Страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

28.51 a) $f'(x) = \sin \left(3x - \frac{\pi}{3}\right)$;

б) $f'(x) = \frac{4}{\cos^2 (5x - 1)}$.

а) Задача состоит в том, чтобы найти функцию $f(x)$, зная её производную $f'(x)$. Это обратная операция к дифференцированию, которая называется интегрированием. Мы должны найти первообразную для данной функции.

Дано: $f'(x) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Находим $f(x)$ путем вычисления неопределенного интеграла:

$f(x) = \int \sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) dx$

Для вычисления этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть $u = 3x - \frac{\pi}{3}$. Тогда дифференциал $du$ равен $d(3x - \frac{\pi}{3}) = 3 dx$, откуда $dx = \frac{1}{3}du$.

Подставляем новые переменные в интеграл:

$\int \sin(u) \cdot \frac{1}{3}du = \frac{1}{3} \int \sin(u) du$

Интеграл от синуса — это минус косинус:

$\frac{1}{3} (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{3}\cos(u) + C$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $u$ выражение $3x - \frac{\pi}{3}$:

$f(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования, так как производная от константы равна нулю.

Ответ: $f(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) + C$.

б) Аналогично предыдущему пункту, найдем первообразную для функции $f'(x) = \frac{4}{\cos^2(5x-1)}$.

Находим $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int \frac{4}{\cos^2(5x-1)} dx$

Вынесем константу 4 за знак интеграла:

$f(x) = 4 \int \frac{1}{\cos^2(5x-1)} dx$

Снова используем метод замены переменной. Пусть $u = 5x-1$. Тогда $du = d(5x-1) = 5 dx$, и $dx = \frac{1}{5}du$.

Подставляем в интеграл:

$4 \int \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot \frac{1}{5}du = \frac{4}{5} \int \frac{1}{\cos^2(u)} du$

Известно, что первообразная для $\frac{1}{\cos^2(u)}$ — это $\tan(u)$:

$\frac{4}{5} \tan(u) + C$

Проводим обратную замену $u = 5x-1$:

$f(x) = \frac{4}{5}\tan(5x-1) + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $f(x) = \frac{4}{5}\tan(5x-1) + C$.

28.52 a) При каких значениях параметра $a$ касательные к графику функции $y = 4x^2 - |a|x$, проведённые в точках его пересечения с осью $x$, образуют между собой угол $60^\circ$?

б) При каких значениях параметра $a$ касательные к графику функции $y = x^2 + |a|x$, проведённые в точках его пересечения с осью $x$, образуют между собой угол $45^\circ$?

а)

Рассмотрим функцию $y = 4x^2 - |a|x$.

1. Найдем точки пересечения графика функции с осью $x$, решив уравнение $y = 0$:

$4x^2 - |a|x = 0$

$x(4x - |a|) = 0$

Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{|a|}{4}$. Для того чтобы было две различные точки, необходимо, чтобы $a \neq 0$.

2. Найдем производную функции для определения угловых коэффициентов касательных:

$y'(x) = (4x^2 - |a|x)' = 8x - |a|$

3. Вычислим угловые коэффициенты касательных $k_1$ и $k_2$ в точках пересечения:

В точке $x_1 = 0$: $k_1 = y'(0) = 8 \cdot 0 - |a| = -|a|$.

В точке $x_2 = \frac{|a|}{4}$: $k_2 = y'(\frac{|a|}{4}) = 8 \cdot \frac{|a|}{4} - |a| = 2|a| - |a| = |a|$.

4. Угол $\varphi$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ определяется по формуле:

$\tan \varphi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

По условию, угол $\varphi = 60^\circ$, следовательно, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$. Подставляем значения $k_1$ и $k_2$:

$\sqrt{3} = \left| \frac{|a| - (-|a|)}{1 + (-|a|)(|a|)} \right| = \left| \frac{2|a|}{1 - |a|^2} \right|$

Пусть $z = |a|$, где $z > 0$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3} = \frac{2z}{|1 - z^2|}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $0 < z < 1$. Тогда $|1 - z^2| = 1 - z^2$.

$\sqrt{3} = \frac{2z}{1 - z^2}$

$\sqrt{3}(1 - z^2) = 2z$

$\sqrt{3}z^2 + 2z - \sqrt{3} = 0$

Решая квадратное уравнение, получаем $z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$.

Так как $z > 0$, выбираем корень $z = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 < z < 1$.

Случай 2: $z > 1$. Тогда $|1 - z^2| = z^2 - 1$.

$\sqrt{3} = \frac{2z}{z^2 - 1}$

$\sqrt{3}(z^2 - 1) = 2z$

$\sqrt{3}z^2 - 2z - \sqrt{3} = 0$

Решая квадратное уравнение, получаем $z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$.

Так как $z > 0$, выбираем корень $z = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Этот корень удовлетворяет условию $z > 1$.

Итак, мы получили два значения для $|a|$: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\sqrt{3}$.

Следовательно, $a = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $a = \pm \sqrt{3}$.

Ответ: $a = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}; a = \pm \sqrt{3}$.

б)

Рассмотрим функцию $y = x^2 + |a|x$.

1. Найдем точки пересечения графика функции с осью $x$, решив уравнение $y = 0$:

$x^2 + |a|x = 0$

$x(x + |a|) = 0$

Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -|a|$. Для того чтобы было две различные точки, необходимо, чтобы $a \neq 0$.

2. Найдем производную функции:

$y'(x) = (x^2 + |a|x)' = 2x + |a|$

3. Вычислим угловые коэффициенты касательных $k_1$ и $k_2$ в точках пересечения:

В точке $x_1 = 0$: $k_1 = y'(0) = 2 \cdot 0 + |a| = |a|$.

В точке $x_2 = -|a|$: $k_2 = y'(-|a|) = 2(-|a|) + |a| = -2|a| + |a| = -|a|$.

4. Угол $\varphi$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ определяется по формуле:

$\tan \varphi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

По условию, угол $\varphi = 45^\circ$, следовательно, $\tan 45^\circ = 1$. Подставляем значения $k_1$ и $k_2$:

$1 = \left| \frac{-|a| - |a|}{1 + (|a|)(-|a|)} \right| = \left| \frac{-2|a|}{1 - |a|^2} \right| = \frac{2|a|}{|1 - |a|^2|}$

Пусть $z = |a|$, где $z > 0$. Уравнение принимает вид:

$1 = \frac{2z}{|1 - z^2|}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $0 < z < 1$. Тогда $|1 - z^2| = 1 - z^2$.

$1 = \frac{2z}{1 - z^2}$

$1 - z^2 = 2z$

$z^2 + 2z - 1 = 0$

Решая квадратное уравнение, получаем $z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

Так как $z > 0$, выбираем корень $z = \sqrt{2} - 1$. Этот корень удовлетворяет условию $0 < z < 1$.

Случай 2: $z > 1$. Тогда $|1 - z^2| = z^2 - 1$.

$1 = \frac{2z}{z^2 - 1}$

$z^2 - 1 = 2z$

$z^2 - 2z - 1 = 0$

Решая квадратное уравнение, получаем $z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Так как $z > 0$, выбираем корень $z = 1 + \sqrt{2}$. Этот корень удовлетворяет условию $z > 1$.

Итак, мы получили два значения для $|a|$: $\sqrt{2} - 1$ и $1 + \sqrt{2}$.

Следовательно, $a = \pm (\sqrt{2} - 1)$ и $a = \pm (1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $a = \pm (\sqrt{2} - 1); a = \pm (1 + \sqrt{2})$.

28.50 а) $f'(x) = -\frac{2}{(2x+3)^2}$;

б) $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$.

a)

Задача состоит в нахождении первообразной функции $f(x)$, если известна ее производная $f'(x) = -\frac{2}{(2x+3)^2}$. Для этого необходимо найти неопределенный интеграл от $f'(x)$, так как первообразная — это функция, производная которой равна данной функции.

$f(x) = \int f'(x) dx = \int \left(-\frac{2}{(2x+3)^2}\right) dx = -2 \int \frac{dx}{(2x+3)^2}$.

Для вычисления интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 2x+3$. Тогда найдем дифференциал $dt = (2x+3)' dx = 2 dx$, откуда следует, что $dx = \frac{dt}{2}$.

Подставим новую переменную и ее дифференциал в интеграл:

$-2 \int \frac{dx}{(2x+3)^2} = -2 \int \frac{dt/2}{t^2} = -2 \cdot \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t^2} = -\int t^{-2} dt$.

Используем формулу для интеграла степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $n=-2$.

$-\int t^{-2} dt = - \left(\frac{t^{-2+1}}{-2+1}\right) + C = - \left(\frac{t^{-1}}{-1}\right) + C = t^{-1} + C = \frac{1}{t} + C$.

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ исходное выражение $2x+3$:

$f(x) = \frac{1}{2x+3} + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Для проверки можно продифференцировать полученный результат:

$f'(x) = \left(\frac{1}{2x+3} + C\right)' = ((2x+3)^{-1})' = -1 \cdot (2x+3)^{-2} \cdot (2x+3)' = - (2x+3)^{-2} \cdot 2 = -\frac{2}{(2x+3)^2}$.

Полученная производная совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{2x+3} + C$.

б)

Задача состоит в нахождении первообразной функции $f(x)$ по ее производной $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$. Для этого найдем неопределенный интеграл от $f'(x)$.

$f(x) = \int f'(x) dx = \int \frac{5}{2\sqrt{5x-7}} dx = \frac{5}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{5x-7}}$.

Для вычисления интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 5x-7$. Тогда дифференциал $dt = (5x-7)' dx = 5 dx$, откуда $dx = \frac{dt}{5}$.

Подставим новую переменную и ее дифференциал в интеграл:

$\frac{5}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{5x-7}} = \frac{5}{2} \int \frac{dt/5}{\sqrt{t}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt$.

Используем формулу для интеграла степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $n=-1/2$.

$\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = t^{1/2} + C = \sqrt{t} + C$.

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ исходное выражение $5x-7$:

$f(x) = \sqrt{5x-7} + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Для проверки можно продифференцировать полученный результат:

$f'(x) = (\sqrt{5x-7} + C)' = ((5x-7)^{1/2})' = \frac{1}{2} (5x-7)^{-1/2} \cdot (5x-7)' = \frac{1}{2} (5x-7)^{-1/2} \cdot 5 = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$.

Полученная производная совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(x) = \sqrt{5x-7} + C$.

29.1 Определите знак углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$, изображённому на заданном рисунке, в точках с абсциссами $a, b, c$:

а) рис. 41;

б) рис. 42.

Угловой коэффициент ($k$) касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$. Знак углового коэффициента определяется по поведению функции:
• Если функция возрастает (график идёт вверх при движении слева направо), касательная образует острый угол с положительным направлением оси $x$, и её угловой коэффициент положителен ($k > 0$).
• Если функция убывает (график идёт вниз), касательная образует тупой угол с положительным направлением оси $x$, и её угловой коэффициент отрицателен ($k < 0$).
• В точках экстремума (локальных минимумов и максимумов) касательная горизонтальна, и её угловой коэффициент равен нулю ($k = 0$).

а) рис. 41

Проанализируем график функции на рисунке 41:
- В точке с абсциссой a находится локальный минимум функции. Касательная в этой точке горизонтальна, следовательно, её угловой коэффициент $k_a$ равен нулю.
- В точке с абсциссой b функция убывает, так как её график на этом участке направлен вниз. Следовательно, угловой коэффициент касательной $k_b$ в этой точке отрицателен.
- В точке с абсциссой c функция возрастает, так как её график на этом участке направлен вверх. Следовательно, угловой коэффициент касательной $k_c$ в этой точке положителен.

Ответ: в точке a угловой коэффициент равен нулю ($k_a = 0$); в точке b — отрицательный ($k_b < 0$); в точке c — положительный ($k_c > 0$).

б) рис. 42

Проанализируем график функции на рисунке 42:
- В точке с абсциссой a находится локальный минимум функции. Касательная в этой точке горизонтальна, поэтому её угловой коэффициент $k_a$ равен нулю.
- В точке с абсциссой b функция возрастает, так как её график на этом участке направлен вверх. Следовательно, угловой коэффициент касательной $k_b$ в этой точке положителен.
- В точке с абсциссой c находится локальный минимум функции. Касательная в этой точке также горизонтальна, поэтому её угловой коэффициент $k_c$ равен нулю.

Ответ: в точке a угловой коэффициент равен нулю ($k_a = 0$); в точке b — положительный ($k_b > 0$); в точке c — равен нулю ($k_c = 0$).

29.2 Укажите точки, в которых производная равна нулю, и точки, в которых производная не существует, если график функции изображён на заданном рисунке:

а) рис. 43;

б) рис. 44;

в) рис. 45;

г) рис. 46.

$y$, $x$, $O$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3,5$
Рис. 43

$y$, $x$, $O$, $-1,5$, $-5$, $-4$, $-3$, $4$
Рис. 44

$y$, $x$, $O$, $-6$, $-4$, $-2$, $2$
Рис. 45

$y$, $x$, $O$, $-4$, $-2$, $3$, $5$
Рис. 46

Для решения задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

• Производная равна нулю в точках, где касательная к графику горизонтальна (параллельна оси абсцисс). Обычно это точки локальных максимумов и минимумов функции.
• Производная не существует в точках, где график имеет "излом" (острый угол, пик) или где касательная к графику вертикальна.

На данном графике касательная будет горизонтальна в точках экстремумов: в точке локального минимума с абсциссой $x=0$ и в точке локального максимума с абсциссой $x=2$. В этих точках производная равна нулю.
График имеет точки излома (острые пики), в которых производная не существует. Это точки с абсциссами $x=-1$ и $x=3.5$.

Ответ: Производная равна нулю в точках с абсциссами $x=0$ и $x=2$; производная не существует в точках с абсциссами $x=-1$ и $x=3.5$.

Касательная к графику горизонтальна в точке локального максимума $x=-4$ и в точке локального минимума $x=-1.5$. В этих точках производная равна нулю.
График имеет излом в точке с абсциссой $x=4$. В этой точке сходятся два участка с разными наклонами, поэтому производная в ней не существует.

Ответ: Производная равна нулю в точках с абсциссами $x=-4$ и $x=-1.5$; производная не существует в точке с абсциссой $x=4$.

Горизонтальная касательная к графику наблюдается в точке локального минимума с абсциссой $x=-4$. В этой точке производная равна нулю.
В точке с абсциссой $x=-2$ гладкая кривая переходит в прямолинейный участок, образуя излом. В этой точке производная не существует.

Ответ: Производная равна нулю в точке с абсциссой $x=-4$; производная не существует в точке с абсциссой $x=-2$.

Рассмотрим S-образную кривую. Данная функция является возрастающей на всей области определения, у нее нет точек локальных экстремумов, поэтому на графике нет точек, в которых касательная была бы горизонтальна. Следовательно, точек, в которых производная равна нулю, нет.
В точках с абсциссами $x=-4$ и $x=5$ касательные к графику становятся вертикальными. Тангенс угла наклона вертикальной прямой не определён, поэтому производная в этих точках не существует.

Ответ: Точек, в которых производная равна нулю, нет; производная не существует в точках с абсциссами $x=-4$ и $x=5$.