Страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

29.27 С помощью формулы $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ вычислите приближённо:

а) $0,998^5$;

б) $\sqrt{1,05}$;

в) $1,03^7$;

г) $\sqrt{3,99}$.

Для приближенного вычисления значений используем формулу линейного приближения функции, которая является уравнением касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $(a, f(a))$: $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$.

а) Вычислим приближенно $0,998^5$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5$. Нам нужно найти значение этой функции в точке $x = 0,998$. В качестве опорной точки $a$ выберем $a=1$, так как это близкое к $x$ значение, в котором легко вычислить функцию и ее производную.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^5)' = 5x^4$.

Теперь вычислим значения функции и ее производной в точке $a=1$:

$f(a) = f(1) = 1^5 = 1$

$f'(a) = f'(1) = 5 \cdot 1^4 = 5$

Подставим найденные значения в формулу приближения:

$0,998^5 \approx f(1) + f'(1)(0,998 - 1) = 1 + 5 \cdot (-0,002) = 1 - 0,01 = 0,99$.

Ответ: $0,99$.

б) Вычислим приближенно $\sqrt{1,05}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Точка, в которой ищем значение, $x = 1,05$. В качестве опорной точки $a$ выберем $a=1$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Вычислим значения функции и производной в точке $a=1$:

$f(a) = f(1) = \sqrt{1} = 1$

$f'(a) = f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} = 0,5$

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{1,05} \approx f(1) + f'(1)(1,05 - 1) = 1 + 0,5 \cdot 0,05 = 1 + 0,025 = 1,025$.

Ответ: $1,025$.

в) Вычислим приближенно $1,03^7$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^7$. Точка $x = 1,03$, опорная точка $a=1$.

Найдем производную: $f'(x) = (x^7)' = 7x^6$.

Вычислим значения в точке $a=1$:

$f(a) = f(1) = 1^7 = 1$

$f'(a) = f'(1) = 7 \cdot 1^6 = 7$

Подставим значения в формулу:

$1,03^7 \approx f(1) + f'(1)(1,03 - 1) = 1 + 7 \cdot 0,03 = 1 + 0,21 = 1,21$.

Ответ: $1,21$.

г) Вычислим приближенно $\sqrt{3,99}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Точка $x = 3,99$. В качестве опорной точки $a$ удобно выбрать $a=4$, так как $\sqrt{4}$ является целым числом.

Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Вычислим значения функции и производной в точке $a=4$:

$f(a) = f(4) = \sqrt{4} = 2$

$f'(a) = f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0,25$

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{3,99} \approx f(4) + f'(4)(3,99 - 4) = 2 + 0,25 \cdot (-0,01) = 2 - 0,0025 = 1,9975$.

Ответ: $1,9975$.

29.24 Составьте уравнение той касательной к графику функции $y = f(x)$, которая образует с осью $x$ заданный угол $\alpha$, если:

a) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x$, $\alpha = 60^{\circ}$;

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$, $\alpha = 30^{\circ}$.

а) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x$, $\alpha = 60^\circ$;

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ связан с углом наклона $\alpha$ к оси $x$ соотношением $k = \tan(\alpha)$. Также $k$ равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$.

$k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x\right)' = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3x^2 - 3\sqrt{3} = \frac{3}{\sqrt{3}}x^2 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3}$.

3. Найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$.

$\sqrt{3}x_0^2 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$x_0^2 - 3 = 1$

$x_0^2 = 4$

Следовательно, существуют две точки касания: $x_{0,1} = 2$ и $x_{0,2} = -2$.

4. Составим уравнения для каждой из двух касательных.

Случай 1: $x_0 = 2$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(2)^3 - 3\sqrt{3}(2) = \frac{8}{\sqrt{3}} - 6\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} - \frac{18\sqrt{3}}{3} = -\frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Подставим $x_0 = 2$, $y_0 = -\frac{10\sqrt{3}}{3}$ и $k = \sqrt{3}$ в уравнение касательной:

$y = -\frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x - 2) = -\frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}x - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}x - \frac{10\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x - \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Случай 2: $x_0 = -2$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(-2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(-2)^3 - 3\sqrt{3}(-2) = -\frac{8}{\sqrt{3}} + 6\sqrt{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{3} + \frac{18\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Подставим $x_0 = -2$, $y_0 = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ и $k = \sqrt{3}$ в уравнение касательной:

$y = \frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x - (-2)) = \frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x + 2) = \frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}x + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}x + \frac{10\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x + \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \sqrt{3}x - \frac{16\sqrt{3}}{3}$ и $y = \sqrt{3}x + \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$, $\alpha = 30^\circ$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$.

$k = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3\right)' = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3x^2 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}x^2$.

3. Найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$.

$\frac{4\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}x_0^2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x_0^2$

$\frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x_0^2$

$\sqrt{3} = \sqrt{3}x_0^2$

$x_0^2 = 1$

Следовательно, существуют две точки касания: $x_{0,1} = 1$ и $x_{0,2} = -1$.

4. Составим уравнения для каждой из двух касательных.

Случай 1: $x_0 = 1$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(1) = \frac{4}{\sqrt{3}}(1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(1)^3 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Подставим $x_0 = 1$, $y_0 = \sqrt{3}$ и $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ в уравнение касательной:

$y = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Случай 2: $x_0 = -1$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(-1) = \frac{4}{\sqrt{3}}(-1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(-1)^3 = -\frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$.

Подставим $x_0 = -1$, $y_0 = -\sqrt{3}$ и $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ в уравнение касательной:

$y = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-1)) = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x + 1) = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

29.28 Проведите касательную к графику функции $y = x^2 + 1$, проходящую через точку A, не принадлежащую этому графику, если:

а) A(-1; 2);

б) A(0; 0);

в) A(0; -3);

г) A(-1; 1).

Для решения задачи найдем уравнение касательной к графику функции $y = x^2 + 1$ в общем виде. Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Тогда ордината этой точки равна $y_0 = x_0^2 + 1$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В нашем случае $f(x) = x^2 + 1$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$

Значение производной в точке $x_0$ равно $f'(x_0) = 2x_0$.

Подставим все в уравнение касательной:

$y = (x_0^2 + 1) + 2x_0(x - x_0)$

$y = x_0^2 + 1 + 2x_0x - 2x_0^2$

$y = 2x_0x - x_0^2 + 1$

Это общее уравнение касательной к параболе $y = x^2 + 1$ в точке с абсциссой $x_0$.

По условию, касательная проходит через точку A$(x_A, y_A)$. Это означает, что координаты точки А должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим их в уравнение, чтобы найти $x_0$:

$y_A = 2x_0x_A - x_0^2 + 1$

Преобразуем это выражение в квадратное уравнение относительно $x_0$:

$x_0^2 - 2x_A x_0 + y_A - 1 = 0$

Теперь решим это уравнение для каждого из заданных случаев.

а) A(-1; 2)

Подставим координаты точки А(-1; 2) в полученное уравнение, где $x_A = -1$ и $y_A = 2$:

$x_0^2 - 2(-1)x_0 + 2 - 1 = 0$

$x_0^2 + 2x_0 + 1 = 0$

Это полный квадрат: $(x_0 + 1)^2 = 0$.

Решением является $x_0 = -1$. Это означает, что существует только одна касательная, и точка A(-1; 2) является точкой касания (проверка: $y(-1) = (-1)^2 + 1 = 2$, точка А лежит на графике).

Найдем уравнение этой касательной, подставив $x_0 = -1$ в общее уравнение касательной:

$y = 2(-1)x - (-1)^2 + 1 = -2x - 1 + 1 = -2x$

Ответ: $y = -2x$.

б) A(0; 0)

Подставим координаты точки А(0; 0) в уравнение для $x_0$, где $x_A = 0$ и $y_A = 0$:

$x_0^2 - 2(0)x_0 + 0 - 1 = 0$

$x_0^2 - 1 = 0$

Отсюда $x_0 = 1$ или $x_0 = -1$. Значит, через точку А можно провести две касательные к графику.

1. При $x_0 = 1$ уравнение касательной:

$y = 2(1)x - 1^2 + 1 = 2x$

2. При $x_0 = -1$ уравнение касательной:

$y = 2(-1)x - (-1)^2 + 1 = -2x - 1 + 1 = -2x$

Ответ: $y = 2x$ и $y = -2x$.

в) A(0; -3)

Подставим координаты точки А(0; -3) в уравнение для $x_0$, где $x_A = 0$ и $y_A = -3$:

$x_0^2 - 2(0)x_0 + (-3) - 1 = 0$

$x_0^2 - 4 = 0$

Отсюда $x_0 = 2$ или $x_0 = -2$. Существуют две касательные.

1. При $x_0 = 2$ уравнение касательной:

$y = 2(2)x - 2^2 + 1 = 4x - 4 + 1 = 4x - 3$

2. При $x_0 = -2$ уравнение касательной:

$y = 2(-2)x - (-2)^2 + 1 = -4x - 4 + 1 = -4x - 3$

Ответ: $y = 4x - 3$ и $y = -4x - 3$.

г) A(-1; 1)

Подставим координаты точки А(-1; 1) в уравнение для $x_0$, где $x_A = -1$ и $y_A = 1$:

$x_0^2 - 2(-1)x_0 + 1 - 1 = 0$

$x_0^2 + 2x_0 = 0$

$x_0(x_0 + 2) = 0$

Отсюда $x_0 = 0$ или $x_0 = -2$. Существуют две касательные.

1. При $x_0 = 0$ уравнение касательной:

$y = 2(0)x - 0^2 + 1 = 1$

2. При $x_0 = -2$ уравнение касательной:

$y = 2(-2)x - (-2)^2 + 1 = -4x - 4 + 1 = -4x - 3$

Ответ: $y = 1$ и $y = -4x - 3$.

29.25 a) Вычислите координаты точек пересечения с осью $y$ тех касательных к графику функции $y = \frac{3x - 1}{x + 8}$, которые образуют угол $45^\circ$ с осью $x$.

б) Вычислите координаты точек пересечения с осью $y$ тех касательных к графику функции $y = \frac{x + 4}{x - 5}$, которые образуют угол $135^\circ$ с осью $x$.

а)

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции равен тангенсу угла, который касательная образует с положительным направлением оси $x$. По условию, угол равен $45^\circ$, следовательно, угловой коэффициент касательных равен:
$k = \tan(45^\circ) = 1$.

С другой стороны, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции $y(x)$ в этой точке, то есть $k = y'(x_0)$.
Найдем производную функции $y = \frac{3x - 1}{x + 8}$, используя правило дифференцирования частного:
$y' = \left(\frac{3x - 1}{x + 8}\right)' = \frac{(3x - 1)'(x + 8) - (3x - 1)(x + 8)'}{(x + 8)^2} = \frac{3(x + 8) - (3x - 1) \cdot 1}{(x + 8)^2} = \frac{3x + 24 - 3x + 1}{(x + 8)^2} = \frac{25}{(x + 8)^2}$.

Приравняем производную к найденному значению углового коэффициента $k=1$ и найдем абсциссы точек касания $x_0$:
$\frac{25}{(x_0 + 8)^2} = 1$
$(x_0 + 8)^2 = 25$
$x_0 + 8 = \pm 5$
Отсюда получаем две точки касания:
1) $x_1 + 8 = 5 \Rightarrow x_1 = -3$
2) $x_2 + 8 = -5 \Rightarrow x_2 = -13$

Теперь найдем ординаты точек касания, подставив $x_1$ и $x_2$ в исходную функцию:
1) $y_1 = y(-3) = \frac{3(-3) - 1}{-3 + 8} = \frac{-9 - 1}{5} = \frac{-10}{5} = -2$. Точка касания $A(-3, -2)$.
2) $y_2 = y(-13) = \frac{3(-13) - 1}{-13 + 8} = \frac{-39 - 1}{-5} = \frac{-40}{-5} = 8$. Точка касания $B(-13, 8)$.

Напишем уравнения касательных. Общее уравнение касательной: $y - y_0 = k(x - x_0)$.
1) Для точки $A(-3, -2)$ и $k=1$:
$y - (-2) = 1(x - (-3)) \Rightarrow y + 2 = x + 3 \Rightarrow y = x + 1$.
2) Для точки $B(-13, 8)$ и $k=1$:
$y - 8 = 1(x - (-13)) \Rightarrow y - 8 = x + 13 \Rightarrow y = x + 21$.

Координаты точки пересечения с осью $y$ находятся при $x=0$.
1) Для касательной $y = x + 1$: при $x=0$, $y=1$. Координаты точки пересечения $(0, 1)$.
2) Для касательной $y = x + 21$: при $x=0$, $y=21$. Координаты точки пересечения $(0, 21)$.
Ответ: $(0, 1)$ и $(0, 21)$.

б)

По условию, касательные образуют угол $135^\circ$ с осью $x$. Найдем их угловой коэффициент:
$k = \tan(135^\circ) = -1$.

Найдем производную функции $y = \frac{x + 4}{x - 5}$:
$y' = \left(\frac{x + 4}{x - 5}\right)' = \frac{(x + 4)'(x - 5) - (x + 4)(x - 5)'}{(x - 5)^2} = \frac{1(x - 5) - (x + 4) \cdot 1}{(x - 5)^2} = \frac{x - 5 - x - 4}{(x - 5)^2} = \frac{-9}{(x - 5)^2}$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту $k=-1$, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$:
$\frac{-9}{(x_0 - 5)^2} = -1$
$(x_0 - 5)^2 = 9$
$x_0 - 5 = \pm 3$
Получаем две абсциссы:
1) $x_1 - 5 = 3 \Rightarrow x_1 = 8$
2) $x_2 - 5 = -3 \Rightarrow x_2 = 2$

Найдем ординаты точек касания:
1) $y_1 = y(8) = \frac{8 + 4}{8 - 5} = \frac{12}{3} = 4$. Точка касания $C(8, 4)$.
2) $y_2 = y(2) = \frac{2 + 4}{2 - 5} = \frac{6}{-3} = -2$. Точка касания $D(2, -2)$.

Напишем уравнения касательных с $k=-1$:
1) Для точки $C(8, 4)$:
$y - 4 = -1(x - 8) \Rightarrow y - 4 = -x + 8 \Rightarrow y = -x + 12$.
2) Для точки $D(2, -2)$:
$y - (-2) = -1(x - 2) \Rightarrow y + 2 = -x + 2 \Rightarrow y = -x$.

Найдем точки пересечения этих касательных с осью $y$ (при $x=0$):
1) Для $y = -x + 12$: при $x=0$, $y=12$. Координаты точки $(0, 12)$.
2) Для $y = -x$: при $x=0$, $y=0$. Координаты точки $(0, 0)$.
Ответ: $(0, 12)$ и $(0, 0)$.

Через точку B проведите касательную к графику функции $y = f(x)$, если:

29.29 а) $f(x) = -x^2 - 7x + 8$, $B(1; 1)$;

б) $f(x) = -x^2 - 7x + 8$, $B(0; 9)$.

а) Дана функция $f(x) = -x^2 - 7x + 8$ и точка $B(1; 1)$.

Сначала проверим, лежит ли точка $B$ на графике функции. Для этого подставим координату $x=1$ в уравнение функции:

$f(1) = -(1)^2 - 7(1) + 8 = -1 - 7 + 8 = 0$.

Поскольку $f(1) = 0 \neq 1$, точка $B(1; 1)$ не лежит на графике функции. Следовательно, мы ищем касательную к графику, проходящую через внешнюю точку.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 - 7x + 8)' = -2x - 7$.

Пусть $A(x_0, f(x_0))$ — точка касания. Тогда $f(x_0) = -x_0^2 - 7x_0 + 8$ и $f'(x_0) = -2x_0 - 7$.

Подставим эти выражения в общее уравнение касательной:

$y = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(x - x_0)$.

Поскольку касательная проходит через точку $B(1; 1)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x = 1$ и $y = 1$ в это уравнение, чтобы найти $x_0$:

$1 = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(1 - x_0)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$1 = -x_0^2 - 7x_0 + 8 - 2x_0 + 2x_0^2 - 7 + 7x_0$

$1 = x_0^2 - 2x_0 + 1$

$x_0^2 - 2x_0 = 0$

$x_0(x_0 - 2) = 0$

Получили два значения для абсциссы точки касания: $x_{0_1} = 0$ и $x_{0_2} = 2$. Это означает, что через точку $B(1; 1)$ можно провести две касательные к графику функции.

1. Найдем уравнение первой касательной (при $x_0 = 0$):

Находим $f(0)$ и $f'(0)$:

$f(0) = -(0)^2 - 7(0) + 8 = 8$

$f'(0) = -2(0) - 7 = -7$

Уравнение касательной: $y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 8 - 7x$.

2. Найдем уравнение второй касательной (при $x_0 = 2$):

Находим $f(2)$ и $f'(2)$:

$f(2) = -(2)^2 - 7(2) + 8 = -4 - 14 + 8 = -10$

$f'(2) = -2(2) - 7 = -4 - 7 = -11$

Уравнение касательной: $y = f(2) + f'(2)(x - 2) = -10 - 11(x - 2) = -10 - 11x + 22 = -11x + 12$.

Ответ: $y = -7x + 8$ и $y = -11x + 12$.

б) Дана функция $f(x) = -x^2 - 7x + 8$ и точка $B(0; 9)$.

Проверим, лежит ли точка $B$ на графике функции:

$f(0) = -(0)^2 - 7(0) + 8 = 8$.

Поскольку $f(0) = 8 \neq 9$, точка $B(0; 9)$ не лежит на графике функции.

Используем общее уравнение касательной в точке $A(x_0, f(x_0))$, как и в предыдущем пункте:

$y = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(x - x_0)$.

Касательная проходит через точку $B(0; 9)$. Подставим $x = 0$ и $y = 9$ в уравнение, чтобы найти $x_0$:

$9 = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(0 - x_0)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$9 = -x_0^2 - 7x_0 + 8 + 2x_0^2 + 7x_0$

$9 = x_0^2 + 8$

$x_0^2 = 1$

Получили два значения для абсциссы точки касания: $x_{0_1} = 1$ и $x_{0_2} = -1$. Снова получаем две касательные.

1. Найдем уравнение первой касательной (при $x_0 = 1$):

Находим $f(1)$ и $f'(1)$:

$f(1) = -(1)^2 - 7(1) + 8 = -1 - 7 + 8 = 0$

$f'(1) = -2(1) - 7 = -9$

Уравнение касательной: $y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 0 - 9(x - 1) = -9x + 9$.

2. Найдем уравнение второй касательной (при $x_0 = -1$):

Находим $f(-1)$ и $f'(-1)$:

$f(-1) = -(-1)^2 - 7(-1) + 8 = -1 + 7 + 8 = 14$

$f'(-1) = -2(-1) - 7 = 2 - 7 = -5$

Уравнение касательной: $y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1)) = 14 - 5(x + 1) = 14 - 5x - 5 = -5x + 9$.

Ответ: $y = -9x + 9$ и $y = -5x + 9$.

29.26 Составьте уравнение параболы $y = x^2 + bx + c$, касающейся прямой $y = x - 1$ в точке $(2; 1)$.

Для того чтобы найти уравнение параболы $y = x^2 + bx + c$, нам нужно определить значения коэффициентов $b$ и $c$. Для этого мы используем два условия, данных в задаче.

1. Условие принадлежности точки касания параболе.

Парабола касается прямой в точке $(2; 1)$, следовательно, эта точка принадлежит параболе. Подставим координаты этой точки $(x=2, y=1)$ в уравнение параболы:

$1 = 2^2 + b \cdot 2 + c$

$1 = 4 + 2b + c$

Отсюда получаем первое уравнение для $b$ и $c$:

$2b + c = 1 - 4$

$2b + c = -3$ (1)

2. Условие равенства угловых коэффициентов в точке касания.

В точке касания угловой коэффициент касательной к параболе равен угловому коэффициенту самой прямой.

Угловой коэффициент прямой $y = x - 1$ равен 1 (коэффициент при $x$).

Угловой коэффициент касательной к параболе в любой точке $x$ находится с помощью производной функции $y(x) = x^2 + bx + c$.

Найдем производную:

$y'(x) = (x^2 + bx + c)' = 2x + b$

В точке касания $x=2$, значение производной (угловой коэффициент) должно быть равно 1:

$y'(2) = 2 \cdot 2 + b = 4 + b$

Приравниваем угловые коэффициенты:

$4 + b = 1$

Отсюда находим значение $b$:

$b = 1 - 4 = -3$

3. Нахождение коэффициента c и составление итогового уравнения.

Теперь, когда мы знаем значение $b$, подставим его в уравнение (1), полученное на первом шаге:

$2(-3) + c = -3$

$-6 + c = -3$

$c = -3 + 6 = 3$

Мы нашли оба коэффициента: $b=-3$ и $c=3$.

Подставляем их в исходное уравнение параболы $y = x^2 + bx + c$:

$y = x^2 - 3x + 3$

Ответ: $y = x^2 - 3x + 3$.

29.30 a) $f(x) = \sqrt{3-x}$, $B(-2; 3)$;

б) $f(x) = \sqrt{3-x}$, $B(4; 0)$.

а) Чтобы проверить, принадлежит ли точка $B(-2; 3)$ графику функции $f(x) = \sqrt{3 - x}$, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение функции. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику.

Координаты точки $B$: $x = -2$, $y = 3$.

Подставляем значение $x = -2$ в функцию:

$f(-2) = \sqrt{3 - (-2)} = \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5}$.

Теперь сравним полученное значение $f(-2)$ с y-координатой точки $B$.

Мы получили, что при $x = -2$ значение функции равно $\sqrt{5}$. Y-координата точки $B$ равна $3$.

Поскольку $\sqrt{5} \neq 3$ (так как $5 \neq 3^2 = 9$), точка $B(-2; 3)$ не лежит на графике функции $f(x) = \sqrt{3 - x}$.

Ответ: не принадлежит.

б) Чтобы проверить, принадлежит ли точка $B(4; 0)$ графику функции $f(x) = \sqrt{3 - x}$, необходимо выполнить ту же процедуру, что и в пункте а).

Координаты точки $B$: $x = 4$, $y = 0$.

Прежде всего, найдем область определения функции $f(x) = \sqrt{3 - x}$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$3 - x \ge 0$

$x \le 3$

Область определения функции — это интервал $(-\infty; 3]$.

Абсцисса (координата $x$) точки $B$ равна $4$. Так как $4$ не входит в область определения функции ($4 > 3$), значение функции $f(4)$ не определено в множестве действительных чисел. При попытке подстановки мы получим корень из отрицательного числа: $f(4) = \sqrt{3 - 4} = \sqrt{-1}$.

Следовательно, точка $B(4; 0)$ не может принадлежать графику данной функции.

Ответ: не принадлежит.