. Следовательно, прямая $x = -2$ является вертикальной асимптотой. Убедимся в этом, вычислив односторонние пределы:

$\lim_{x \to -2-0} \frac{x^3}{2x + 4} = \frac{(-2)^3}{2(-2-0) + 4} = \frac{-8}{-0} = +\infty$

$\lim_{x \to -2+0} \frac{x^3}{2x + 4} = \frac{(-2)^3}{2(-2+0) + 4} = \frac{-8}{+0} = -\infty$

Поскольку пределы равны бесконечности, $x = -2$ — это вертикальная асимптота.

2. Поиск горизонтальных и наклонных асимптот. Поведение функции на бесконечности определяется соотношением степеней многочленов в числителе ($n=3$) и знаменателе ($m=1$).

Поскольку степень числителя больше степени знаменателя более чем на единицу ($n > m+1$, т.е. $3 > 1+1$), у функции нет ни горизонтальных, ни наклонных асимптот. График функции растет быстрее любой прямой при $x \to \pm\infty$.

Ответ: вертикальная асимптота $x = -2$.

б) $y = \frac{x^2}{x^2 - 1}$

1. Поиск вертикальных асимптот. Находим нули знаменателя:

$x^2 - 1 = 0 \implies (x-1)(x+1) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.

В этих точках числитель не равен нулю ($1^2=1$, $(-1)^2=1$). Следовательно, прямые $x=1$ и $x=-1$ являются вертикальными асимптотами.

2. Поиск горизонтальных и наклонных асимптот. Степень числителя $n=2$ равна степени знаменателя $m=2$. Это означает, что у функции есть горизонтальная асимптота вида $y=k$. Коэффициент $k$ равен пределу функции при $x \to \infty$, что эквивалентно отношению старших коэффициентов многочленов:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1} = 1$.

Таким образом, прямая $y=1$ — горизонтальная асимптота. Наличие горизонтальной асимптоты исключает наличие наклонной.

Ответ: вертикальные асимптоты $x = 1$ и $x = -1$; горизонтальная асимптота $y = 1$.

в) $y = \frac{x^2}{3 - 4x}$

1. Поиск вертикальных асимптот. Находим нули знаменателя:

$3 - 4x = 0 \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4}$.

В этой точке числитель не равен нулю ($(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16} \neq 0$). Следовательно, прямая $x = \frac{3}{4}$ является вертикальной асимптотой.

2. Поиск горизонтальных и наклонных асимптот. Степень числителя $n=2$ на единицу больше степени знаменателя $m=1$ ($n = m+1$). Это означает, что у функции есть наклонная асимптота вида $y = kx+b$. Горизонтальной асимптоты нет. Найдем коэффициенты $k$ и $b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(3 - 4x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{3x - 4x^2}$

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x^2$:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3}{x} - 4} = \frac{1}{0 - 4} = -\frac{1}{4}$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2}{3 - 4x} - \left(-\frac{1}{4}x\right)\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2}{3 - 4x} + \frac{x}{4}\right)$

Приводим к общему знаменателю:

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + x(3 - 4x)}{4(3 - 4x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x - 4x^2}{12 - 16x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{12 - 16x}$

Разделим числитель и знаменатель на $x$:

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\frac{12}{x} - 16} = \frac{3}{0 - 16} = -\frac{3}{16}$.

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты: $y = -\frac{1}{4}x - \frac{3}{16}$.

Ответ: вертикальная асимптота $x = \frac{3}{4}$; наклонная асимптота $y = -\frac{1}{4}x - \frac{3}{16}$.

г) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

1. Поиск вертикальных асимптот. Находим нули знаменателя:

$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$.

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, у функции нет точек разрыва и нет вертикальных асимптот.

2. Поиск горизонтальных и наклонных асимптот. Степень числителя $n=1$ меньше степени знаменателя $m=2$ ($n < m$). Это означает, что у функции есть горизонтальная асимптота. Найдем ее уравнение, вычислив предел:

$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{0}{1+0} = 0$.

Таким образом, прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты исключает наличие наклонной.

Ответ: горизонтальная асимптота $y = 0$.

28.22 a) $y = \frac{2}{x} - 1$, $x_0 = 4$;

Б) $y = \sqrt{x + 4}$, $x_0 = 9$;

В) $y = \frac{8}{x} - 6$, $x_0 = 1$;

Г) $y = \sqrt{x + 5}$, $x_0 = 4$.

а) Чтобы найти значение производной функции $y = \frac{2}{x} - 1$ в точке $x_0 = 4$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y'(x)$.

Запишем функцию в виде $y = 2x^{-1} - 1$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$y' = (2x^{-1} - 1)' = 2 \cdot (-1)x^{-1-1} - 0 = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

2. Подставить значение $x_0 = 4$ в найденное выражение для производной:

$y'(4) = -\frac{2}{4^2} = -\frac{2}{16}$.

3. Упростить полученное выражение:

$-\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

б) Чтобы найти значение производной функции $y = \sqrt{x} + 4$ в точке $x_0 = 9$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y'(x)$.

Запишем функцию в виде $y = x^{1/2} + 4$. Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

$y' = (x^{1/2} + 4)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

2. Подставить значение $x_0 = 9$ в выражение для производной:

$y'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3}$.

3. Вычислить результат:

$\frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) Чтобы найти значение производной функции $y = \frac{8}{x} - 6$ в точке $x_0 = 1$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y'(x)$.

Запишем функцию в виде $y = 8x^{-1} - 6$. Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

$y' = (8x^{-1} - 6)' = 8 \cdot (-1)x^{-1-1} - 0 = -8x^{-2} = -\frac{8}{x^2}$.

2. Подставить значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$y'(1) = -\frac{8}{1^2} = -\frac{8}{1}$.

3. Вычислить результат:

$-8$.

Ответ: $-8$.

г) Чтобы найти значение производной функции $y = \sqrt{x} + 5$ в точке $x_0 = 4$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y'(x)$.

Запишем функцию в виде $y = x^{1/2} + 5$. Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

$y' = (x^{1/2} + 5)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

2. Подставить значение $x_0 = 4$ в выражение для производной:

$y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2}$.

3. Вычислить результат:

$\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.