Страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

26.7 а) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$ и $f(x) > 0$ на $(-\infty; +\infty);$

б) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$ и $f(x) \ge 0$ на $[-7; 3];$

в) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ и $f(x) > 0$ на $[0; +\infty);$

г) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ и $f(x) < 0$ на $(-\infty; +\infty).$

а) Да, такая функция существует. В качестве примера можно рассмотреть функцию $f(x) = \frac{5x^2+1}{x^2+1}$. Проверим для неё выполнение заданных условий.
Во-первых, найдём предел функции при $x \to +\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2+1}{x^2+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(5 + 1/x^2)}{x^2(1 + 1/x^2)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5 + 1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{5+0}{1+0} = 5$.
Первое условие выполнено.
Во-вторых, проверим знак функции. Для любого действительного $x$ выражение $x^2 \ge 0$. Следовательно, числитель $5x^2+1$ всегда строго положителен, так как $5x^2 \ge 0 \implies 5x^2+1 \ge 1$. Аналогично, знаменатель $x^2+1$ всегда строго положителен ($x^2+1 \ge 1$). Частное двух положительных чисел всегда положительно, поэтому $f(x) > 0$ на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$. Второе условие также выполнено.
Ответ: да, существует.

б) Да, такая функция существует. Поскольку условия наложены на поведение функции на разных частях числовой оси (одно при $x \to -\infty$, другое на отрезке $[-7; 3]$), удобно использовать кусочно-заданную функцию. Рассмотрим, например, функцию:
$f(x) = \begin{cases} -3, & \text{если } x < -7 \\ 1, & \text{если } x \ge -7 \end{cases}$
Проверим для неё выполнение условий.
Во-первых, предел при $x \to -\infty$ определяется первой частью задания функции: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (-3) = -3$. Первое условие выполнено.
Во-вторых, для любого $x$ из отрезка $[-7; 3]$ выполняется условие $x \ge -7$. Согласно определению функции, для таких $x$ значение $f(x) = 1$. Так как $1 \ge 0$, второе условие $f(x) \ge 0$ на отрезке $[-7; 3]$ также выполнено.
Ответ: да, существует.

в) Да, такая функция существует. В качестве примера можно привести функцию $f(x) = e^{-x}$. Проверим, выполняются ли для неё заданные условия.
Во-первых, найдём предел функции при $x \to +\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.
Первое условие выполнено.
Во-вторых, показательная функция $e^t$ принимает только положительные значения при любом действительном $t$. Следовательно, $f(x) = e^{-x} > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, и в частности для всех $x \in [0; +\infty)$. Второе условие также выполнено.
Ответ: да, существует.

г) Да, такая функция существует. В качестве примера можно рассмотреть функцию $f(x) = -e^x$. Проверим выполнение условий для этой функции.
Во-первых, найдём предел функции при $x \to -\infty$:
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (-e^x) = -(\lim_{x \to -\infty} e^x) = -0 = 0$.
Первое условие выполнено.
Во-вторых, показательная функция $e^x$ является строго положительной для любого действительного $x$, то есть $e^x > 0$. Следовательно, функция $f(x)=-e^x$ будет строго отрицательной для любого $x \in (-\infty; +\infty)$. Второе условие $f(x) < 0$ также выполнено.
Ответ: да, существует.

26.11 Известно, что $ \lim_{x \to \infty} f(x) = -3 $. Вычислите:

а) $ \lim_{x \to +\infty} 6f(x) $;

б) $ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{3} $;

в) $ \lim_{x \to -\infty} 8f(x) $;

г) $ \lim_{x \to \infty} (0,4f(x)) $.

Все пункты задачи решаются с использованием свойства предела: постоянный множитель можно выносить за знак предела. То есть, $\lim_{x \to a} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)$.

Из условия задачи $\lim_{x \to \infty} f(x) = -3$ следует, что предел функции $f(x)$ равен -3 при стремлении $x$ как к $+\infty$, так и к $-\infty$.

а) Вычислим предел $\lim_{x \to +\infty} 6f(x)$.

Применим свойство вынесения константы ($c=6$) за знак предела:

$\lim_{x \to +\infty} 6f(x) = 6 \cdot \lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Так как $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -3$, получаем:

$6 \cdot (-3) = -18$.

Ответ: -18.

б) Вычислим предел $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{3}$.

Выражение под пределом можно записать как произведение константы $\frac{1}{3}$ на функцию $f(x)$. Вынесем константу за знак предела:

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{3} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{3} \cdot f(x)\right) = \frac{1}{3} \cdot \lim_{x \to \infty} f(x)$.

Подставим значение из условия, $\lim_{x \to \infty} f(x) = -3$:

$\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1$.

Ответ: -1.

в) Вычислим предел $\lim_{x \to -\infty} 8f(x)$.

Выносим константу $c=8$ за знак предела:

$\lim_{x \to -\infty} 8f(x) = 8 \cdot \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Из условия следует, что $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$, тогда:

$8 \cdot (-3) = -24$.

Ответ: -24.

г) Вычислим предел $\lim_{x \to \infty} (0,4f(x))$.

Выносим константу $c=0,4$ за знак предела:

$\lim_{x \to \infty} (0,4f(x)) = 0,4 \cdot \lim_{x \to \infty} f(x)$.

Подставляем известное значение предела $\lim_{x \to \infty} f(x) = -3$:

$0,4 \cdot (-3) = -1,2$.

Ответ: -1,2.

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $y = h(x)$, $x \in \mathbb{R}$, обладающей указанными свойствами:

26.8 а) $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 4$ и функция возрастает;

б) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ и функция убывает;

в) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -2$ и функция возрастает;

г) $\lim_{x \to +\infty} h(x) = -3$ и функция убывает.

а) Требуется построить эскиз графика возрастающей функции $h(x)$, для которой $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 4$.

Условие $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 4$ означает, что прямая $y=4$ является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x$, стремящемся к плюс бесконечности. Поскольку функция возрастает, её значения должны увеличиваться, приближаясь к асимптоте снизу. Это значит, что для любого значения $x$ будет выполняться неравенство $h(x) < 4$.

Примером такой функции может служить $h(x) = 4 - e^{-x}$. Эта функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Её производная $h'(x) = e^{-x}$ всегда положительна, следовательно, функция является возрастающей на всей числовой прямой. Предел функции при $x \to +\infty$ равен $\lim_{x \to +\infty} (4 - e^{-x}) = 4 - 0 = 4$.

Эскиз графика представляет собой кривую, которая монотонно возрастает. При $x \to -\infty$ значения функции стремятся к $-\infty$. С увеличением $x$ график поднимается и при $x \to +\infty$ асимптотически приближается к прямой $y=4$ снизу.

Ответ: График — возрастающая кривая, имеющая горизонтальную асимптоту $y=4$ при $x \to +\infty$, к которой она приближается снизу.

б) Требуется построить эскиз графика убывающей функции $h(x)$, для которой $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$.

Условие $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ означает, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности. Поскольку функция убывает, её значения должны уменьшаться при увеличении $x$. Это значит, что при $x \to -\infty$ функция подходит к своему пределу $5$ сверху. При дальнейшем увеличении $x$ значения функции будут становиться всё меньше. Таким образом, $h(x) < 5$ для всех $x$ неверно, наоборот, функция подходит к асимптоте сверху, но так как она убывает, то при $x \to -\infty$ она подходит к 5 снизу. Примером, $h(x) = 5 - e^x$. Производная $h'(x) = -e^x < 0$, функция убывает. $\lim_{x \to -\infty} (5 - e^x) = 5-0=5$.

Примером такой функции может служить $h(x) = 5 - e^{x}$. Её производная $h'(x) = -e^{x}$ всегда отрицательна, следовательно, функция является убывающей. Предел функции при $x \to -\infty$ равен $\lim_{x \to -\infty} (5 - e^{x}) = 5 - 0 = 5$.

Эскиз графика представляет собой кривую, которая монотонно убывает. При $x \to -\infty$ кривая асимптотически приближается к прямой $y=5$ снизу. С увеличением $x$ значения функции уменьшаются и при $x \to +\infty$ стремятся к $-\infty$.

Ответ: График — убывающая кривая, имеющая горизонтальную асимптоту $y=5$ при $x \to -\infty$, к которой она приближается снизу.

в) Требуется построить эскиз графика возрастающей функции $h(x)$, для которой $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -2$.

Условие $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -2$ означает, что прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. Поскольку функция возрастает, её значения увеличиваются с ростом $x$. Это означает, что при $x \to -\infty$ функция подходит к своему наименьшему значению (пределу), то есть приближается к асимптоте $y=-2$ сверху. Таким образом, $h(x) > -2$ для всех $x$.

Примером такой функции может служить $h(x) = -2 + e^{x}$. Её производная $h'(x) = e^{x}$ всегда положительна, следовательно, функция является возрастающей. Предел функции при $x \to -\infty$ равен $\lim_{x \to -\infty} (-2 + e^{x}) = -2 + 0 = -2$.

Эскиз графика представляет собой кривую, которая монотонно возрастает. При $x \to -\infty$ кривая асимптотически приближается к прямой $y=-2$ сверху. С увеличением $x$ значения функции возрастают и при $x \to +\infty$ стремятся к $+\infty$.

Ответ: График — возрастающая кривая, имеющая горизонтальную асимптоту $y=-2$ при $x \to -\infty$, к которой она приближается сверху.

г) Требуется построить эскиз графика убывающей функции $h(x)$, для которой $\lim_{x \to +\infty} h(x) = -3$.

Условие $\lim_{x \to +\infty} h(x) = -3$ означает, что прямая $y=-3$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$. Поскольку функция убывает, её значения уменьшаются с ростом $x$ и стремятся к своему пределу $-3$. Это означает, что функция приближается к асимптоте $y=-3$ сверху, и для всех $x$ выполняется неравенство $h(x) > -3$.

Примером такой функции может служить $h(x) = -3 + e^{-x}$. Её производная $h'(x) = -e^{-x}$ всегда отрицательна, следовательно, функция является убывающей. Предел функции при $x \to +\infty$ равен $\lim_{x \to +\infty} (-3 + e^{-x}) = -3 + 0 = -3$.

Эскиз графика представляет собой кривую, которая монотонно убывает. При $x \to -\infty$ значения функции стремятся к $+\infty$. С увеличением $x$ график опускается и при $x \to +\infty$ асимптотически приближается к прямой $y=-3$ сверху.

Ответ: График — убывающая кривая, имеющая горизонтальную асимптоту $y=-3$ при $x \to +\infty$, к которой она приближается сверху.

26.9 a) $lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху;

б) $lim_{x \to +\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу;

в) $lim_{x \to \infty} h(x) = -2$ и функция ограничена;

г) $lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена.

а) Да, такая функция существует.

Условие $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ по определению означает, что для любого $\epsilon > 0$ найдется такое число $N$, что для всех $x < N$ будет выполняться неравенство $|h(x) - 1| < \epsilon$, или $1 - \epsilon < h(x) < 1 + \epsilon$. Это значит, что на интервале $(-\infty, N)$ функция $h(x)$ ограничена сверху (например, числом $1+\epsilon$).

Второе условие требует, чтобы функция была ограничена сверху на всей области определения. Это означает, что существует такое число $M$, что $h(x) \le M$ для всех $x$. Эти два условия не противоречат друг другу. Если функция ограничена сверху на всей области определения, то она автоматически будет ограничена и на луче $(-\infty, N)$. Таким образом, необходимо лишь, чтобы функция была ограничена сверху и на оставшейся части области определения, то есть на $[N, +\infty)$.

В качестве примера можно привести функцию $h(x) = 1 - e^x$.

Проверим условия:

1. Предел функции при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} (1 - e^x) = 1 - 0 = 1$.

2. Ограниченность сверху: поскольку показательная функция $e^x$ всегда положительна ($e^x > 0$), то $-e^x < 0$. Следовательно, $h(x) = 1 - e^x < 1$ для всех $x$. Функция ограничена сверху, например, числом 1.

Ответ: Да, такая функция существует, например, $h(x) = 1 - e^x$.

б) Да, такая функция существует.

Рассуждения аналогичны пункту а). Условие $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 1$ означает, что для любого $\epsilon > 0$ найдется такое число $N$, что для всех $x > N$ значения функции $h(x)$ лежат в интервале $(1 - \epsilon, 1 + \epsilon)$. Это означает, что на интервале $(N, +\infty)$ функция ограничена снизу (например, числом $1-\epsilon$).

Второе условие требует, чтобы функция была ограничена снизу на всей области определения, то есть $h(x) \ge m$ для некоторого числа $m$ и для всех $x$. Условия не противоречат друг другу. Существование предела на $+\infty$ не накладывает ограничений на поведение функции на $(-\infty, N]$, где она также должна быть ограничена снизу.

В качестве примера можно привести функцию $h(x) = 1 + \frac{1}{x^2+1}$.

Проверим условия:

1. Предел функции при $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x^2+1}) = 1 + 0 = 1$.

2. Ограниченность снизу: поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$, и, следовательно, дробь $\frac{1}{x^2+1}$ всегда положительна. Таким образом, $h(x) = 1 + \frac{1}{x^2+1} > 1$ для всех $x$. Функция ограничена снизу, например, числом 1.

Ответ: Да, такая функция существует, например, $h(x) = 1 + \frac{1}{x^2+1}$.

в) Да, такая функция существует.

Условие $\lim_{x \to \infty} h(x) = -2$ означает, что пределы функции при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$ существуют и оба равны -2. Функция, имеющая конечные пределы на обеих бесконечностях, является ограниченной (при условии, что она определена и не имеет вертикальных асимптот на конечном промежутке).

Из определения предела следует, что для любого $\epsilon > 0$ существуют такие числа $N_1$ и $N_2$, что для всех $x > N_1$ и для всех $x < N_2$ значения функции $h(x)$ лежат в интервале $(-2 - \epsilon, -2 + \epsilon)$. Это означает, что вне отрезка $[N_2, N_1]$ функция ограничена. Если функция непрерывна на отрезке $[N_2, N_1]$, то по теореме Вейерштрасса она достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений, то есть также является ограниченной. Объединяя эти два факта, получаем, что функция ограничена на всей числовой оси.

В качестве примера можно привести функцию $h(x) = -2 + \frac{2}{x^2+4}$.

Проверим условия:

1. Предел функции при $x \to \infty$: $\lim_{x \to \infty} (-2 + \frac{2}{x^2+4}) = -2 + 0 = -2$.

2. Ограниченность: так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+4 \ge 4$. Отсюда $0 < \frac{2}{x^2+4} \le \frac{2}{4} = 0.5$. Тогда $-2 < h(x) \le -2 + 0.5 = -1.5$. Функция ограничена снизу числом -2 и сверху числом -1.5, следовательно, она ограничена.

Ответ: Да, такая функция существует, например, $h(x) = -2 + \frac{2}{x^2+4}$.

г) Да, такая функция существует.

Задача полностью аналогична предыдущему пункту. Условие $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ означает, что $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 1$ и $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$. Как и в пункте в), наличие конечных пределов на $+\infty$ и $-\infty$ (при условии непрерывности на любом конечном интервале) гарантирует, что функция является ограниченной на всей своей области определения. Первое условие влечет за собой второе.

В качестве примера можно привести функцию $h(x) = \frac{x^2}{x^2+1}$.

Проверим условия:

1. Предел функции при $x \to \infty$: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + 1/x^2} = \frac{1}{1+0} = 1$.

2. Ограниченность: поскольку $x^2 \ge 0$ и $x^2+1 > 0$, то $h(x) \ge 0$. Также $x^2 < x^2+1$, поэтому $\frac{x^2}{x^2+1} < 1$. Таким образом, для всех $x$ выполняется неравенство $0 \le h(x) < 1$. Функция ограничена.

Ответ: Да, такая функция существует, например, $h(x) = \frac{x^2}{x^2+1}$.

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $y=f(x)$, обладающей заданными свойствами:

26.6 a) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0;$

б) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 10$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2;$

в) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1;$

г) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -4.$

Условия $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ означают, что график функции $y=f(x)$ имеет две горизонтальные асимптоты: прямую $y=4$ при $x \to +\infty$ и прямую $y=0$ (ось абсцисс) при $x \to -\infty$.

Для построения эскиза нужно нарисовать кривую, которая при движении влево по оси $x$ будет неограниченно приближаться к прямой $y=0$, а при движении вправо — к прямой $y=4$. Самый простой вариант — это гладкая кривая, которая монотонно возрастает, "переходя" от одной асимптоты к другой.

Примером конкретной функции, обладающей данными свойствами, является $f(x) = \frac{4e^x}{e^x+1}$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая в левой части плоскости (при $x \to -\infty$) приближается к горизонтальной асимптоте $y=0$, а в правой части (при $x \to +\infty$) — к горизонтальной асимптоте $y=4$. В простейшем случае это плавно возрастающая кривая.

Условия $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 10$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$ означают, что график функции $y=f(x)$ имеет две горизонтальные асимптоты: прямую $y=10$ при $x \to +\infty$ и прямую $y=-2$ при $x \to -\infty$.

Эскиз графика должен представлять собой кривую, которая при $x \to -\infty$ приближается к прямой $y=-2$, а при $x \to +\infty$ — к прямой $y=10$. Поскольку значение функции на $+\infty$ (10) больше, чем на $-\infty$ (-2), простейший эскиз будет представлять собой монотонно возрастающую кривую.

Примером такой функции может служить $f(x) = \frac{10e^x - 2}{e^x+1}$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая в левой части плоскости (при $x \to -\infty$) приближается к горизонтальной асимптоте $y=-2$, а в правой части (при $x \to +\infty$) — к горизонтальной асимптоте $y=10$. В простейшем случае это плавно возрастающая кривая.

Условия $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ означают, что график функции $y=f(x)$ имеет две горизонтальные асимптоты: прямую $y=-2$ при $x \to +\infty$ и прямую $y=1$ при $x \to -\infty$.

Эскиз графика должен представлять собой кривую, которая при $x \to -\infty$ приближается к прямой $y=1$, а при $x \to +\infty$ — к прямой $y=-2$. Поскольку значение функции на $+\infty$ (-2) меньше, чем на $-\infty$ (1), простейший эскиз будет представлять собой монотонно убывающую кривую.

Примером такой функции может служить $f(x) = \frac{-2e^x + 1}{e^x+1}$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая в левой части плоскости (при $x \to -\infty$) приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$, а в правой части (при $x \to +\infty$) — к горизонтальной асимптоте $y=-2$. В простейшем случае это плавно убывающая кривая.

Условия $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -4$ означают, что график функции $y=f(x)$ имеет две горизонтальные асимптоты: прямую $y=3$ при $x \to +\infty$ и прямую $y=-4$ при $x \to -\infty$.

Эскиз графика должен представлять собой кривую, которая при $x \to -\infty$ приближается к прямой $y=-4$, а при $x \to +\infty$ — к прямой $y=3$. Поскольку значение функции на $+\infty$ (3) больше, чем на $-\infty$ (-4), простейший эскиз будет представлять собой монотонно возрастающую кривую.

Примером такой функции может служить $f(x) = \frac{3e^x - 4}{e^x+1}$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая в левой части плоскости (при $x \to -\infty$) приближается к горизонтальной асимптоте $y=-4$, а в правой части (при $x \to +\infty$) — к горизонтальной асимптоте $y=3$. В простейшем случае это плавно возрастающая кривая.

26.10 Изобразите график непрерывной на $(-\infty; +\infty)$ функции

$y = f(x)$, обладающей следующими свойствами:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$; $f(x) > 0$ на $(-\infty; 0)$; $E(f) = [-5; 5]$; функция убывает

на $[2; 7]$.

Для построения графика функции $y=f(x)$, отвечающего заданным условиям, необходимо последовательно проанализировать каждое из них и объединить их в едином эскизе.

Анализ заданных свойств функции:

• Функция непрерывна на $(-\infty; +\infty)$: Это означает, что ее график — это сплошная линия без разрывов, скачков или проколов.
• $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$: Прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$. То есть, при движении вправо по оси $x$, график будет неограниченно приближаться к этой оси.
• $f(x) > 0$ на $(-\infty; 0)$: На всем интервале от $-\infty$ до 0 график функции должен находиться выше оси абсцисс. Так как функция непрерывна, это также означает, что в точке $x=0$ значение функции должно быть неотрицательным, то есть $f(0) \ge 0$.
• $E(f) = [-5; 5]$: Область значений функции — отрезок от -5 до 5. Это значит, что самое большое значение, которое принимает функция (глобальный максимум), равно 5, а самое маленькое (глобальный минимум) — равно -5. Эти значения должны достигаться в некоторых точках, так как функция непрерывна.
• Функция убывает на $[2; 7]$: На отрезке от $x=2$ до $x=7$ график функции должен идти вниз (при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается).

Построение эскиза графика:

Основываясь на этих свойствах, построим один из возможных вариантов графика.

1. Начнем с левой части графика (при $x < 0$). Здесь $f(x) > 0$. Глобальный максимум функции равен 5. Этот максимум должен быть достигнут в некоторой точке. Расположим эту точку в левой полуплоскости, например, в $x = -2$. Таким образом, на графике будет точка $(-2, 5)$. Можно предположить, что при $x \to -\infty$ функция асимптотически приближается к оси $x$ ($f(x) \to 0$), затем возрастает до максимума в точке $(-2, 5)$, а после этого убывает, пересекая ось ординат в некоторой точке $(0, y_0)$, где $y_0 \ge 0$. Для конкретики, пусть $f(0) = 1$.
2. Теперь рассмотрим правую часть графика (при $x \ge 0$). Глобальный минимум функции, равный -5, должен быть достигнут при $x \ge 0$, так как при $x<0$ функция положительна.
3. Функция должна убывать на отрезке $[2; 7]$. Это означает, что $f(2) > f(7)$. Это условие не позволяет глобальному минимуму находиться строго внутри интервала $(2; 7)$, так как в точке минимума убывание сменяется возрастанием. Следовательно, точка минимума может быть либо на границе отрезка (например, в $x=7$), либо за его пределами ($x > 7$).
4. Объединим все условия. Пусть от точки $(0, 1)$ функция продолжает убывать. Она проходит через точки с абсциссами $x=2$ и $x=7$, сохраняя тенденцию к убыванию. Чтобы выполнить условие об области значений, пусть глобальный минимум $f(x) = -5$ достигается в точке $x=7$. Таким образом, на графике будет точка $(7, -5)$. При таком построении функция может убывать на всем отрезке $[0; 7]$, что автоматически обеспечивает ее убывание и на вложенном отрезке $[2; 7]$.
5. Наконец, при $x > 7$ функция должна от своего минимума в точке $(7, -5)$ начать возрастать и стремиться к горизонтальной асимптоте $y=0$ снизу, чтобы удовлетворить условию $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$.

Изображение возможного графика функции:

Описание построенного графика:

• График представляет собой единую гладкую кривую, что соответствует непрерывности.
• При $x < 0$ кривая находится выше оси $x$. Она имеет глобальный максимум в точке $(-2, 5)$.
• В точке $x=0$ функция пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$.
• На отрезке $[2, 7]$ (закрашенная оранжевым область) функция монотонно убывает.
• В точке $x=7$ функция достигает своего глобального минимума, равного -5.
• При $x \to +\infty$ график поднимается от своего минимума и асимптотически приближается к оси $x$ снизу, что удовлетворяет условию $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$.
• Наибольшее значение функции равно 5, наименьшее равно -5 (показано зелеными пунктирными линиями), так что область значений $E(f) = [-5, 5]$.

Ответ:

График, удовлетворяющий всем заданным условиям, представлен на эскизе выше. Важно отметить, что это лишь один из бесконечного множества возможных вариантов, так как условия не определяют функцию однозначно. Ключевые черты построенного примера: глобальный максимум $y=5$ достигается при $x<0$ (в точке $x=-2$), глобальный минимум $y=-5$ достигается при $x \ge 0$ (в точке $x=7$), функция убывает на отрезке $[2; 7]$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.

1. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = 2f(x)$, если у вас есть график функции $y = f(x)$.

1. Чтобы построить график функции $y = 2f(x)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование, которое называется вертикальным растяжением графика от оси абсцисс с коэффициентом 2.

Это преобразование означает, что для каждого значения аргумента $x$ значение новой функции будет в два раза больше значения исходной. То есть, если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = f(x)$, то соответствующая ей точка на графике $y = 2f(x)$ будет иметь координаты $(x_0, 2y_0)$.

Таким образом, алгоритм построения заключается в том, чтобы для каждой точки исходного графика сохранить ее абсциссу (координату $x$) и умножить ее ординату (координату $y$) на 2.

Геометрически это означает, что график $y = f(x)$ растягивается в 2 раза вдоль оси ординат ($Oy$). При этом:
• Точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$), где $y=0$, остаются на месте (являются неподвижными точками преобразования), так как $2 \cdot 0 = 0$.
• Все остальные точки графика удаляются от оси $Ox$ в два раза дальше, сохраняя свое положение относительно оси $Oy$. Точки с положительной ординатой перемещаются вверх, а с отрицательной — вниз.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = 2f(x)$, необходимо график функции $y = f(x)$ растянуть в 2 раза от оси абсцисс ($Ox$) вдоль оси ординат ($Oy$). Это достигается путем умножения ординаты каждой точки исходного графика на 2, при этом абсцисса точки не изменяется.

2. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = -0,5f(x)$, если у вас есть график функции $y = f(x)$.

2.

Чтобы построить график функции $y = -0,5f(x)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить два последовательных геометрических преобразования над исходным графиком. Данное преобразование относится к виду $y = k \cdot f(x)$, где коэффициент $k = -0,5$.

Построение можно выполнить в два шага:

1. Сжатие графика вдоль оси ординат (оси OY).
   Рассмотрим преобразование, связанное с модулем коэффициента: $y_1 = |k| \cdot f(x) = 0,5f(x)$. Так как коэффициент $0,5$ находится в интервале $0 < 0,5 < 1$, это соответствует вертикальному сжатию графика к оси абсцисс (оси OX) в 2 раза. Ордината каждой точки графика умножается на $0,5$, а абсцисса остается без изменений. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0, 0,5y_0)$. В результате этого шага мы получаем график функции $y_1 = 0,5f(x)$.
2. Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс (оси OX).
   Знак "минус" в коэффициенте $k = -0,5$ указывает на необходимость отражения графика относительно оси OX. График, полученный на предыдущем шаге ($y_1 = 0,5f(x)$), отражается симметрично относительно оси абсцисс. Каждая точка $(x_0, y_1)$ этого графика переходит в точку $(x_0, -y_1)$. Это дает нам итоговый график $y = -y_1 = -0,5f(x)$.

Таким образом, чтобы получить график функции $y = -0,5f(x)$ из графика $y = f(x)$, нужно ординату каждой точки исходного графика умножить на $-0,5$, оставив абсциссу неизменной. Точка $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, -0,5y_0)$.

Порядок преобразований (сжатие и отражение) не имеет значения. Можно сначала отразить график $y=f(x)$ относительно оси OX, чтобы получить $y=-f(x)$, а затем сжать полученный график к оси OX в 2 раза. Результат будет тем же.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -0,5f(x)$, необходимо выполнить два преобразования над графиком функции $y=f(x)$: во-первых, сжать его по вертикали к оси OX в 2 раза; во-вторых, отразить полученный график симметрично относительно оси OX.

3. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = f(2x)$, если у вас есть график функции $y = f(x)$.

Для того чтобы построить график функции $y = f(2x)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование исходного графика, которое называется горизонтальным сжатием.

Рассмотрим логику этого преобразования. Пусть произвольная точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это по определению означает, что выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.

Теперь мы хотим найти, какая точка на новом графике $y = f(2x)$ соответствует точке $(x_0, y_0)$. Обозначим искомую точку как $(x_1, y_1)$. Для нее должно выполняться равенство $y_1 = f(2x_1)$. Чтобы установить связь между графиками, найдем точку на новом графике, которая имеет ту же ординату (высоту), что и исходная точка. То есть, положим $y_1 = y_0$.

Приравнивая значения функций, получаем:

$f(2x_1) = y_1 = y_0 = f(x_0)$

Из равенства $f(2x_1) = f(x_0)$ следует, что аргументы функции должны быть равны (если функция не является периодической, а если является, то это соотношение сохраняется для соответствующих участков):

$2x_1 = x_0$

Отсюда мы можем выразить новую абсциссу $x_1$ через старую $x_0$:

$x_1 = \frac{x_0}{2}$

Таким образом, мы установили, что каждой точке $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$ соответствует точка $(\frac{x_0}{2}, y_0)$ на графике $y = f(2x)$. Это означает, что ордината каждой точки остается неизменной, а ее абсцисса уменьшается в 2 раза.

Геометрически это преобразование выглядит как сжатие всего графика функции $y = f(x)$ по горизонтали (вдоль оси OX) в направлении к оси ординат (оси OY) в 2 раза. Все точки графика, кроме тех, что лежат на оси OY, становятся в два раза ближе к ней.

Алгоритм построения:

1. Взять исходный график функции $y = f(x)$.
2. Выбрать на нем несколько характерных точек (например, точки пересечения с осями координат, точки экстремумов, точки перегиба).
3. Для каждой выбранной точки с координатами $(x, y)$ найти новую точку, оставив координату $y$ без изменений и разделив координату $x$ на 2. Новые координаты будут $(\frac{x}{2}, y)$.
4. Соединить полученные новые точки плавной линией, сохраняя общую форму исходного графика.

Например, если точка $(10, 5)$ лежит на графике $y = f(x)$, то точка $(\frac{10}{2}, 5) = (5, 5)$ будет лежать на графике $y = f(2x)$. Точка пересечения с осью OY, например $(0, 3)$, останется на месте, так как ее новая абсцисса будет $\frac{0}{2} = 0$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(2x)$ на основе графика функции $y = f(x)$, необходимо сжать график $y = f(x)$ к оси OY в 2 раза. Для этого нужно каждую точку исходного графика сместить по горизонтали так, чтобы ее расстояние до оси OY уменьшилось вдвое. Иными словами, для каждой точки $(x, y)$ на графике $y = f(x)$ соответствующая ей точка на графике $y = f(2x)$ будет иметь координаты $(\frac{x}{2}, y)$.

4. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = f(0,5x)$, если у вас есть график функции $y = f(x)$.

Чтобы построить график функции $y = f(0.5x)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить геометрическое преобразование исходного графика. Данное преобразование относится к классу преобразований аргумента функции вида $y = f(kx)$.

В нашем случае коэффициент $k = 0.5$. Общее правило для таких преобразований гласит, что если $0 < |k| < 1$, то график функции $y = f(x)$ растягивается по горизонтали (вдоль оси $Ox$) от оси $Oy$ в $1/k$ раз. Если же $|k| > 1$, то график сжимается к оси $Oy$ в $k$ раз.

Поскольку у нас $k = 0.5$, что удовлетворяет условию $0 < k < 1$, мы должны выполнить горизонтальное растяжение. Коэффициент растяжения будет равен $1/k = 1 / 0.5 = 2$.

Это означает, что для получения графика функции $y = f(0.5x)$ из графика $y = f(x)$, нужно каждую точку $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразовать в точку $(2x_0, y_0)$. Другими словами, ордината (координата $y$) каждой точки графика остается неизменной, а ее абсцисса (координата $x$) умножается на 2.

Таким образом, алгоритм построения заключается в том, чтобы растянуть исходный график $y = f(x)$ в 2 раза вдоль оси абсцисс ($Ox$) относительно оси ординат ($Oy$).

Ответ: Для построения графика функции $y = f(0.5x)$ необходимо график функции $y = f(x)$ растянуть в 2 раза от оси $Oy$ вдоль оси $Ox$.