Страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.10 Укажите номер члена последовательности $y_n = \frac{2 - n}{5n + 1}$, равного:

а) 0;

б) $-\frac{3}{26}$;

в) $-\frac{1}{6}$;

г) $-\frac{43}{226}$.

Для нахождения номера члена последовательности $y_n = \frac{2 - n}{5n + 1}$, равного заданному значению, необходимо решить уравнение, приравняв формулу $y_n$ к этому значению. Важно помнить, что номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

а) 0
Приравняем $y_n$ к 0:
$\frac{2 - n}{5n + 1} = 0$
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
$2 - n = 0 \implies n = 2$
Проверим знаменатель при $n = 2$: $5 \cdot 2 + 1 = 11 \neq 0$.
Поскольку $n=2$ является натуральным числом, это и есть искомый номер члена последовательности.
Ответ: 2.

б) $-\frac{3}{26}$
Приравняем $y_n$ к $-\frac{3}{26}$:
$\frac{2 - n}{5n + 1} = -\frac{3}{26}$
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$26(2 - n) = -3(5n + 1)$
$52 - 26n = -15n - 3$
$52 + 3 = 26n - 15n$
$55 = 11n$
$n = \frac{55}{11}$
$n = 5$
$n=5$ является натуральным числом.
Ответ: 5.

в) $-\frac{1}{6}$
Приравняем $y_n$ к $-\frac{1}{6}$:
$\frac{2 - n}{5n + 1} = -\frac{1}{6}$
$6(2 - n) = -1(5n + 1)$
$12 - 6n = -5n - 1$
$12 + 1 = 6n - 5n$
$n = 13$
$n=13$ является натуральным числом.
Ответ: 13.

г) $-\frac{43}{226}$
Приравняем $y_n$ к $-\frac{43}{226}$:
$\frac{2 - n}{5n + 1} = -\frac{43}{226}$
$226(2 - n) = -43(5n + 1)$
$452 - 226n = -215n - 43$
$452 + 43 = 226n - 215n$
$495 = 11n$
$n = \frac{495}{11}$
$n = 45$
$n=45$ является натуральным числом.
Ответ: 45.

24.6 а) $5, 10, 15, 20, 25, \dots;$

Б) $6, 12, 18, 24, 30, \dots;$

В) $4, 8, 12, 16, 20, \dots;$

Г) $3, 6, 9, 12, 15, \dots$

а) Данная последовательность чисел: 5, 10, 15, 20, 25, ...

Для того чтобы определить закономерность, найдем разность между соседними членами последовательности:

$10 - 5 = 5$

$15 - 10 = 5$

$20 - 15 = 5$

$25 - 20 = 5$

Как мы видим, каждый следующий член последовательности на 5 больше предыдущего. Это означает, что мы имеем дело с арифметической прогрессией. Первый член этой прогрессии $a_1 = 5$, а ее разность $d = 5$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив значения для данной последовательности, получаем:

$a_n = 5 + (n-1) \cdot 5 = 5 + 5n - 5 = 5n$.

Таким образом, эта последовательность состоит из чисел, кратных 5.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с первым членом 5 и разностью 5. Формула n-го члена: $a_n = 5n$.

б) Данная последовательность чисел: 6, 12, 18, 24, 30, ...

Найдем разность между соседними членами последовательности, чтобы определить закономерность:

$12 - 6 = 6$

$18 - 12 = 6$

$24 - 18 = 6$

$30 - 24 = 6$

Каждый следующий член последовательности на 6 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 6$ и разностью $d = 6$.

Используем общую формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения для данной последовательности:

$a_n = 6 + (n-1) \cdot 6 = 6 + 6n - 6 = 6n$.

Следовательно, эта последовательность состоит из чисел, кратных 6.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с первым членом 6 и разностью 6. Формула n-го члена: $a_n = 6n$.

в) Данная последовательность чисел: 4, 8, 12, 16, 20, ...

Найдем разность между соседними членами последовательности:

$8 - 4 = 4$

$12 - 8 = 4$

$16 - 12 = 4$

$20 - 16 = 4$

Каждый следующий член последовательности на 4 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 4$ и разность $d = 4$.

Воспользуемся общей формулой для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения для этой последовательности:

$a_n = 4 + (n-1) \cdot 4 = 4 + 4n - 4 = 4n$.

Таким образом, эта последовательность состоит из чисел, кратных 4.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с первым членом 4 и разностью 4. Формула n-го члена: $a_n = 4n$.

г) Данная последовательность чисел: 3, 6, 9, 12, 15, ...

Определим закономерность, найдя разность между соседними членами последовательности:

$6 - 3 = 3$

$9 - 6 = 3$

$12 - 9 = 3$

$15 - 12 = 3$

Каждый следующий член последовательности на 3 больше предыдущего. Мы имеем дело с арифметической прогрессией, где первый член $a_1 = 3$ и разность $d = 3$.

Применим общую формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив значения для данной последовательности, получаем:

$a_n = 3 + (n-1) \cdot 3 = 3 + 3n - 3 = 3n$.

Следовательно, эта последовательность состоит из чисел, кратных 3.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с первым членом 3 и разностью 3. Формула n-го члена: $a_n = 3n$.

24.11 Последовательность задана формулой

$a_n = (2n - 1)(3n + 2).$

Является ли членом последовательности число:

a) 0;

б) 24;

в) 153;

г) -2?

Для того чтобы определить, является ли данное число членом последовательности, заданной формулой $a_n = (2n - 1)(3n + 2)$, необходимо подставить это число вместо $a_n$ и решить полученное уравнение относительно $n$. Если одним из корней уравнения является натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$), то данное число является членом последовательности. В противном случае — не является.

Для удобства раскроем скобки в формуле:

$a_n = 2n \cdot 3n + 2n \cdot 2 - 1 \cdot 3n - 1 \cdot 2 = 6n^2 + 4n - 3n - 2 = 6n^2 + n - 2$

а) 0

Проверим, может ли член последовательности быть равен 0. Составим уравнение:

$6n^2 + n - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$

Ни один из корней не является натуральным числом. Следовательно, 0 не является членом данной последовательности.

Ответ: число 0 не является членом последовательности.

б) 24

Проверим число 24. Составим уравнение:

$6n^2 + n - 2 = 24$

$6n^2 + n - 26 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-26) = 1 + 624 = 625 = 25^2$

Найдем корни:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{625}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 25}{12} = \frac{24}{12} = 2$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{625}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 25}{12} = \frac{-26}{12} = -\frac{13}{6}$

Корень $n=2$ является натуральным числом. Это значит, что число 24 является вторым членом последовательности ($a_2$).

Ответ: число 24 является членом последовательности.

в) 153

Проверим число 153. Составим уравнение:

$6n^2 + n - 2 = 153$

$6n^2 + n - 155 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-155) = 1 + 3720 = 3721 = 61^2$

Найдем корни:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{3721}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 61}{12} = \frac{60}{12} = 5$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{3721}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 61}{12} = \frac{-62}{12} = -\frac{31}{6}$

Корень $n=5$ является натуральным числом. Это значит, что число 153 является пятым членом последовательности ($a_5$).

Ответ: число 153 является членом последовательности.

г) -2

Проверим число -2. Составим уравнение:

$6n^2 + n - 2 = -2$

$6n^2 + n = 0$

Вынесем $n$ за скобки:

$n(6n + 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$n_1 = 0$

$6n + 1 = 0 \implies n_2 = -\frac{1}{6}$

Ни один из корней не является натуральным числом. Также можно заметить, что для любого натурального $n$ ($n \geq 1$) множители $(2n-1)$ и $(3n+2)$ положительны, а значит, их произведение $a_n$ всегда будет положительным. Следовательно, отрицательное число не может быть членом данной последовательности.

Ответ: число -2 не является членом последовательности.

24.7 a) $3, 9, 27, 81, 243, \dots;$

б) $9, 16, 25, 36, 49, \dots;$

В) $1, 8, 27, 64, 125, \dots;$

Г) $2, 9, 28, 65, 126, \dots$

а) Дана последовательность: 3, 9, 27, 81, 243, ...
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
$a_1 = 3 = 3^1$
$a_2 = 9 = 3^2$
$a_3 = 27 = 3^3$
$a_4 = 81 = 3^4$
$a_5 = 243 = 3^5$
Каждый член этой последовательности является степенью числа 3, причем показатель степени равен номеру члена последовательности. Таким образом, формула n-го члена имеет вид $a_n = 3^n$.
Ответ: $a_n = 3^n$.

б) Дана последовательность: 9, 16, 25, 36, 49, ...
Обозначим n-й член последовательности как $b_n$.
Заметим, что все члены последовательности являются квадратами целых чисел.
$b_1 = 9 = 3^2 = (1+2)^2$
$b_2 = 16 = 4^2 = (2+2)^2$
$b_3 = 25 = 5^2 = (3+2)^2$
$b_4 = 36 = 6^2 = (4+2)^2$
$b_5 = 49 = 7^2 = (5+2)^2$
Можно заметить, что n-й член последовательности равен квадрату числа, которое на 2 больше, чем номер члена $n$. Следовательно, формула n-го члена имеет вид $b_n = (n+2)^2$.
Ответ: $b_n = (n+2)^2$.

в) Дана последовательность: 1, 8, 27, 64, 125, ...
Обозначим n-й член последовательности как $c_n$.
Члены этой последовательности являются кубами натуральных чисел.
$c_1 = 1 = 1^3$
$c_2 = 8 = 2^3$
$c_3 = 27 = 3^3$
$c_4 = 64 = 4^3$
$c_5 = 125 = 5^3$
Таким образом, n-й член последовательности равен кубу своего номера $n$. Формула n-го члена имеет вид $c_n = n^3$.
Ответ: $c_n = n^3$.

г) Дана последовательность: 2, 9, 28, 65, 126, ...
Обозначим n-й член последовательности как $d_n$.
Сравним эту последовательность с последовательностью кубов натуральных чисел из предыдущего пункта (1, 8, 27, 64, 125, ...).
$d_1 = 2 = 1^3 + 1$
$d_2 = 9 = 2^3 + 1$
$d_3 = 28 = 3^3 + 1$
$d_4 = 65 = 4^3 + 1$
$d_5 = 126 = 5^3 + 1$
Каждый член данной последовательности на единицу больше соответствующего члена последовательности кубов натуральных чисел. Значит, формула n-го члена имеет вид $d_n = n^3 + 1$.
Ответ: $d_n = n^3 + 1$.

Запишите первые пять членов последовательности:

24.12 а) $y_n = \sin \frac{n\pi}{2} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2n + 1)$

б) $y_n = \cos \frac{n\pi}{2} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}(2n + 1)$

в) $y_n = n \sin \frac{n\pi}{2} + n^2 \cos \frac{n\pi}{2}$

г) $y_n = \sin \frac{n\pi}{4} - n \cos \frac{n\pi}{4}$

а) Для последовательности $y_n = \sin\frac{n\pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4}(2n + 1)$ найдем первые пять членов, подставляя последовательно значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

При $n=1$: $y_1 = \sin\frac{1 \cdot \pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4}(2\cdot1 + 1) = \sin\frac{\pi}{2} - \ctg\frac{3\pi}{4} = 1 - (-1) = 2$.
При $n=2$: $y_2 = \sin\frac{2\pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4}(2\cdot2 + 1) = \sin\pi - \ctg\frac{5\pi}{4} = \sin\pi - \ctg(\pi + \frac{\pi}{4}) = 0 - 1 = -1$.
При $n=3$: $y_3 = \sin\frac{3\pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4}(2\cdot3 + 1) = \sin\frac{3\pi}{2} - \ctg\frac{7\pi}{4} = \sin\frac{3\pi}{2} - \ctg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -1 - (-1) = 0$.
При $n=4$: $y_4 = \sin\frac{4\pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4}(2\cdot4 + 1) = \sin(2\pi) - \ctg\frac{9\pi}{4} = \sin(2\pi) - \ctg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = 0 - 1 = -1$.
При $n=5$: $y_5 = \sin\frac{5\pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4}(2\cdot5 + 1) = \sin\frac{5\pi}{2} - \ctg\frac{11\pi}{4} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) - \ctg(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = 1 - (-1) = 2$.

Ответ: $2; -1; 0; -1; 2$.

б) Для последовательности $y_n = \cos\frac{n\pi}{2} + \tg\frac{\pi}{4}(2n + 1)$ найдем первые пять членов.

При $n=1$: $y_1 = \cos\frac{1 \cdot \pi}{2} + \tg\frac{\pi}{4}(2\cdot1 + 1) = \cos\frac{\pi}{2} + \tg\frac{3\pi}{4} = 0 + (-1) = -1$.
При $n=2$: $y_2 = \cos\frac{2\pi}{2} + \tg\frac{\pi}{4}(2\cdot2 + 1) = \cos\pi + \tg\frac{5\pi}{4} = \cos\pi + \tg(\pi + \frac{\pi}{4}) = -1 + 1 = 0$.
При $n=3$: $y_3 = \cos\frac{3\pi}{2} + \tg\frac{\pi}{4}(2\cdot3 + 1) = \cos\frac{3\pi}{2} + \tg\frac{7\pi}{4} = \cos\frac{3\pi}{2} + \tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = 0 + (-1) = -1$.
При $n=4$: $y_4 = \cos\frac{4\pi}{2} + \tg\frac{\pi}{4}(2\cdot4 + 1) = \cos(2\pi) + \tg\frac{9\pi}{4} = \cos(2\pi) + \tg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = 1 + 1 = 2$.
При $n=5$: $y_5 = \cos\frac{5\pi}{2} + \tg\frac{\pi}{4}(2\cdot5 + 1) = \cos\frac{5\pi}{2} + \tg\frac{11\pi}{4} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) + \tg(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = 0 + (-1) = -1$.

Ответ: $-1; 0; -1; 2; -1$.

в) Для последовательности $y_n = n \sin\frac{n\pi}{2} + n^2 \cos\frac{n\pi}{2}$ найдем первые пять членов.

При $n=1$: $y_1 = 1 \cdot \sin\frac{1 \cdot \pi}{2} + 1^2 \cdot \cos\frac{1 \cdot \pi}{2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1$.
При $n=2$: $y_2 = 2 \cdot \sin\frac{2\pi}{2} + 2^2 \cdot \cos\frac{2\pi}{2} = 2 \cdot \sin\pi + 4 \cdot \cos\pi = 2 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = -4$.
При $n=3$: $y_3 = 3 \cdot \sin\frac{3\pi}{2} + 3^2 \cdot \cos\frac{3\pi}{2} = 3 \cdot (-1) + 9 \cdot 0 = -3$.
При $n=4$: $y_4 = 4 \cdot \sin\frac{4\pi}{2} + 4^2 \cdot \cos\frac{4\pi}{2} = 4 \cdot \sin(2\pi) + 16 \cdot \cos(2\pi) = 4 \cdot 0 + 16 \cdot 1 = 16$.
При $n=5$: $y_5 = 5 \cdot \sin\frac{5\pi}{2} + 5^2 \cdot \cos\frac{5\pi}{2} = 5 \cdot \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) + 25 \cdot \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = 5 \cdot 1 + 25 \cdot 0 = 5$.

Ответ: $1; -4; -3; 16; 5$.

г) Для последовательности $y_n = \sin\frac{n\pi}{4} - n \cos\frac{n\pi}{4}$ найдем первые пять членов.

При $n=1$: $y_1 = \sin\frac{1 \cdot \pi}{4} - 1 \cdot \cos\frac{1 \cdot \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$.
При $n=2$: $y_2 = \sin\frac{2\pi}{4} - 2 \cdot \cos\frac{2\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{2} - 2\cos\frac{\pi}{2} = 1 - 2 \cdot 0 = 1$.
При $n=3$: $y_3 = \sin\frac{3\pi}{4} - 3 \cdot \cos\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
При $n=4$: $y_4 = \sin\frac{4\pi}{4} - 4 \cdot \cos\frac{4\pi}{4} = \sin\pi - 4\cos\pi = 0 - 4(-1) = 4$.
При $n=5$: $y_5 = \sin\frac{5\pi}{4} - 5 \cdot \cos\frac{5\pi}{4} = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) - 5\cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $0; 1; 2\sqrt{2}; 4; 2\sqrt{2}$.

24.8 а) 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$, ...;

б) $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{8}$, $\frac{9}{10}$, $\frac{11}{12}$, ...;

в) 1, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{27}$, $\frac{1}{64}$, $\frac{1}{125}$, ...;

г) $\frac{1}{3 \cdot 5}$, $\frac{1}{5 \cdot 7}$, $\frac{1}{7 \cdot 9}$, $\frac{1}{9 \cdot 11}$, $\frac{1}{11 \cdot 13}$, ....

а)

Данная последовательность: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, ...$

Запишем члены последовательности, обозначив их через $a_n$, где $n$ – номер члена, начиная с 1:

$a_1 = 1$

$a_2 = \frac{1}{2}$

$a_3 = \frac{1}{4}$

$a_4 = \frac{1}{8}$

Представим знаменатели как степени числа 2, а первый член $1$ как $\frac{1}{1}$:

$a_1 = \frac{1}{1} = \frac{1}{2^0}$

$a_2 = \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$

$a_3 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$

$a_4 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}$

Видно, что числитель каждого члена равен 1, а знаменатель – это степень двойки, показатель которой на 1 меньше номера члена последовательности ($n-1$).

Следовательно, формула n-го члена последовательности $a_n$ имеет вид:

$a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$

Эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $a_1=1$ и знаменателем $q=\frac{1}{2}$. Формула для n-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ подтверждает найденный результат: $a_n = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{2^{n-1}}$.

Ответ: $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$

б)

Данная последовательность: $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, \frac{9}{10}, \frac{11}{12}, ...$

Рассмотрим отдельно последовательности числителей и знаменателей.

Последовательность числителей: $3, 5, 7, 9, 11, ...$. Это арифметическая прогрессия, у которой первый член равен 3, а разность равна 2. Формула n-го члена арифметической прогрессии $c_n = c_1 + d(n-1)$. Для числителей получаем: $3 + 2(n-1) = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.

Последовательность знаменателей: $4, 6, 8, 10, 12, ...$. Это также арифметическая прогрессия, у которой первый член равен 4, а разность равна 2. Для знаменателей получаем: $4 + 2(n-1) = 4 + 2n - 2 = 2n + 2$.

Таким образом, формула для n-го члена исходной последовательности $a_n$ является отношением формул для числителя и знаменателя:

$a_n = \frac{2n+1}{2n+2}$

Проверим для первых членов:

При $n=1: a_1 = \frac{2(1)+1}{2(1)+2} = \frac{3}{4}$

При $n=2: a_2 = \frac{2(2)+1}{2(2)+2} = \frac{5}{6}$

При $n=3: a_3 = \frac{2(3)+1}{2(3)+2} = \frac{7}{8}$

Формула верна.

Ответ: $a_n = \frac{2n+1}{2n+2}$

в)

Данная последовательность: $1, \frac{1}{8}, \frac{1}{27}, \frac{1}{64}, \frac{1}{125}, ...$

Запишем члены последовательности и проанализируем их знаменатели:

$a_1 = 1 = \frac{1}{1}$

$a_2 = \frac{1}{8}$

$a_3 = \frac{1}{27}$

$a_4 = \frac{1}{64}$

$a_5 = \frac{1}{125}$

Заметим, что знаменатели являются кубами натуральных чисел:

$1 = 1^3$

$8 = 2^3$

$27 = 3^3$

$64 = 4^3$

$125 = 5^3$

Знаменатель n-го члена последовательности равен $n^3$. Числитель всегда равен 1.

Следовательно, формула n-го члена последовательности $a_n$ имеет вид:

$a_n = \frac{1}{n^3}$

Проверим для $n=1: a_1 = \frac{1}{1^3} = 1$. Верно.

Ответ: $a_n = \frac{1}{n^3}$

г)

Данная последовательность: $\frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 7}, \frac{1}{7 \cdot 9}, \frac{1}{9 \cdot 11}, \frac{1}{11 \cdot 13}, ...$

Числитель каждого члена последовательности равен 1. Знаменатель является произведением двух чисел.

Рассмотрим первые множители в знаменателях: $3, 5, 7, 9, 11, ...$. Это арифметическая прогрессия с первым членом 3 и разностью 2. Формула n-го члена для этой последовательности: $3 + 2(n-1) = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.

Рассмотрим вторые множители в знаменателях: $5, 7, 9, 11, 13, ...$. Это также арифметическая прогрессия с первым членом 5 и разностью 2. Формула n-го члена для этой последовательности: $5 + 2(n-1) = 5 + 2n - 2 = 2n + 3$.

Также можно заметить, что второй множитель всегда на 2 больше первого: $(2n+1) + 2 = 2n+3$.

Таким образом, знаменатель n-го члена последовательности равен произведению $(2n+1)(2n+3)$.

Формула для n-го члена исходной последовательности $a_n$ имеет вид:

$a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

Проверим для $n=1: a_1 = \frac{1}{(2(1)+1)(2(1)+3)} = \frac{1}{3 \cdot 5}$. Верно.

Проверим для $n=2: a_2 = \frac{1}{(2(2)+1)(2(2)+3)} = \frac{1}{5 \cdot 7}$. Верно.

Ответ: $a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

24.13 a) $y_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{n^3 + 1}$

б) $y_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}$

Предполагается, что задача состоит в исследовании сходимости данных последовательностей, то есть в нахождении их пределов при $n \to \infty$.

а)

Дана последовательность $y_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{n^3 + 1}$. Эту последовательность можно записать с использованием факториала: $y_n = \frac{n!}{n^3 + 1}$. Для нахождения предела $\lim_{n \to \infty} y_n$ воспользуемся признаком Даламбера для последовательностей. Если $\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n} = L > 1$, то последовательность расходится к $+\infty$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^3 + 1}$.

Теперь составим отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$: $\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^3+1} : \frac{n!}{n^3+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^3+1} \cdot \frac{n^3+1}{n!}$.

Учитывая, что $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$, упростим выражение: $\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{(n+1) \cdot n!}{(n+1)^3+1} \cdot \frac{n^3+1}{n!} = \frac{(n+1)(n^3+1)}{(n+1)^3+1}$.

Вычислим предел этого отношения при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n^3+1)}{(n+1)^3+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^4+n^3+n+1}{n^3+3n^2+3n+2}$.

Для нахождения этого предела разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, то есть на $n^3$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^4}{n^3}+\frac{n^3}{n^3}+\frac{n}{n^3}+\frac{1}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3}+\frac{3n^2}{n^3}+\frac{3n}{n^3}+\frac{2}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n^3}}$.

При $n \to \infty$ числитель стремится к $\infty$, а знаменатель стремится к $1$: $\frac{\infty+1+0+0}{1+0+0+0} = \infty$.

Поскольку предел отношения $\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n} = \infty$, что больше 1, последовательность $y_n$ расходится. Так как все члены последовательности $y_n$ положительны, она стремится к $+\infty$.

Ответ: $\lim_{n \to \infty} y_n = +\infty$.

б)

Дана последовательность $y_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}$. Исследуем её на сходимость.

Все члены последовательности $y_n$ являются произведением положительных чисел, следовательно, $y_n > 0$ для всех $n \ge 1$. Это означает, что последовательность ограничена снизу нулём.

Проверим монотонность последовательности. Сравним $y_{n+1}$ и $y_n$. $y_{n+1} = \frac{1 \cdot 3 \cdots (2n-1) \cdot (2(n+1)-1)}{2 \cdot 4 \cdots 2n \cdot (2(n+1))} = \frac{1 \cdot 3 \cdots (2n-1) \cdot (2n+1)}{2 \cdot 4 \cdots 2n \cdot (2n+2)} = y_n \cdot \frac{2n+1}{2n+2}$.

Так как $2n+1 < 2n+2$, то множитель $\frac{2n+1}{2n+2} < 1$. Следовательно, $y_{n+1} < y_n$. Последовательность является строго убывающей.

Поскольку последовательность $y_n$ убывает и ограничена снизу (например, нулём), по теореме Вейерштрасса о монотонной и ограниченной последовательности она имеет предел. Обозначим этот предел $L = \lim_{n \to \infty} y_n$.

Для нахождения значения предела $L$ оценим $y_n$ сверху. Возведём $y_n$ в квадрат: $y_n^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdots \left(\frac{2n-1}{2n}\right)^2$.

Воспользуемся неравенством $\frac{2k-1}{2k} < \frac{2k}{2k+1}$, которое справедливо для всех $k \ge 1$, так как $(2k-1)(2k+1) = 4k^2-1 < (2k)^2 = 4k^2$.

Заменим один из сомножителей в каждом члене $y_n^2$: $y_n^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}\right) \cdots \left(\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-1}{2n}\right) < \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}\right) \cdots \left(\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n}{2n+1}\right)$.

В правой части неравенства мы получили телескопическое произведение: $\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}\right) \cdots \left(\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots (2n-1) \cdot 2n}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots 2n \cdot (2n+1)} = \frac{1}{2n+1}$.

Таким образом, мы получили двойное неравенство для $y_n^2$: $0 < y_n^2 < \frac{1}{2n+1}$.

Перейдём к пределу при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} 0 \le \lim_{n \to \infty} y_n^2 \le \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+1}$. $0 \le \lim_{n \to \infty} y_n^2 \le 0$.

По теореме о двух милиционерах (теореме о сжатии), $\lim_{n \to \infty} y_n^2 = 0$. Так как $y_n > 0$, то предел самой последовательности $y_n$ также равен нулю: $\lim_{n \to \infty} y_n = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$.

24.9 Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $\sqrt{2}$:

а) по недостатку;

б) по избытку.

Для решения задачи необходимо знать десятичное разложение числа $ \sqrt{2} $. Это иррациональное число, и его десятичное представление представляет собой бесконечную непериодическую дробь:

$ \sqrt{2} \approx 1,41421356... $

а) по недостатку;

Последовательность десятичных приближений по недостатку (или округление "вниз") формируется путем отбрасывания всех цифр после определенного разряда. Для числа $ \sqrt{2} \approx 1,4142... $ имеем:

1. Первый член (приближение с точностью до целых, или $ 10^0 $): отбрасываем дробную часть числа $ 1,4142... $, получаем 1. Это наибольшее целое число, которое не превосходит $ \sqrt{2} $, так как $ 1 < \sqrt{2} < 2 $.
2. Второй член (приближение с точностью до десятых, или $ 10^{-1} $): отбрасываем все цифры после первого знака после запятой в числе $ 1,4142... $, получаем 1,4. Это наибольшее число с одним знаком после запятой, которое не превосходит $ \sqrt{2} $, так как $ 1,4 < \sqrt{2} < 1,5 $.
3. Третий член (приближение с точностью до сотых, или $ 10^{-2} $): отбрасываем все цифры после второго знака после запятой в числе $ 1,4142... $, получаем 1,41. Это наибольшее число с двумя знаками после запятой, которое не превосходит $ \sqrt{2} $, так как $ 1,41 < \sqrt{2} < 1,42 $.
4. Четвертый член (приближение с точностью до тысячных, или $ 10^{-3} $): отбрасываем все цифры после третьего знака после запятой в числе $ 1,4142... $, получаем 1,414. Это наибольшее число с тремя знаками после запятой, которое не превосходит $ \sqrt{2} $, так как $ 1,414 < \sqrt{2} < 1,415 $.

Ответ: 1; 1,4; 1,41; 1,414.

б) по избытку.

Последовательность десятичных приближений по избытку (или округление "вверх") формируется путем увеличения последней цифры приближения по недостатку на единицу.

1. Первый член (приближение с точностью до целых, или $ 10^0 $): берем соответствующее приближение по недостатку (1) и прибавляем 1 ($ 10^0 $). Получаем $ 1 + 1 = 2 $. Это наименьшее целое число, которое больше $ \sqrt{2} $.
2. Второй член (приближение с точностью до десятых, или $ 10^{-1} $): берем соответствующее приближение по недостатку (1,4) и прибавляем 0,1 ($ 10^{-1} $). Получаем $ 1,4 + 0,1 = 1,5 $. Это наименьшее число с одним знаком после запятой, которое больше $ \sqrt{2} $.
3. Третий член (приближение с точностью до сотых, или $ 10^{-2} $): берем соответствующее приближение по недостатку (1,41) и прибавляем 0,01 ($ 10^{-2} $). Получаем $ 1,41 + 0,01 = 1,42 $. Это наименьшее число с двумя знаками после запятой, которое больше $ \sqrt{2} $.
4. Четвертый член (приближение с точностью до тысячных, или $ 10^{-3} $): берем соответствующее приближение по недостатку (1,414) и прибавляем 0,001 ($ 10^{-3} $). Получаем $ 1,414 + 0,001 = 1,415 $. Это наименьшее число с тремя знаками после запятой, которое больше $ \sqrt{2} $.

Ответ: 2; 1,5; 1,42; 1,415.