Страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

28.31 Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

a) $y = (3x - 2)^7, x_0 = 3;$

б) $y = \sin \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right), x_0 = \frac{\pi}{12};$

в) $y = \operatorname{tg} \left(3x - \frac{\pi}{4}\right), x_0 = \frac{\pi}{12};$

г) $y = \sqrt{25 - 9x}, x_0 = 1;$

а) Дана функция $y = (3x - 2)^7$ и точка $x_0 = 3$. Чтобы найти значение производной в точке, сначала найдем саму производную. Это сложная функция, поэтому применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):
$y' = ((3x - 2)^7)' = 7(3x - 2)^{7-1} \cdot (3x-2)' = 7(3x-2)^6 \cdot 3 = 21(3x-2)^6$.
Теперь вычислим значение этой производной в точке $x_0=3$:
$y'(3) = 21(3 \cdot 3 - 2)^6 = 21(9-2)^6 = 21 \cdot 7^6$.
Зная, что $7^6 = 117649$, получаем:
$y'(3) = 21 \cdot 117649 = 2470629$.
Ответ: $2470629$.

б) Дана функция $y = \sin(\frac{\pi}{6} - 2x)$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{12}$. Находим производную, используя цепное правило:
$y' = (\sin(\frac{\pi}{6} - 2x))' = \cos(\frac{\pi}{6} - 2x) \cdot (\frac{\pi}{6} - 2x)' = \cos(\frac{\pi}{6} - 2x) \cdot (-2) = -2\cos(\frac{\pi}{6} - 2x)$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$:
$y'(\frac{\pi}{12}) = -2\cos(\frac{\pi}{6} - 2 \cdot \frac{\pi}{12}) = -2\cos(\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{12}) = -2\cos(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = -2\cos(0)$.
Так как $\cos(0) = 1$, то:
$y'(\frac{\pi}{12}) = -2 \cdot 1 = -2$.
Ответ: $-2$.

в) Дана функция $y = \tan(3x - \frac{\pi}{4})$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{12}$. Производная тангенса $(\tan(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$. Используя цепное правило, находим производную функции:
$y' = (\tan(3x - \frac{\pi}{4}))' = \frac{1}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})} \cdot (3x - \frac{\pi}{4})' = \frac{3}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$:
$y'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3}{\cos^2(3 \cdot \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4})} = \frac{3}{\cos^2(\frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{4})} = \frac{3}{\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4})} = \frac{3}{\cos^2(0)}$.
Так как $\cos(0) = 1$, получаем:
$y'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3}{1^2} = 3$.
Ответ: $3$.

г) Дана функция $y = \sqrt{25 - 9x}$ и точка $x_0 = 1$. Представим корень как степень $1/2$: $y = (25 - 9x)^{1/2}$. Находим производную по цепному правилу:
$y' = ((25 - 9x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(25 - 9x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (25 - 9x)' = \frac{1}{2\sqrt{25-9x}} \cdot (-9) = -\frac{9}{2\sqrt{25 - 9x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$y'(1) = -\frac{9}{2\sqrt{25 - 9 \cdot 1}} = -\frac{9}{2\sqrt{16}} = -\frac{9}{2 \cdot 4} = -\frac{9}{8}$.
Ответ: $-\frac{9}{8}$.

Вычислите скорость изменения функции в точке $x_0$:

28.32 а) $y = (2x + 1)^5, x_0 = -1$;

б) $y = \sqrt{7x - 3}, x_0 = 1$;

в) $y = \frac{4}{12x - 5}, x_0 = 2$;

г) $y = \sqrt{11 - 5x}, x_0 = -1$.

Скорость изменения функции в точке — это значение ее производной в этой точке. Таким образом, чтобы найти скорость изменения функции $y=f(x)$ в точке $x_0$, необходимо найти ее производную $y'$ и вычислить значение этой производной в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$.

а) Дана функция $y = (2x + 1)^5$ и точка $x_0 = -1$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции $(u(x)^n)' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$.

В нашем случае $u(x) = 2x+1$ и $n=5$.

$y' = 5 \cdot (2x + 1)^{5-1} \cdot (2x + 1)' = 5 \cdot (2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$y'(-1) = 10(2 \cdot (-1) + 1)^4 = 10(-2 + 1)^4 = 10(-1)^4 = 10 \cdot 1 = 10$.

Ответ: $10$.

б) Дана функция $y = \sqrt{7x - 3}$ и точка $x_0 = 1$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции для корня $(\sqrt{u(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$.

Здесь $u(x) = 7x - 3$.

$y' = (\sqrt{7x - 3})' = \frac{1}{2\sqrt{7x - 3}} \cdot (7x - 3)' = \frac{1}{2\sqrt{7x - 3}} \cdot 7 = \frac{7}{2\sqrt{7x - 3}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$y'(1) = \frac{7}{2\sqrt{7 \cdot 1 - 3}} = \frac{7}{2\sqrt{7 - 3}} = \frac{7}{2\sqrt{4}} = \frac{7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4}$.

Ответ: $\frac{7}{4}$.

в) Дана функция $y = \frac{4}{12x - 5}$ и точка $x_0 = 2$.

Представим функцию в виде степенной: $y = 4(12x - 5)^{-1}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции $(k \cdot u(x)^n)' = k \cdot n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$.

$y' = 4 \cdot (-1) \cdot (12x - 5)^{-1-1} \cdot (12x - 5)' = -4(12x - 5)^{-2} \cdot 12 = \frac{-48}{(12x - 5)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$y'(2) = \frac{-48}{(12 \cdot 2 - 5)^2} = \frac{-48}{(24 - 5)^2} = \frac{-48}{19^2} = -\frac{48}{361}$.

Ответ: $-\frac{48}{361}$.

г) Дана функция $y = \sqrt{11 - 5x}$ и точка $x_0 = -1$.

Используем правило дифференцирования сложной функции для корня $(\sqrt{u(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$.

Здесь $u(x) = 11 - 5x$.

$y' = (\sqrt{11 - 5x})' = \frac{1}{2\sqrt{11 - 5x}} \cdot (11 - 5x)' = \frac{1}{2\sqrt{11 - 5x}} \cdot (-5) = \frac{-5}{2\sqrt{11 - 5x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$y'(-1) = \frac{-5}{2\sqrt{11 - 5(-1)}} = \frac{-5}{2\sqrt{11 + 5}} = \frac{-5}{2\sqrt{16}} = \frac{-5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8}$.

Ответ: $-\frac{5}{8}$.

28.29 a) $y = \sin(3x - 9)$;

б) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)$;

в) $y = \cos(9x - 10)$;

г) $y = \sin(5 - 3x)$.

а) $y = \sin(3x - 9)$
Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
В данном случае, внешняя функция $f(u) = \sin u$, а внутренняя функция $u = g(x) = 3x - 9$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\sin u)' = \cos u$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (3x - 9)' = 3$.
Подставляем найденные производные в формулу:
$y' = \cos(3x - 9) \cdot (3x - 9)' = \cos(3x - 9) \cdot 3 = 3\cos(3x - 9)$.
Ответ: $y' = 3\cos(3x - 9)$.

б) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)$
Это сложная функция. Применим цепное правило.
Внешняя функция $f(u) = \cos u$, внутренняя функция $u = g(x) = \frac{\pi}{3} - 4x$.
Находим производные:
$f'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.
$g'(x) = \left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)' = -4$.
По цепному правилу:
$y' = -\sin\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right) \cdot \left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)' = -\sin\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right) \cdot (-4) = 4\sin\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)$.
Ответ: $y' = 4\sin\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)$.

в) $y = \cos(9x - 10)$
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \cos u$, внутренняя функция $u = g(x) = 9x - 10$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (9x - 10)' = 9$.
Собираем производную сложной функции:
$y' = -\sin(9x - 10) \cdot (9x - 10)' = -\sin(9x - 10) \cdot 9 = -9\sin(9x - 10)$.
Ответ: $y' = -9\sin(9x - 10)$.

г) $y = \sin(5 - 3x)$
Используем цепное правило для нахождения производной.
Внешняя функция $f(u) = \sin u$, внутренняя функция $u = g(x) = 5 - 3x$.
Находим производные:
$f'(u) = (\sin u)' = \cos u$.
$g'(x) = (5 - 3x)' = -3$.
По цепному правилу:
$y' = \cos(5 - 3x) \cdot (5 - 3x)' = \cos(5 - 3x) \cdot (-3) = -3\cos(5 - 3x)$.
Ответ: $y' = -3\cos(5 - 3x)$.

28.33 а) $y = \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right), x_0 = \frac{\pi}{4};$

Б) $y = \operatorname{tg} 6x, x_0 = \frac{\pi}{24};$

В) $y = \cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right), x_0 = \frac{\pi}{3};$

Г) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}, x_0 = \pi.$

а) Дана функция $y = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Задача состоит в нахождении значения производной функции в точке $x_0$.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, $g(x) = 3x - \frac{\pi}{4}$ и $f(u) = \sin(u)$.

Производная $g'(x) = (3x - \frac{\pi}{4})' = 3$.

Производная $f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$.

Следовательно, производная $y'$ равна:

$y' = \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot 3 = 3\cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$y'(\frac{\pi}{4}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = 3\cos(\frac{3\pi - \pi}{4}) = 3\cos(\frac{2\pi}{4}) = 3\cos(\frac{\pi}{2})$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{4}) = 3 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

б) Дана функция $y = \tg(6x)$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{24}$.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$, используя цепное правило.

Пусть $g(x) = 6x$ и $f(u) = \tg(u)$.

Производная $g'(x) = (6x)' = 6$.

Производная $f'(u) = (\tg(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.

Тогда производная $y'$ равна:

$y' = \frac{1}{\cos^2(6x)} \cdot 6 = \frac{6}{\cos^2(6x)}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{24}$:

$y'(\frac{\pi}{24}) = \frac{6}{\cos^2(6 \cdot \frac{\pi}{24})} = \frac{6}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$.

Значение $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, тогда $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем это значение:

$y'(\frac{\pi}{24}) = \frac{6}{1/2} = 6 \cdot 2 = 12$.

Ответ: $12$.

в) Дана функция $y = \cos(\frac{\pi}{3} - 2x)$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$ по цепному правилу.

Пусть $g(x) = \frac{\pi}{3} - 2x$ и $f(u) = \cos(u)$.

Производная $g'(x) = (\frac{\pi}{3} - 2x)' = -2$.

Производная $f'(u) = (\cos(u))' = -\sin(u)$.

Следовательно, производная $y'$ равна:

$y' = -\sin(\frac{\pi}{3} - 2x) \cdot (-2) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - 2x)$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$y'(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - 2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}) = 2\sin(-\frac{\pi}{3})$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin(z)$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{3}) = -2\sin(\frac{\pi}{3})$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$y'(\frac{\pi}{3}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

г) Дана функция $y = \ctg(\frac{x}{3})$ и точка $x_0 = \pi$.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$ по цепному правилу.

Пусть $g(x) = \frac{x}{3}$ и $f(u) = \ctg(u)$.

Производная $g'(x) = (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.

Производная $f'(u) = (\ctg(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.

Тогда производная $y'$ равна:

$y' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$:

$y'(\pi) = -\frac{1}{3\sin^2(\frac{\pi}{3})}$.

Значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, тогда $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Подставляем это значение:

$y'(\pi) = -\frac{1}{3 \cdot \frac{3}{4}} = -\frac{1}{\frac{9}{4}} = -\frac{4}{9}$.

Ответ: $-\frac{4}{9}$.

28.30 a) $y = \sqrt{15 - 7x}$;

б) $y = \sqrt{42 + 0.5x}$;

В) $y = \sqrt{4 + 9x}$;

Г) $y = \sqrt{50 - 0.2x}$.

а) Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{15 - 7x}$, необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$15 - 7x \ge 0$
Перенесем 15 в правую часть неравенства:
$-7x \ge -15$
Разделим обе части неравенства на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{-15}{-7}$
$x \le \frac{15}{7}$
$x \le 2\frac{1}{7}$
Таким образом, область определения функции есть промежуток $(-\infty; 2\frac{1}{7}]$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 2\frac{1}{7}]$

б) Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{42 + 0,5x}$, необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$42 + 0,5x \ge 0$
Перенесем 42 в правую часть неравенства:
$0,5x \ge -42$
Разделим обе части неравенства на 0,5:
$x \ge \frac{-42}{0,5}$
$x \ge -84$
Таким образом, область определения функции есть промежуток $[-84; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = [-84; +\infty)$

в) Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{4 + 9x}$, необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$4 + 9x \ge 0$
Перенесем 4 в правую часть неравенства:
$9x \ge -4$
Разделим обе части неравенства на 9:
$x \ge -\frac{4}{9}$
Таким образом, область определения функции есть промежуток $[-\frac{4}{9}; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = [-\frac{4}{9}; +\infty)$

г) Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{50 - 0,2x}$, необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$50 - 0,2x \ge 0$
Перенесем 50 в правую часть неравенства:
$-0,2x \ge -50$
Разделим обе части неравенства на -0,2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{-50}{-0,2}$
$x \le 250$
Таким образом, область определения функции есть промежуток $(-\infty; 250]$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 250]$

28.34 Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$:

а) $h(x) = (0.5x + 3)^7, x_0 = -4$;

б) $h(x) = \sqrt{16x + 21}, x_0 = \frac{1}{4}$;

в) $h(x) = \frac{18}{4x + 1}, x_0 = 0.5$;

г) $h(x) = \sqrt{6 - 2x}, x_0 = 1$.

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Таким образом, чтобы найти тангенс угла между касательной и осью $x$, необходимо найти значение производной функции $h'(x)$ в точке $x_0$.

а) Дана функция $h(x) = (0,5x + 3)^7$ и точка $x_0 = -4$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$h'(x) = 7(0,5x + 3)^{7-1} \cdot (0,5x + 3)' = 7(0,5x + 3)^6 \cdot 0,5 = 3,5(0,5x + 3)^6$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -4$:

$h'(-4) = 3,5 \cdot (0,5 \cdot (-4) + 3)^6 = 3,5 \cdot (-2 + 3)^6 = 3,5 \cdot 1^6 = 3,5$.

Ответ: 3,5.

б) Дана функция $h(x) = \sqrt{16x + 21}$ и точка $x_0 = \frac{1}{4}$.

Найдем производную, используя правило для сложной функции и производную квадратного корня $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

$h'(x) = (\sqrt{16x + 21})' = \frac{1}{2\sqrt{16x + 21}} \cdot (16x + 21)' = \frac{1}{2\sqrt{16x + 21}} \cdot 16 = \frac{8}{\sqrt{16x + 21}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:

$h'(\frac{1}{4}) = \frac{8}{\sqrt{16 \cdot \frac{1}{4} + 21}} = \frac{8}{\sqrt{4 + 21}} = \frac{8}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5} = 1,6$.

Ответ: 1,6.

в) Дана функция $h(x) = \frac{18}{4x + 1}$ и точка $x_0 = 0,5$.

Представим функцию в виде $h(x) = 18(4x + 1)^{-1}$ и найдем производную.

$h'(x) = (18(4x + 1)^{-1})' = 18 \cdot (-1)(4x + 1)^{-2} \cdot (4x + 1)' = -18(4x + 1)^{-2} \cdot 4 = -\frac{72}{(4x + 1)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,5$:

$h'(0,5) = -\frac{72}{(4 \cdot 0,5 + 1)^2} = -\frac{72}{(2 + 1)^2} = -\frac{72}{3^2} = -\frac{72}{9} = -8$.

Ответ: -8.

г) Дана функция $h(x) = \sqrt{6 - 2x}$ и точка $x_0 = 1$.

Найдем производную функции $h(x)$, используя правило для сложной функции.

$h'(x) = (\sqrt{6 - 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{6 - 2x}} \cdot (6 - 2x)' = \frac{1}{2\sqrt{6 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{6 - 2x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$h'(1) = -\frac{1}{\sqrt{6 - 2 \cdot 1}} = -\frac{1}{\sqrt{6 - 2}} = -\frac{1}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{2} = -0,5$.

Ответ: -0,5.