Страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

28.7 а) $f(x) = x^2, x_0 = -4;$

в) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = \frac{1}{2};$

б) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -\frac{1}{3};$

г) $f(x) = x^2, x_0 = 2.$

Угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть вычисляется по формуле $k = f'(x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка $x_0 = -4$.
1. Находим производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^2)' = 2x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -4$ для нахождения углового коэффициента $k$:
$k = f'(-4) = 2 \cdot (-4) = -8$.
Ответ: -8

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$ и точка $x_0 = -\frac{1}{3}$.
1. Находим производную функции. Для этого представим функцию в виде $f(x) = x^{-1}$ и применим правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{3}$:
$k = f'(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} = -\frac{1}{\frac{1}{9}} = -1 \cdot 9 = -9$.
Ответ: -9

в) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{2}$.
1. Производная функции $f(x) = \frac{1}{x}$ была найдена в предыдущем пункте: $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$:
$k = f'(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -1 \cdot 4 = -4$.
Ответ: -4

г) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка $x_0 = 2$.
1. Производная функции $f(x) = x^2$ была найдена в пункте а): $f'(x) = 2x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$:
$k = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4

28.11 a) $y = \frac{1}{x} + 4x;$

б) $y = -2\sqrt{x} - \frac{1}{x};$

В) $y = \frac{1}{x} - 6x;$

Г) $y = 8\sqrt{x} + \frac{1}{x}.$

а)

Чтобы найти производную функции $y = \frac{1}{x} + 4x$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и табличными значениями производных.
Производная суммы функций равна сумме их производных:
$y' = (\frac{1}{x} + 4x)' = (\frac{1}{x})' + (4x)'$.
Согласно таблице производных, производная от $\frac{1}{x}$ равна $-\frac{1}{x^2}$, а производная от $kx$ равна $k$.
Следовательно, $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$ и $(4x)' = 4$.
Подставляем найденные значения в выражение для производной:
$y' = -\frac{1}{x^2} + 4$.

Ответ: $y' = 4 - \frac{1}{x^2}$

б)

Дана функция $y = -2\sqrt{x} - \frac{1}{x}$. Для нахождения ее производной $y'$ применим правило дифференцирования разности.
$y' = (-2\sqrt{x} - \frac{1}{x})' = (-2\sqrt{x})' - (\frac{1}{x})'$.
Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.
Для первого слагаемого используем правило вынесения константы за знак производной и формулу производной квадратного корня $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$:
$(-2\sqrt{x})' = -2 \cdot (\sqrt{x})' = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$.
Производная второго слагаемого известна из таблицы производных: $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
Теперь подставим найденные производные в исходное выражение:
$y' = -\frac{1}{\sqrt{x}} - (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

в)

Чтобы найти производную функции $y = \frac{1}{x} - 6x$, применим правило дифференцирования разности и воспользуемся таблицей производных.
$y' = (\frac{1}{x} - 6x)' = (\frac{1}{x})' - (6x)'$.
Из таблицы производных мы знаем, что $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$ и $(kx)' = k$.
В нашем случае, $(6x)' = 6$.
Подставляем значения в выражение для производной:
$y' = -\frac{1}{x^2} - 6$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2} - 6$

г)

Дана функция $y = 8\sqrt{x} + \frac{1}{x}$. Для нахождения ее производной $y'$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы.
$y' = (8\sqrt{x} + \frac{1}{x})' = (8\sqrt{x})' + (\frac{1}{x})'$.
Найдем производную каждого слагаемого.
Для первого слагаемого: $(8\sqrt{x})' = 8 \cdot (\sqrt{x})' = 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{4}{\sqrt{x}}$.
Для второго слагаемого: $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
Складываем полученные результаты:
$y' = \frac{4}{\sqrt{x}} + (-\frac{1}{x^2}) = \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

28.8 a) $f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{3};$

б) $f(x) = \cos x, x_0 = -\frac{\pi}{4};$

В) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3};$

Г) $f(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{6}.$

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, используется следующая формула:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — это значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — это значение производной функции в той же точке.

Применим эту формулу для решения каждой из задач.

а) Дано: $f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})$.

5. Упрощаем уравнение:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$.

б) Дано: $f(x) = \cos x, x_0 = -\frac{\pi}{4}$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-\frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(-\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(x - (-\frac{\pi}{4})) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(x + \frac{\pi}{4})$.

5. Упрощаем уравнение:

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{2}\pi}{8}$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{2}\pi}{8}$.

в) Дано: $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{3})$.

5. Упрощаем уравнение:

$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{3 + \sqrt{3}\pi}{6}$.

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{3 + \sqrt{3}\pi}{6}$.

г) Дано: $f(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-\frac{\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(x - (-\frac{\pi}{6})) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(x + \frac{\pi}{6})$.

5. Упрощаем уравнение:

$y = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi - 6}{12}$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi - 6}{12}$.

28.12 a) $y = \sin x + 3;$

б) $y = 4 \cos x;$

В) $y = \cos x - 6;$

Г) $y = -2 \sin x.$

а) $y = \sin x + 3$

Областью значений функции $y = \sin x$ является отрезок $[-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$ -1 \le \sin x \le 1 $.

Чтобы найти область значений для функции $y = \sin x + 3$, необходимо ко всем частям этого неравенства прибавить 3:
$ -1 + 3 \le \sin x + 3 \le 1 + 3 $
$ 2 \le y \le 4 $.

Таким образом, область значений данной функции — это отрезок $[2; 4]$.

Ответ: $E(y) = [2; 4]$.

б) $y = 4\cos x$

Областью значений функции $y = \cos x$ является отрезок $[-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$ -1 \le \cos x \le 1 $.

Чтобы найти область значений для функции $y = 4\cos x$, необходимо все части этого неравенства умножить на 4:
$ -1 \cdot 4 \le 4\cos x \le 1 \cdot 4 $
$ -4 \le y \le 4 $.

Таким образом, область значений данной функции — это отрезок $[-4; 4]$.

Ответ: $E(y) = [-4; 4]$.

в) $y = \cos x - 6$

Областью значений функции $y = \cos x$ является отрезок $[-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$ -1 \le \cos x \le 1 $.

Чтобы найти область значений для функции $y = \cos x - 6$, необходимо из всех частей этого неравенства вычесть 6:
$ -1 - 6 \le \cos x - 6 \le 1 - 6 $
$ -7 \le y \le -5 $.

Таким образом, область значений данной функции — это отрезок $[-7; -5]$.

Ответ: $E(y) = [-7; -5]$.

г) $y = -2\sin x$

Областью значений функции $y = \sin x$ является отрезок $[-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$ -1 \le \sin x \le 1 $.

Чтобы найти область значений для функции $y = -2\sin x$, необходимо все части этого неравенства умножить на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$ -1 \cdot (-2) \ge -2\sin x \ge 1 \cdot (-2) $
$ 2 \ge y \ge -2 $.

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$ -2 \le y \le 2 $.

Таким образом, область значений данной функции — это отрезок $[-2; 2]$.

Ответ: $E(y) = [-2; 2]$.

Найдите скорость изменения функции $y = h(x)$ в точке $x_0$, если:

28.5 a) $h(x) = 7x - 19, x_0 = -2;$

в) $h(x) = -6x + 4, x_0 = 0,5;$

б) $h(x) = \sqrt{x}, x_0 = 16;$

г) $h(x) = \sqrt{x}, x_0 = 9.$

Скорость изменения функции в точке $x_0$ равна значению производной этой функции в данной точке. Таким образом, чтобы найти скорость изменения функции $y=h(x)$ в точке $x_0$, необходимо найти ее производную $h'(x)$ и вычислить значение этой производной в точке $x_0$, то есть найти $h'(x_0)$.

а) Дана функция $h(x) = 7x - 19$ и точка $x_0 = -2$.
Находим производную функции:
$h'(x) = (7x - 19)' = (7x)' - (19)' = 7 \cdot 1 - 0 = 7$.
Производная является константой, поэтому ее значение в любой точке, включая $x_0 = -2$, равно 7.
$h'(-2) = 7$.
Ответ: 7

б) Дана функция $h(x) = \sqrt{x}$ и точка $x_0 = 16$.
Находим производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$h'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 16$:
$h'(16) = \frac{1}{2\sqrt{16}} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

в) Дана функция $h(x) = -6x + 4$ и точка $x_0 = 0,5$.
Находим производную функции:
$h'(x) = (-6x + 4)' = (-6x)' + (4)' = -6 \cdot 1 + 0 = -6$.
Производная является константой, поэтому ее значение в точке $x_0 = 0,5$ равно -6.
$h'(0,5) = -6$.
Ответ: -6

г) Дана функция $h(x) = \sqrt{x}$ и точка $x_0 = 9$.
Производная функции $h(x) = \sqrt{x}$ была найдена в пункте б):
$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$:
$h'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

28.9 Укажите, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$, если:

а) $f'(x) = 2x$;

б) $f'(x) = \cos x$;

в) $f'(x) = 3$;

г) $f'(x) = -\sin x$.

Задача состоит в нахождении функции по ее производной. Эта операция называется интегрированием. Для нахождения функции $y = f(x)$ по известной производной $f'(x)$ необходимо найти первообразную, то есть вычислить неопределенный интеграл. Общий вид всех первообразных для функции $f'(x)$ записывается как $f(x) = \int f'(x) \,dx = F(x) + C$, где $F'(x) = f'(x)$, а $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

а) Дана производная $f'(x) = 2x$.
Для нахождения функции $f(x)$ проинтегрируем данное выражение по $x$, используя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$f(x) = \int 2x \,dx = 2 \int x^1 \,dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$.
Таким образом, искомая функция может быть задана формулой $y = x^2 + C$, где $C$ — любое действительное число.
Ответ: $y = x^2 + C$.

б) Дана производная $f'(x) = \cos x$.
Интегрируем, чтобы найти $f(x)$. Используем табличный интеграл от косинуса:
$f(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.
Функция может быть задана формулой $y = \sin x + C$, где $C$ — любое действительное число.
Ответ: $y = \sin x + C$.

в) Дана производная $f'(x) = 3$.
Интегрируем константу, чтобы найти $f(x)$:
$f(x) = \int 3 \,dx = 3x + C$.
Функция может быть задана формулой $y = 3x + C$, где $C$ — любое действительное число.
Ответ: $y = 3x + C$.

г) Дана производная $f'(x) = -\sin x$.
Интегрируем, чтобы найти $f(x)$, используя табличный интеграл от синуса:
$f(x) = \int (-\sin x) \,dx = - \int \sin x \,dx = -(-\cos x) + C = \cos x + C$.
Функция может быть задана формулой $y = \cos x + C$, где $C$ — любое действительное число.
Ответ: $y = \cos x + C$.

28.13 a) $y = \cos x + 2x;$

Б) $y = 3\sin x + \cos x;$

В) $y = \sin x - 3x;$

Г) $y = 2\cos x + \sin x.$

а)

Чтобы найти производную функции $y = \cos x + 2x$, мы используем правило дифференцирования суммы, которое гласит, что производная суммы функций равна сумме их производных. Также нам понадобятся производные основных функций.

Формула производной суммы: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Применяем ее к нашей функции: $y' = (\cos x + 2x)' = (\cos x)' + (2x)'$.

Теперь находим производные каждого слагаемого: Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$. Производная линейной функции $(kx)' = k$, поэтому $(2x)' = 2$.

Складываем полученные результаты: $y' = -\sin x + 2$.

Ответ: $y' = 2 - \sin x$.

б)

Для нахождения производной функции $y = 3\sin x + \cos x$ применяем те же правила: правило дифференцирования суммы и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.

$y' = (3\sin x + \cos x)' = (3\sin x)' + (\cos x)'$.

Находим производные каждого слагаемого: $(3\sin x)' = 3 \cdot (\sin x)' = 3\cos x$. $(\cos x)' = -\sin x$.

Складываем результаты: $y' = 3\cos x - \sin x$.

Ответ: $y' = 3\cos x - \sin x$.

в)

Найдем производную функции $y = \sin x - 3x$. Используем правило дифференцирования разности: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.

$y' = (\sin x - 3x)' = (\sin x)' - (3x)'$.

Находим производные уменьшаемого и вычитаемого: Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$. Производная линейной функции: $(3x)' = 3$.

Вычисляем разность: $y' = \cos x - 3$.

Ответ: $y' = \cos x - 3$.

г)

Найдем производную функции $y = 2\cos x + \sin x$. Снова используем правило производной суммы и вынесение константы.

$y' = (2\cos x + \sin x)' = (2\cos x)' + (\sin x)'$.

Находим производные каждого слагаемого: $(2\cos x)' = 2 \cdot (\cos x)' = 2(-\sin x) = -2\sin x$. $(\sin x)' = \cos x$.

Складываем полученные производные: $y' = -2\sin x + \cos x$.

Ответ: $y' = \cos x - 2\sin x$.

28.6 a) $h(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2;$

Б) $h(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{2};$

В) $h(x) = x^2, x_0 = -0,1;$

Г) $h(x) = \cos x, x_0 = \pi.$

а) Дана функция $h(x) = \frac{1}{x}$ и точка $x_0 = -2$.
Задача состоит в нахождении значения производной функции в указанной точке, то есть $h'(x_0)$.
1. Найдём производную функции $h(x)$. Для этого представим функцию в виде степенной: $h(x) = x^{-1}$.
По правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
$h'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$, подставив это значение в полученное выражение для производной:
$h'(-2) = -\frac{1}{(-2)^2} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

б) Дана функция $h(x) = \sin x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.
1. Найдём производную функции $h(x)$. Производная функции синус является стандартной и равна косинусу:
$h'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:
$h'(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2})$.
Функция косинус является четной, то есть $\cos(-a) = \cos(a)$, поэтому:
$h'(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: 0.

в) Дана функция $h(x) = x^2$ и точка $x_0 = -0,1$.
1. Найдём производную функции $h(x)$ по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
$h'(x) = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -0,1$:
$h'(-0,1) = 2 \cdot (-0,1) = -0,2$.
Ответ: -0,2.

г) Дана функция $h(x) = \cos x$ и точка $x_0 = \pi$.
1. Найдём производную функции $h(x)$. Производная функции косинус является стандартной и равна минус синусу:
$h'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$:
$h'(\pi) = -\sin(\pi) = -0 = 0$.
Ответ: 0.

Найдите производную функции:

28.10 а) $y = x^2 - 7x;$

б) $y = \sqrt{x} - 9x^2;$

в) $y = 7x^2 + 3x;$

г) $y = \sqrt{x} - 5x^2.$

а) Для нахождения производной функции $y = x^2 - 7x$ воспользуемся правилами дифференцирования. Производная разности функций равна разности их производных: $(u-v)' = u' - v'$.
Найдём производную каждого слагаемого по отдельности, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
Производная первого слагаемого: $(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.
Производная второго слагаемого: $(7x)' = 7 \cdot x^{1-1} = 7 \cdot 1 = 7$.
Теперь вычтем производную второго слагаемого из производной первого:
$y' = (x^2 - 7x)' = (x^2)' - (7x)' = 2x - 7$.
Ответ: $y' = 2x - 7$.

б) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x} - 9x^2$ воспользуемся правилом производной разности $(u-v)' = u' - v'$.
Найдём производную каждого слагаемого. Для первого слагаемого используем формулу производной квадратного корня $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Для второго — формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
Производная первого слагаемого: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Производная второго слагаемого: $(9x^2)' = 9 \cdot (x^2)' = 9 \cdot 2x = 18x$.
Объединяем результаты:
$y' = (\sqrt{x} - 9x^2)' = (\sqrt{x})' - (9x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 18x$.
Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 18x$.

в) Для нахождения производной функции $y = 7x^2 + 3x$ используем правило производной суммы $(u+v)' = u' + v'$.
Найдём производные слагаемых по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:
Производная первого слагаемого: $(7x^2)' = 7 \cdot (x^2)' = 7 \cdot 2x = 14x$.
Производная второго слагаемого: $(3x)' = 3 \cdot x^{1-1} = 3 \cdot 1 = 3$.
Складываем полученные производные:
$y' = (7x^2 + 3x)' = (7x^2)' + (3x)' = 14x + 3$.
Ответ: $y' = 14x + 3$.

г) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x} - 5x^2$ используем правило производной разности $(u-v)' = u' - v'$.
Найдём производную каждого слагаемого. Используем формулы $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$.
Производная первого слагаемого: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Производная второго слагаемого: $(5x^2)' = 5 \cdot (x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$.
Вычитаем производные:
$y' = (\sqrt{x} - 5x^2)' = (\sqrt{x})' - (5x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 10x$.
Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 10x$.

28.14 а) $x = x^9$;

б) $y = x^{10}$;

В) $x = x^{39}$;

Г) $y = x^{201}$.

Решим уравнение $x = x^9$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x^9 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^8 - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1. $x = 0$. Это первый корень уравнения.

2. $x^8 - 1 = 0$. Решим это уравнение:

$x^8 = 1$

Поскольку показатель степени 8 является четным числом, это уравнение имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$.

В данном пункте представлена функция $y = x^{10}$. Наиболее вероятная задача — найти точки пересечения графика этой функции с прямой $y = x$. Это эквивалентно решению уравнения $x = x^{10}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^{10} - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^9 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x = 0$. Это первый корень.

2. $x^9 - 1 = 0$. Решим это уравнение:

$x^9 = 1$

Поскольку показатель степени 9 является нечетным числом, это уравнение имеет только один действительный корень: $x = 1$.

Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

Решим уравнение $x = x^{39}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^{39} - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^{38} - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x = 0$.

2. $x^{38} - 1 = 0$. Решим это уравнение:

$x^{38} = 1$

Поскольку показатель степени 38 является четным, уравнение имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$.

В итоге получаем три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$.

Аналогично пункту б), будем считать, что задача состоит в нахождении точек пересечения графика функции $y = x^{201}$ с прямой $y = x$. Для этого решим уравнение $x = x^{201}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^{201} - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^{200} - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x = 0$.

2. $x^{200} - 1 = 0$. Решим это уравнение:

$x^{200} = 1$

Поскольку показатель степени 200 является четным, уравнение имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$.

Таким образом, уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$.