Страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.32 Верно ли утверждение:

а) если последовательность имеет предел, то она монотонна;

б) если последовательность монотонна, то она имеет предел;

в) если последовательность ограничена, то она имеет предел;

г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?

Приведите примеры, подтверждающие или опровергающие это утверждение.

а) если последовательность имеет предел, то она монотонна

Утверждение неверно. Последовательность, имеющая предел, не обязательно является монотонной.

Пример (контрпример): рассмотрим последовательность $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$.

Ее члены: $-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

Эта последовательность имеет предел, равный нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$.

Однако она не является монотонной, так как ее члены колеблются вокруг нуля, принимая то положительные, то отрицательные значения. Например, $x_1 < x_2$, но $x_2 > x_3$.

Ответ: утверждение неверно.

б) если последовательность монотонна, то она имеет предел

Утверждение неверно. Чтобы монотонная последовательность имела конечный предел, она также должна быть ограниченной (согласно теореме Вейерштрасса о сходимости монотонной последовательности).

Пример (контрпример): рассмотрим последовательность натуральных чисел $x_n = n$.

Ее члены: $1, 2, 3, 4, \dots$

Эта последовательность является монотонной (строго возрастающей), так как каждый следующий ее член больше предыдущего ($x_{n+1} > x_n$).

Однако она не имеет конечного предела, так как является неограниченной и стремится к бесконечности: $\lim_{n \to \infty} n = \infty$.

Ответ: утверждение неверно.

в) если последовательность ограничена, то она имеет предел

Утверждение неверно. Ограниченная последовательность не обязана иметь предел.

Пример (контрпример): рассмотрим последовательность $x_n = (-1)^n$.

Ее члены: $-1, 1, -1, 1, \dots$

Эта последовательность ограничена, так как все ее члены по модулю не превосходят 1 (т.е. $|x_n| \le 1$).

Однако она не имеет предела, поскольку ее члены не приближаются к какому-либо одному числу, а постоянно принимают значения -1 и 1.

Ответ: утверждение неверно.

г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела

Утверждение неверно. Существуют немонотонные последовательности, которые имеют предел.

Пример (контрпример): снова рассмотрим последовательность $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$.

Как было показано в пункте а), эта последовательность не является монотонной.

Тем не менее, она имеет предел, равный нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$.

Следовательно, из отсутствия монотонности не следует отсутствие предела.

Ответ: утверждение неверно.

Вычислите предел последовательности ($y_n$):

24.33 а) $y_n = \frac{(2n + 1)(n - 3)}{n^2};$

б) $y_n = \frac{(3n + 1)(4n - 1)}{(n - 1)^2};$

в) $y_n = \frac{(3n - 2)(2n + 3)}{n^2};$

г) $y_n = \frac{(1 - 2n)(1 + n)}{(n + 2)^2}.$

а)

Чтобы вычислить предел последовательности $y_n = \frac{(2n + 1)(n - 3)}{n^2}$ при $n \to \infty$, для начала раскроем скобки в числителе:

$(2n + 1)(n - 3) = 2n \cdot n - 3 \cdot 2n + 1 \cdot n - 3 = 2n^2 - 6n + n - 3 = 2n^2 - 5n - 3$.

Теперь выражение для $y_n$ выглядит следующим образом:

$y_n = \frac{2n^2 - 5n - 3}{n^2}$.

Для нахождения предела при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень $n$ в знаменателе, то есть на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 5n - 3}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{5n}{n^2} - \frac{3}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{5}{n} - \frac{3}{n^2}}{1}$.

Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{5}{n}$ и $\frac{3}{n^2}$ стремятся к нулю, получаем значение предела:

$\frac{2 - 0 - 0}{1} = 2$.

Ответ: 2

б)

Чтобы вычислить предел последовательности $y_n = \frac{(3n + 1)(4n - 1)}{(n - 1)^2}$ при $n \to \infty$, раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель: $(3n + 1)(4n - 1) = 12n^2 - 3n + 4n - 1 = 12n^2 + n - 1$.

Знаменатель: $(n - 1)^2 = n^2 - 2n + 1$.

Выражение для $y_n$ принимает вид:

$y_n = \frac{12n^2 + n - 1}{n^2 - 2n + 1}$.

Для нахождения предела при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{12n^2 + n - 1}{n^2 - 2n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{12n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} - \frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} - \frac{2n}{n^2} + \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{12 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}{1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}$.

Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$ и $\frac{2}{n}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{12 + 0 - 0}{1 - 0 + 0} = 12$.

Ответ: 12

в)

Чтобы вычислить предел последовательности $y_n = \frac{(3n - 2)(2n + 3)}{n^2}$ при $n \to \infty$, сначала раскроем скобки в числителе:

$(3n - 2)(2n + 3) = 6n^2 + 9n - 4n - 6 = 6n^2 + 5n - 6$.

Выражение для $y_n$ принимает вид:

$y_n = \frac{6n^2 + 5n - 6}{n^2}$.

Для нахождения предела при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{6n^2 + 5n - 6}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6n^2}{n^2} + \frac{5n}{n^2} - \frac{6}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{5}{n} - \frac{6}{n^2}}{1}$.

Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{5}{n}$ и $\frac{6}{n^2}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{6 + 0 - 0}{1} = 6$.

Ответ: 6

г)

Чтобы вычислить предел последовательности $y_n = \frac{(1 - 2n)(1 + n)}{(n + 2)^2}$ при $n \to \infty$, раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель: $(1 - 2n)(1 + n) = 1 + n - 2n - 2n^2 = -2n^2 - n + 1$.

Знаменатель: $(n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4$.

Выражение для $y_n$ принимает вид:

$y_n = \frac{-2n^2 - n + 1}{n^2 + 4n + 4}$.

Для нахождения предела при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-2n^2 - n + 1}{n^2 + 4n + 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-2n^2}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} + \frac{4n}{n^2} + \frac{4}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{4}{n} + \frac{4}{n^2}}$.

Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$, $\frac{4}{n}$ и $\frac{4}{n^2}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{-2 - 0 + 0}{1 + 0 + 0} = -2$.

Ответ: -2

24.34 a) $y_n = \frac{(2n + 1)(3n - 4) - 6n^2 + 12n}{n + 5};$

б) $y_n = \frac{n^2(2n + 5) - 2n^3 + 5n^2 - 13}{n(n + 1)(n - 7) + (1 - n)};$

в) $y_n = \frac{(1 - n)(n^2 + 1) + n^3}{n^2 + 2n};$

г) $y_n = \frac{n(7 - n^2) + n^3 - 3n - 1}{(n + 1)(n + 2) + (2n^2 + 1)}.$

Дана последовательность $y_n = \frac{(2n + 1)(3n - 4) - 6n^2 + 12n}{n + 5}$.

Для решения задачи упростим выражение для $y_n$. Начнем с числителя. Раскроем скобки в произведении:

$(2n + 1)(3n - 4) = 2n \cdot 3n + 2n \cdot (-4) + 1 \cdot 3n + 1 \cdot (-4) = 6n^2 - 8n + 3n - 4 = 6n^2 - 5n - 4$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в числитель и приведем подобные слагаемые:

$(6n^2 - 5n - 4) - 6n^2 + 12n = (6n^2 - 6n^2) + (-5n + 12n) - 4 = 7n - 4$.

Знаменатель $n + 5$ остается без изменений.

Таким образом, упрощенное выражение для $y_n$ имеет вид:

$y_n = \frac{7n - 4}{n + 5}$.

Ответ: $y_n = \frac{7n - 4}{n + 5}$.

Дана последовательность $y_n = \frac{n^2(2n + 5) - 2n^3 + 5n^2 - 13}{n(n + 1)(n - 7) + (1 - n)}$.

Упростим числитель дроби. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n^2(2n + 5) - 2n^3 + 5n^2 - 13 = (2n^3 + 5n^2) - 2n^3 + 5n^2 - 13 = (2n^3 - 2n^3) + (5n^2 + 5n^2) - 13 = 10n^2 - 13$.

Теперь упростим знаменатель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n(n + 1)(n - 7) + (1 - n) = n(n^2 - 7n + n - 7) + 1 - n = n(n^2 - 6n - 7) + 1 - n = n^3 - 6n^2 - 7n + 1 - n = n^3 - 6n^2 - 8n + 1$.

Таким образом, упрощенное выражение для $y_n$ имеет вид:

$y_n = \frac{10n^2 - 13}{n^3 - 6n^2 - 8n + 1}$.

Ответ: $y_n = \frac{10n^2 - 13}{n^3 - 6n^2 - 8n + 1}$.

Дана последовательность $y_n = \frac{(1 - n)(n^2 + 1) + n^3}{n^2 + 2n}$.

Упростим числитель дроби. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(1 - n)(n^2 + 1) + n^3 = (1 \cdot n^2 + 1 \cdot 1 - n \cdot n^2 - n \cdot 1) + n^3 = (n^2 + 1 - n^3 - n) + n^3 = -n^3 + n^3 + n^2 - n + 1 = n^2 - n + 1$.

Знаменатель $n^2 + 2n$ уже представлен в простом виде. Его можно также записать как $n(n+2)$.

Таким образом, упрощенное выражение для $y_n$ имеет вид:

$y_n = \frac{n^2 - n + 1}{n^2 + 2n}$.

Ответ: $y_n = \frac{n^2 - n + 1}{n^2 + 2n}$.

Дана последовательность $y_n = \frac{n(7 - n^2) + n^3 - 3n - 1}{(n + 1)(n + 2) + (2n^2 + 1)}$.

Упростим числитель дроби. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n(7 - n^2) + n^3 - 3n - 1 = (7n - n^3) + n^3 - 3n - 1 = (-n^3 + n^3) + (7n - 3n) - 1 = 4n - 1$.

Теперь упростим знаменатель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(n + 1)(n + 2) + (2n^2 + 1) = (n^2 + 2n + n + 2) + 2n^2 + 1 = (n^2 + 3n + 2) + 2n^2 + 1 = (n^2 + 2n^2) + 3n + (2 + 1) = 3n^2 + 3n + 3$.

Таким образом, упрощенное выражение для $y_n$ имеет вид:

$y_n = \frac{4n - 1}{3n^2 + 3n + 3}$.

Ответ: $y_n = \frac{4n - 1}{3n^2 + 3n + 3}$.

25.1 Найдите сумму геометрической прогрессии ($b_n$), если:

а) $b_1 = 3, q = \frac{1}{3}$;

б) $b_1 = -5, q = -0,1$;

в) $b_1 = -1, q = 0,2$;

г) $b_1 = 2, q = -\frac{1}{3}$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой знаменатель $q$ удовлетворяет условию $|q| < 1$, вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии.

а)

Даны первый член прогрессии $b_1 = 3$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется, значит, можно найти сумму прогрессии.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.

Ответ: $4,5$.

б)

Даны первый член прогрессии $b_1 = -5$ и знаменатель $q = -0,1$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |-0,1| = 0,1 < 1$. Условие выполняется.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{-5}{1 - (-0,1)} = \frac{-5}{1 + 0,1} = \frac{-5}{1,1} = -\frac{50}{11}$.

Ответ: $-\frac{50}{11}$.

в)

Даны первый член прогрессии $b_1 = -1$ и знаменатель $q = 0,2$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |0,2| = 0,2 < 1$. Условие выполняется.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{-1}{1 - 0,2} = \frac{-1}{0,8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} = -1,25$.

Ответ: $-1,25$.

г)

Даны первый член прогрессии $b_1 = 2$ и знаменатель $q = -\frac{1}{3}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{2}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{2}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.