Страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

26.31 По графикам функций, представленных на рисунках 32 и 33, найдите приращение аргумента и приращение функции при переходе от точки $x_0$ к точке $x_1$:

Рис. 32

Рис. 33

Приращение аргумента ($\Delta x$) — это разность между конечным и начальным значениями аргумента. Оно вычисляется по формуле: $\Delta x = x_1 - x_0$.

Приращение функции ($\Delta y$) — это разность между конечным и начальным значениями функции, соответствующими данным значениям аргумента. Оно вычисляется по формуле: $\Delta y = y_1 - y_0 = f(x_1) - f(x_0)$.

Рис. 32

По графику, представленному на рисунке 32, определим значения аргумента и функции в точках $x_0$ и $x_1$. Масштаб координатной сетки — 1 клетка равна 1 единице по обеим осям.

Начальная точка: абсцисса $x_0 = 2$. Соответствующее значение функции (ордината): $y_0 = f(x_0) = 1,4$.

Конечная точка: абсцисса $x_1 = 4$. Соответствующее значение функции (ордината): $y_1 = f(x_1) = 2$.

Теперь вычислим приращение аргумента:

$\Delta x = x_1 - x_0 = 4 - 2 = 2$.

Далее вычислим приращение функции:

$\Delta y = y_1 - y_0 = 2 - 1,4 = 0,6$.

Ответ: приращение аргумента $\Delta x = 2$, приращение функции $\Delta y = 0,6$.

Рис. 33

По графику, представленному на рисунке 33, определим значения аргумента и функции в точках $x_0$ и $x_1$. Масштаб координатной сетки — 1 клетка равна 1 единице по обеим осям.

Начальная точка: абсцисса $x_0 = -3$. Соответствующее значение функции (ордината): $y_0 = f(x_0) = 6$.

Конечная точка: абсцисса $x_1 = -1$. Соответствующее значение функции (ордината): $y_1 = f(x_1) = 1$.

Теперь вычислим приращение аргумента:

$\Delta x = x_1 - x_0 = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$.

Далее вычислим приращение функции:

$\Delta y = y_1 - y_0 = 1 - 6 = -5$.

Ответ: приращение аргумента $\Delta x = 2$, приращение функции $\Delta y = -5$.

26.32 Найдите приращение функции $y = f(x)$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

а) $f(x) = 3x + 5$;

б) $f(x) = -x^2$;

в) $f(x) = 4 - 2x$;

г) $f(x) = 2x^2$.

Приращение функции $y = f(x)$, обозначаемое как $\Delta y$, при переходе аргумента от точки $x$ к точке $x + \Delta x$ вычисляется по формуле:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$

Применим эту формулу для каждой из заданных функций.

а) Дана функция $f(x) = 3x + 5$.

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x) + 5 = 3x + 3\Delta x + 5$.

2. Вычислим приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (3x + 3\Delta x + 5) - (3x + 5) = 3x + 3\Delta x + 5 - 3x - 5 = 3\Delta x$.

Ответ: $3\Delta x$.

б) Дана функция $f(x) = -x^2$.

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = -(x + \Delta x)^2 = -(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = -x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2$.

2. Вычислим приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (-x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2) - (-x^2) = -x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2 + x^2 = -2x\Delta x - (\Delta x)^2$.

Ответ: $-2x\Delta x - (\Delta x)^2$.

в) Дана функция $f(x) = 4 - 2x$.

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = 4 - 2(x + \Delta x) = 4 - 2x - 2\Delta x$.

2. Вычислим приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (4 - 2x - 2\Delta x) - (4 - 2x) = 4 - 2x - 2\Delta x - 4 + 2x = -2\Delta x$.

Ответ: $-2\Delta x$.

г) Дана функция $f(x) = 2x^2$.

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = 2(x + \Delta x)^2 = 2(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = 2x^2 + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

2. Вычислим приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (2x^2 + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2) - (2x^2) = 2x^2 + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2 - 2x^2 = 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

Ответ: $4x\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

26.33 Для функции $y = f(x)$ найдите $\Delta f$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

а) $f(x) = ax^2$;

б) $f(x) = \frac{1}{x}$.

Приращение функции $\Delta f$ (или $\Delta y$) по определению — это разность между значением функции в новой точке $x + \Delta x$ и её значением в первоначальной точке $x$. Формула для нахождения приращения функции выглядит так:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$.

Найдем приращение для каждой из указанных функций.

а)

Для функции $f(x) = ax^2$.

1. Находим значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = a(x + \Delta x)^2$.

2. Подставляем $f(x + \Delta x)$ и $f(x)$ в формулу приращения:

$\Delta f = a(x + \Delta x)^2 - ax^2$.

3. Раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$\Delta f = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - ax^2$.

4. Умножаем выражение в скобках на $a$:

$\Delta f = ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 - ax^2$.

5. Упрощаем выражение, сокращая $ax^2$ и $-ax^2$:

$\Delta f = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$.

6. Можно вынести общий множитель $a\Delta x$ за скобки для более компактного вида:

$\Delta f = a\Delta x(2x + \Delta x)$.

Ответ: $\Delta f = a\Delta x(2x + \Delta x)$.

б)

Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$.

1. Находим значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = \frac{1}{x + \Delta x}$.

2. Подставляем $f(x + \Delta x)$ и $f(x)$ в формулу приращения:

$\Delta f = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x}$.

3. Приводим дроби к общему знаменателю $x(x + \Delta x)$:

$\Delta f = \frac{x}{x(x + \Delta x)} - \frac{x + \Delta x}{x(x + \Delta x)}$.

4. Выполняем вычитание дробей:

$\Delta f = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)}$.

5. Раскрываем скобки в числителе и упрощаем:

$\Delta f = \frac{x - x - \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$.

Ответ: $\Delta f = -\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)}$.

27.2 Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s(t) = t^2$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента:

а) $t_2 = 0,1$ с;

б) $t_2 = 0,01$ с;

в) $t_2 = 0,2$ с;

г) $t_2 = 0,02$ с.

Для нахождения средней скорости движения точки на заданном промежутке времени используется формула: $v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$, где $\Delta s$ — изменение положения точки, а $\Delta t$ — промежуток времени.

По условию задачи закон движения задан формулой $s(t) = t^2$. Начальный момент времени $t_1 = 0$ с. Найдем положение точки в начальный момент времени: $s(t_1) = s(0) = 0^2 = 0$ м.

Теперь подставим известные данные в общую формулу для средней скорости, чтобы получить расчетную формулу для данной задачи: $v_{ср} = \frac{s(t_2) - s(0)}{t_2 - 0} = \frac{t_2^2 - 0}{t_2} = \frac{t_2^2}{t_2} = t_2$

Таким образом, для каждого случая средняя скорость на промежутке от $0$ до $t_2$ будет численно равна значению $t_2$.

а) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,1$ с.
$v_{ср} = t_2 = 0,1$ м/с.
Ответ: 0,1 м/с.

б) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,01$ с.
$v_{ср} = t_2 = 0,01$ м/с.
Ответ: 0,01 м/с.

в) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,2$ с.
$v_{ср} = t_2 = 0,2$ м/с.
Ответ: 0,2 м/с.

г) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,02$ с.
$v_{ср} = t_2 = 0,02$ м/с.
Ответ: 0,02 м/с.

27.1 Закон движения точки по прямой задается формулой $s(t) = 2t + 1$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 2$ с до момента:

a) $t_2 = 3$ с;

б) $t_2 = 2,5$ с;

в) $t_2 = 2,1$ с;

г) $t_2 = 2,05$ с.

Средняя скорость движения точки ($v_{ср}$) на интервале времени от $t_1$ до $t_2$ определяется как отношение изменения положения ($\Delta s$) к изменению времени ($\Delta t$). Формула для вычисления средней скорости:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

Закон движения точки задан формулой $s(t) = 2t + 1$. Начальный момент времени $t_1 = 2$ с. Вычислим положение точки в этот момент:

$s(t_1) = s(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ м.

Теперь последовательно найдем среднюю скорость для каждого из указанных промежутков.

а) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 2$ с до момента $t_2 = 3$ с.

1. Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 3$ с:$s(t_2) = s(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ м.
2. Найдем изменение положения $\Delta s$ и времени $\Delta t$:$\Delta s = s(3) - s(2) = 7 - 5 = 2$ м.$\Delta t = 3 - 2 = 1$ с.
3. Вычислим среднюю скорость:$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{2}{1} = 2$ м/с.
Ответ: 2 м/с.

б) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 2$ с до момента $t_2 = 2,5$ с.

1. Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 2,5$ с:$s(t_2) = s(2,5) = 2 \cdot 2,5 + 1 = 5 + 1 = 6$ м.
2. Найдем изменение положения $\Delta s$ и времени $\Delta t$:$\Delta s = s(2,5) - s(2) = 6 - 5 = 1$ м.$\Delta t = 2,5 - 2 = 0,5$ с.
3. Вычислим среднюю скорость:$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{1}{0,5} = 2$ м/с.
Ответ: 2 м/с.

в) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 2$ с до момента $t_2 = 2,1$ с.

1. Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 2,1$ с:$s(t_2) = s(2,1) = 2 \cdot 2,1 + 1 = 4,2 + 1 = 5,2$ м.
2. Найдем изменение положения $\Delta s$ и времени $\Delta t$:$\Delta s = s(2,1) - s(2) = 5,2 - 5 = 0,2$ м.$\Delta t = 2,1 - 2 = 0,1$ с.
3. Вычислим среднюю скорость:$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0,2}{0,1} = 2$ м/с.
Ответ: 2 м/с.

г) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 2$ с до момента $t_2 = 2,05$ с.

1. Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 2,05$ с:$s(t_2) = s(2,05) = 2 \cdot 2,05 + 1 = 4,1 + 1 = 5,1$ м.
2. Найдем изменение положения $\Delta s$ и времени $\Delta t$:$\Delta s = s(2,05) - s(2) = 5,1 - 5 = 0,1$ м.$\Delta t = 2,05 - 2 = 0,05$ с.
3. Вычислим среднюю скорость:$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0,1}{0,05} = 2$ м/с.
Ответ: 2 м/с.

Можно заметить, что во всех случаях средняя скорость одинакова. Это связано с тем, что закон движения $s(t) = 2t + 1$ описывает равномерное прямолинейное движение (является линейной функцией). При таком движении скорость постоянна. Мгновенная скорость $v(t)$, равная производной функции положения по времени, составляет $v(t) = s'(t) = (2t+1)' = 2$ м/с. Для равномерного движения средняя скорость на любом промежутке времени равна мгновенной скорости.

3. Что вы можете сказать о чётности или нечётности функций $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \operatorname{tg} x$, $y = \operatorname{ctg} x$?

Для исследования функции $y=f(x)$ на чётность или нечётность необходимо выполнить два шага:

1. Убедиться, что область определения функции симметрична относительно точки $x=0$. То есть, если точка $x$ принадлежит области определения, то и точка $-x$ также должна ей принадлежать.
2. Найти значение функции от аргумента $-x$, то есть $f(-x)$, и сравнить его с $f(x)$.
   • Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция является чётной.
   • Если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция является нечётной.
   • Если ни одно из этих равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

Проанализируем каждую из заданных функций.

$y = \sin x$

Пусть $f(x) = \sin x$. Область определения этой функции — множество всех действительных чисел $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которое симметрично относительно нуля. Найдём значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \sin(-x)$. Известно свойство синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$. Следовательно, $f(-x) = -\sin x = -f(x)$. Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция $y = \sin x$ нечётная.

$y = \cos x$

Пусть $f(x) = \cos x$. Область определения этой функции — множество всех действительных чисел $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которое симметрично относительно нуля. Найдём значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \cos(-x)$. Известно свойство косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$. Следовательно, $f(-x) = \cos x = f(x)$. Поскольку выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: функция $y = \cos x$ чётная.

$y = \operatorname{tg} x$

Пусть $f(x) = \operatorname{tg} x$. Область определения тангенса: все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдём значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \operatorname{tg}(-x)$. Используя определение тангенса и свойства синуса и косинуса, получаем: $f(-x) = \operatorname{tg}(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x = -f(x)$. Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция $y = \operatorname{tg} x$ нечётная.

$y = \operatorname{ctg} x$

Пусть $f(x) = \operatorname{ctg} x$. Область определения котангенса: все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдём значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \operatorname{ctg}(-x)$. Используя определение котангенса и свойства синуса и косинуса, получаем: $f(-x) = \operatorname{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\operatorname{ctg} x = -f(x)$. Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция $y = \operatorname{ctg} x$ нечётная.

$y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \text{tg }x$, $y = \text{ctg }x$, ...

4. Назовите вертикальные асимптоты главной ветви графика функции

$y = \text{tg }x$.

Вертикальные асимптоты графика функции — это вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции при приближении аргумента $x$ к некоторой точке, в которой функция не определена и стремится к бесконечности.

Функция тангенса определяется как отношение синуса к косинусу:

$y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Функция не определена в тех точках, где знаменатель обращается в нуль, то есть где $\cos x = 0$. Решением этого уравнения является множество точек:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Эти прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции $y = \tg x$.

«Главной ветвью» графика функции $y = \tg x$ принято называть ту его часть, которая расположена на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Этот интервал как раз ограничен двумя ближайшими к началу координат асимптотами.

Найдем эти асимптоты, подставляя в общую формулу значения $k$:

• При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi(-1) = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$
• При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi(0) = \frac{\pi}{2}$

Следовательно, вертикальными асимптотами главной ветви графика функции $y = \tg x$ являются прямые $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

5. Назовите вертикальные асимптоты главной ветви графика функции

$y = \cot x$.

Вертикальные асимптоты функции – это вертикальные прямые, к которым график функции неограниченно приближается. Для функции $y = \operatorname{ctg} x$ их можно найти, проанализировав ее область определения.

Функция котангенса определяется как отношение косинуса к синусу: $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Функция не определена в точках, где ее знаменатель обращается в нуль, так как деление на ноль невозможно. В этих точках и находятся вертикальные асимптоты.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, решив уравнение: $\sin x = 0$. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет решения: $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ (то есть $k$ – любое целое число). Таким образом, график функции $y = \operatorname{ctg} x$ имеет бесконечное множество вертикальных асимптот вида $x = k\pi$, например $x=0$, $x=\pi$, $x=2\pi$, $x=-\pi$ и так далее.

Под "главной ветвью" графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ традиционно понимают ее часть, расположенную на интервале $(0, \pi)$. Этот интервал выбирается в качестве области значений для функции арккотангенса, чтобы обеспечить ее однозначность.

Следовательно, для нахождения вертикальных асимптот главной ветви нужно выбрать те асимптоты из общего семейства $x = k\pi$, которые ограничивают интервал $(0, \pi)$. Это асимптоты, которые соответствуют значениям $k=0$ и $k=1$:

• при $k=0$ получаем асимптоту $x = 0$;
• при $k=1$ получаем асимптоту $x = \pi$.

Эти две прямые и являются вертикальными асимптотами главной ветви графика функции.

Ответ: $x=0$ и $x=\pi$.