Страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.5 a) $0, 1, 2, 3, 4, \ldots;$

б) $-1, -2, -3, -4, -5, \ldots;$

В) $5, 6, 7, 8, 9, \ldots;$

Г) $10, 9, 8, 7, 6, \ldots.$

а) Для последовательности 0, 1, 2, 3, 4, ... мы ищем формулу n-го члена, которую обозначим $a_n$.

Это арифметическая прогрессия, так как каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. Первый член последовательности $a_1 = 0$. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 1 - 0 = 1$. Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим значения $a_1 = 0$ и $d = 1$: $a_n = 0 + (n-1) \cdot 1 = n - 1$. Другой способ — заметить, что каждый член последовательности на 1 меньше своего порядкового номера. Например, $a_1 = 1 - 1 = 0$, $a_2 = 2 - 1 = 1$, и так далее.

Ответ: $a_n = n - 1$

б) Для последовательности -1, -2, -3, -4, -5, ... мы ищем формулу n-го члена, которую обозначим $b_n$.

Это также арифметическая прогрессия. Первый член $b_1 = -1$. Разность прогрессии $d = b_2 - b_1 = -2 - (-1) = -1$. Используя общую формулу $b_n = b_1 + (n-1)d$, подставим наши значения: $b_n = -1 + (n-1) \cdot (-1) = -1 - n + 1 = -n$. Также можно заметить, что каждый член последовательности равен своему порядковому номеру, взятому с отрицательным знаком.

Ответ: $b_n = -n$

в) Для последовательности 5, 6, 7, 8, 9, ... мы ищем формулу n-го члена, которую обозначим $c_n$.

Это арифметическая прогрессия. Первый член $c_1 = 5$. Разность прогрессии $d = c_2 - c_1 = 6 - 5 = 1$. Применяем формулу n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$. Подставляем известные значения: $c_n = 5 + (n-1) \cdot 1 = 5 + n - 1 = n + 4$. Проверим: для $n=1$, $c_1 = 1 + 4 = 5$; для $n=2$, $c_2 = 2 + 4 = 6$. Формула верна.

Ответ: $c_n = n + 4$

г) Для последовательности 10, 9, 8, 7, 6, ... мы ищем формулу n-го члена, которую обозначим $d_n$.

Это убывающая арифметическая прогрессия. Первый член $d_1 = 10$. Разность прогрессии $d = d_2 - d_1 = 9 - 10 = -1$. Используем формулу n-го члена: $d_n = d_1 + (n-1)d$. Подставляем значения: $d_n = 10 + (n-1) \cdot (-1) = 10 - n + 1 = 11 - n$. Проверим: для $n=1$, $d_1 = 11 - 1 = 10$; для $n=3$, $d_3 = 11 - 3 = 8$. Формула верна.

Ответ: $d_n = 11 - n$

24.1 a) $y_n = 3 - 2n;$

б) $y_n = 2n^2 - n;$

В) $y_n = n^3 - 1;$

Г) $y_n = \frac{3n - 1}{2n}.

а) Для последовательности, заданной формулой $y_n = 3 - 2n$, найдем первые пять членов, подставляя натуральные числа $n$ от 1 до 5:
При $n=1$: $y_1 = 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$
При $n=2$: $y_2 = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$
При $n=3$: $y_3 = 3 - 2 \cdot 3 = 3 - 6 = -3$
При $n=4$: $y_4 = 3 - 2 \cdot 4 = 3 - 8 = -5$
При $n=5$: $y_5 = 3 - 2 \cdot 5 = 3 - 10 = -7$
Ответ: $y_1 = 1, y_2 = -1, y_3 = -3, y_4 = -5, y_5 = -7$.

б) Для последовательности, заданной формулой $y_n = 2n^2 - n$, найдем первые пять членов, подставляя натуральные числа $n$ от 1 до 5:
При $n=1$: $y_1 = 2 \cdot 1^2 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
При $n=2$: $y_2 = 2 \cdot 2^2 - 2 = 2 \cdot 4 - 2 = 6$
При $n=3$: $y_3 = 2 \cdot 3^2 - 3 = 2 \cdot 9 - 3 = 15$
При $n=4$: $y_4 = 2 \cdot 4^2 - 4 = 2 \cdot 16 - 4 = 28$
При $n=5$: $y_5 = 2 \cdot 5^2 - 5 = 2 \cdot 25 - 5 = 45$
Ответ: $y_1 = 1, y_2 = 6, y_3 = 15, y_4 = 28, y_5 = 45$.

в) Для последовательности, заданной формулой $y_n = n^3 - 1$, найдем первые пять членов, подставляя натуральные числа $n$ от 1 до 5:
При $n=1$: $y_1 = 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0$
При $n=2$: $y_2 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$
При $n=3$: $y_3 = 3^3 - 1 = 27 - 1 = 26$
При $n=4$: $y_4 = 4^3 - 1 = 64 - 1 = 63$
При $n=5$: $y_5 = 5^3 - 1 = 125 - 1 = 124$
Ответ: $y_1 = 0, y_2 = 7, y_3 = 26, y_4 = 63, y_5 = 124$.

г) Для последовательности, заданной формулой $y_n = \frac{3n - 1}{2n}$, найдем первые пять членов, подставляя натуральные числа $n$ от 1 до 5:
При $n=1$: $y_1 = \frac{3 \cdot 1 - 1}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$
При $n=2$: $y_2 = \frac{3 \cdot 2 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4}$
При $n=3$: $y_3 = \frac{3 \cdot 3 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
При $n=4$: $y_4 = \frac{3 \cdot 4 - 1}{2 \cdot 4} = \frac{11}{8}$
При $n=5$: $y_5 = \frac{3 \cdot 5 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$
Ответ: $y_1 = 1, y_2 = \frac{5}{4}, y_3 = \frac{4}{3}, y_4 = \frac{11}{8}, y_5 = \frac{7}{5}$.

24.2 a) $y_n = (-1)^n;$

б) $y_n = \frac{(-2)^n}{n^2 + 1};$

В) $y_n = (-1)^n \frac{1}{10^n};$

Г) $y_n = \frac{(-1)^n + 2}{3n - 2}.$

Рассмотрим члены данной последовательности: $y_1 = -1$, $y_2 = 1$, $y_3 = -1$, $y_4 = 1$, и так далее. Последовательность принимает всего два значения: -1 и 1, которые постоянно чередуются.

Такая последовательность не может стремиться к одному определённому числу (пределу). Чтобы доказать это формально, можно рассмотреть две подпоследовательности:
1. Подпоследовательность с четными номерами: $y_{2k} = (-1)^{2k} = 1$. Предел этой подпоследовательности равен 1.
2. Подпоследовательность с нечетными номерами: $y_{2k-1} = (-1)^{2k-1} = -1$. Предел этой подпоследовательности равен -1.

Поскольку мы нашли две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам, исходная последовательность не имеет предела, то есть расходится.

Ответ: последовательность расходится.

Рассмотрим абсолютное значение члена последовательности: $|y_n| = \left| \frac{(-2)^n}{n^2 + 1} \right| = \frac{|(-2)^n|}{|n^2 + 1|} = \frac{2^n}{n^2 + 1}$.

Чтобы определить поведение последовательности, найдём предел её абсолютного значения при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} |y_n| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2 + 1}$.

Показательная функция $2^n$ в числителе растёт быстрее, чем степенная функция $n^2 + 1$ в знаменателе. Поэтому предел этого отношения равен бесконечности. Формально это можно показать, например, с помощью правила Лопиталя (для соответствующей функции действительного переменного $x$): $\lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{(2^x)'}{(x^2+1)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{2^x \ln 2}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(2^x \ln 2)'}{(2x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{2^x (\ln 2)^2}{2} = \infty$.

Так как $\lim_{n \to \infty} |y_n| = \infty$, это означает, что члены последовательности неограниченно возрастают по модулю. Следовательно, последовательность является неограниченной, а значит, она расходится.

Ответ: последовательность расходится.

Эту последовательность можно представить в виде $y_n = \frac{(-1)^n}{10^n} = \left(-\frac{1}{10}\right)^n$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $r = -1/10$.

Геометрическая прогрессия сходится, если её знаменатель $r$ удовлетворяет условию $|r| < 1$. В нашем случае $|-1/10| = 1/10 < 1$, следовательно, последовательность сходится. Предел такой последовательности равен нулю.

Также можно использовать теорему о сжатии (о двух милиционерах). Заметим, что для любого натурального $n$: $-1 \le (-1)^n \le 1$. Умножим все части неравенства на положительное число $\frac{1}{10^n}$: $-\frac{1}{10^n} \le \frac{(-1)^n}{10^n} \le \frac{1}{10^n}$.

Найдём пределы "ограничивающих" последовательностей: $\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{10^n}\right) = 0$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{10^n} = 0$. Поскольку обе последовательности, ограничивающие $y_n$ снизу и сверху, сходятся к нулю, то по теореме о сжатии и сама последовательность $y_n$ сходится к нулю.

Ответ: последовательность сходится, её предел равен 0.

Для анализа этой последовательности воспользуемся теоремой о сжатии (о двух милиционерах). Оценим числитель дроби. Множитель $(-1)^n$ принимает значения 1 (для четных $n$) и -1 (для нечетных $n$). Таким образом, числитель $(-1)^n + 2$ принимает значения:
- при четном $n$: $1 + 2 = 3$
- при нечетном $n$: $-1 + 2 = 1$
Следовательно, для любого натурального $n$ справедливо неравенство: $1 \le (-1)^n + 2 \le 3$.

Знаменатель $3n - 2$ положителен для всех натуральных $n \ge 1$. Поэтому мы можем разделить все части неравенства на $3n-2$, не меняя знаков неравенства: $\frac{1}{3n - 2} \le \frac{(-1)^n + 2}{3n - 2} \le \frac{3}{3n - 2}$.

Теперь найдём пределы последовательностей, ограничивающих $y_n$ слева и справа: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n - 2} = 0$, так как знаменатель стремится к бесконечности. $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{3n - 2} = 0$, так как знаменатель стремится к бесконечности.

Поскольку последовательность $y_n$ заключена между двумя последовательностями, которые обе сходятся к нулю, по теореме о сжатии, последовательность $y_n$ также сходится к нулю.

Ответ: последовательность сходится, её предел равен 0.

24.3 a) $y_n = 3 \cos \frac{2\pi}{n}$;

б) $y_n = \operatorname{tg} \left( (-1)^n \frac{\pi}{4} \right)$;

В) $y_n = 1 - \cos^2 \frac{\pi}{n}$;

Г) $y_n = \sin \pi n - \cos \pi n$.

а) Чтобы найти предел последовательности $y_n = 3 \cos \frac{2\pi}{n}$ при $n \to \infty$, рассмотрим поведение аргумента косинуса. При $n \to \infty$, дробь $\frac{2\pi}{n}$ стремится к нулю. Так как функция $f(x) = \cos x$ является непрерывной в точке $x=0$, мы можем внести знак предела под знак функции:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} 3 \cos \frac{2\pi}{n} = 3 \cdot \cos \left( \lim_{n \to \infty} \frac{2\pi}{n} \right)$

Поскольку $\lim_{n \to \infty} \frac{2\pi}{n} = 0$, а $\cos(0) = 1$, получаем:

$\lim_{n \to \infty} y_n = 3 \cdot \cos(0) = 3 \cdot 1 = 3$

Ответ: 3

б) Рассмотрим последовательность $y_n = \text{tg} \left( (-1)^n \frac{\pi}{4} \right)$. Значение выражения $(-1)^n$ зависит от четности $n$.

1. Если $n$ — четное число, то есть $n=2k$ для некоторого целого $k$, то $(-1)^n = (-1)^{2k} = 1$. Тогда член последовательности равен:

$y_{2k} = \text{tg} \left( 1 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \text{tg} \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$

Подпоследовательность, состоящая из членов с четными номерами, сходится к 1.

2. Если $n$ — нечетное число, то есть $n=2k+1$ для некоторого целого $k$, то $(-1)^n = (-1)^{2k+1} = -1$. Тогда член последовательности равен:

$y_{2k+1} = \text{tg} \left( -1 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \text{tg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$

Подпоследовательность, состоящая из членов с нечетными номерами, сходится к -1.

Поскольку существуют две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам (1 и -1), исходная последовательность $y_n$ не имеет предела, то есть расходится.

Ответ: предел не существует

в) Дана последовательность $y_n = 1 - \cos^2 \frac{\pi}{n}$. Для ее решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

Таким образом, $y_n = \sin^2 \frac{\pi}{n}$.

Найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \sin^2 \frac{\pi}{n}$

При $n \to \infty$ аргумент синуса $\frac{\pi}{n}$ стремится к 0. Функция $f(x) = \sin x$ непрерывна в точке $x=0$, поэтому:

$\lim_{n \to \infty} \sin \frac{\pi}{n} = \sin \left(\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n}\right) = \sin(0) = 0$

Так как функция $g(z) = z^2$ также непрерывна, предел квадрата равен квадрату предела:

$\lim_{n \to \infty} \sin^2 \frac{\pi}{n} = \left(\lim_{n \to \infty} \sin \frac{\pi}{n}\right)^2 = 0^2 = 0$

Ответ: 0

г) Рассмотрим последовательность $y_n = \sin(\pi n) - \cos(\pi n)$, где $n$ — натуральное число.

Для любого целого $n$, значение $\sin(\pi n)$ равно 0.

Значение $\cos(\pi n)$ зависит от четности $n$:

• Если $n$ — четное ($n=2k$), то $\cos(\pi n) = \cos(2\pi k) = 1$.

• Если $n$ — нечетное ($n=2k+1$), то $\cos(\pi n) = \cos((2k+1)\pi) = -1$.

Таким образом, $\cos(\pi n) = (-1)^n$.

Тогда последовательность $y_n$ можно записать как $y_n = 0 - (-1)^n = -(-1)^n$.

Рассмотрим подпоследовательности для четных и нечетных $n$:

1. Для четных $n$: $y_n = -(-1)^n = -(1) = -1$. Эта подпоследовательность сходится к -1.

2. Для нечетных $n$: $y_n = -(-1)^n = -(-1) = 1$. Эта подпоследовательность сходится к 1.

Так как у последовательности есть две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам, сама последовательность $y_n$ предела не имеет.

Ответ: предел не существует

24.4 Найдите сумму первых восьми членов возрастающей последовательности квадратов простых чисел.

Указание: число 1 не является ни простым, ни составным.

Составьте одну из возможных формул $n$-го члена последовательности по первым пяти её членам:

Найдите сумму первых восьми членов возрастающей последовательности квадратов простых чисел.

Для решения этой задачи сначала необходимо определить первые восемь простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. Согласно указанию, число 1 не является ни простым, ни составным.

Первые восемь простых чисел в порядке возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Далее, найдём квадраты этих чисел, чтобы получить первые восемь членов искомой последовательности $a_n$:
$a_1 = 2^2 = 4$
$a_2 = 3^2 = 9$
$a_3 = 5^2 = 25$
$a_4 = 7^2 = 49$
$a_5 = 11^2 = 121$
$a_6 = 13^2 = 169$
$a_7 = 17^2 = 289$
$a_8 = 19^2 = 361$

Теперь найдём сумму $S_8$ этих восьми членов:
$S_8 = 4 + 9 + 25 + 49 + 121 + 169 + 289 + 361$

Выполним сложение, сгруппировав слагаемые для удобства:
$S_8 = (4 + 9 + 25 + 49) + (121 + 169) + (289 + 361)$
$S_8 = 87 + 290 + 650$
$S_8 = 377 + 650$
$S_8 = 1027$

Ответ: 1027

Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти её членам:

Условие данной задачи является неполным. В тексте, представленном на изображении, после фразы "Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти её членам:" и двоеточия отсутствуют сами члены последовательности. Без этой информации составить формулу невозможно.

Ответ: Решение невозможно из-за неполного условия задачи.

1. Найдите $y_{\text{наим}}, y_{\text{наиб}}$ для функции $y = \cos x$.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$, необходимо рассмотреть ее область значений.

Область значений тригонометрической функции косинус – это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного значения аргумента $x$, значение функции $y = \cos x$ будет находиться в пределах от -1 до 1 включительно. Формально это записывается как $-1 \le \cos x \le 1$.

y_наим

Наименьшее значение функции ($y_{наим}$) соответствует нижней границе ее области значений. Для функции $y = \cos x$ нижняя граница равна -1.
Это значение достигается при значениях аргумента $x$, равных $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Например, при $k=0$, $x=\pi$ и $\cos(\pi) = -1$.
Следовательно, наименьшее значение функции $y = \cos x$ равно -1.

Ответ: $y_{наим} = -1$.

y_наиб

Наибольшее значение функции ($y_{наиб}$) соответствует верхней границе ее области значений. Для функции $y = \cos x$ верхняя граница равна 1.
Это значение достигается при значениях аргумента $x$, равных $x = 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Например, при $k=0$, $x=0$ и $\cos(0) = 1$.
Следовательно, наибольшее значение функции $y = \cos x$ равно 1.

Ответ: $y_{наиб} = 1$.

2. Найдите $E(f)$ для функции $y = \cos x$.

2.

Требуется найти область значений $E(f)$ для функции $y = \cos x$. Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$.

Функция $y = \cos x$ является одной из основных тригонометрических функций. Её значение, по определению, соответствует абсциссе (координате по оси x) точки на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $(1, 0)$ на угол $x$ радиан.

Поскольку радиус единичной окружности равен 1, абсциссы всех её точек лежат в пределах от $-1$ до $1$ включительно.

• Максимальное значение функции $y = \cos x$ равно $1$. Это значение достигается, когда угол $x$ равен $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Например, $\cos(0) = 1$, $\cos(2\pi) = 1$.
• Минимальное значение функции $y = \cos x$ равно $-1$. Это значение достигается, когда угол $x$ равен $\pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Например, $\cos(\pi) = -1$, $\cos(3\pi) = -1$.

Функция $y = \cos x$ является непрерывной на всей своей области определения (все действительные числа), поэтому она принимает все значения между своим минимумом и максимумом.

Таким образом, множество всех значений, которые может принимать функция $y = \cos x$, — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(f) = [-1, 1]$.

3. Объясните, почему для функции $y = \cos x$ на любом числовом промежутке длиной 10 справедливы соотношения $y_{\text{наим}} = -1, y_{\text{наиб}} = 1$.

Рассмотрим свойства функции $y = \cos x$.

1. Периодичность. Функция $y = \cos x$ является периодической. Её основной (наименьший положительный) период равен $T = 2\pi$. Это означает, что значения функции повторяются через каждый интервал длиной $2\pi$.

2. Область значений. Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что для любого действительного числа $x$ справедливо неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, глобальное наибольшее значение функции равно 1, а глобальное наименьшее — -1.

3. Точки экстремумов.

• Наибольшее значение $y=1$ функция достигает в точках $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
• Наименьшее значение $y=-1$ функция достигает в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь рассмотрим произвольный числовой промежуток длиной 10. Его можно представить в виде отрезка $[a, a+10]$ для некоторого действительного числа $a$.

Ключевым для решения является сравнение длины этого промежутка с периодом функции. Длина промежутка равна 10. Период функции $T = 2\pi$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем $T = 2\pi \approx 6.28318$.

Поскольку $10 > 2\pi$ (так как $10 > 6.28318$), длина заданного промежутка больше, чем длина одного полного периода функции $y = \cos x$.

На любом отрезке, длина которого равна периоду (например, на отрезке $[0, 2\pi]$), функция косинуса принимает все свои значения от -1 до 1. Так как наш промежуток длиной 10 длиннее, чем $2\pi$, он гарантированно содержит в себе хотя бы один полный цикл изменения функции. Это означает, что на любом таком промежутке функция $\cos x$ обязательно достигнет как своего наибольшего значения, равного 1, так и своего наименьшего значения, равного -1.

Формальное доказательство:

• Расстояние между двумя соседними точками, где $\cos x = 1$ (например, $2\pi k$ и $2\pi(k+1)$), равно $2\pi$. Так как длина промежутка $10 > 2\pi$, в него обязательно попадёт хотя бы одна такая точка.
• Аналогично, расстояние между двумя соседними точками, где $\cos x = -1$ (например, $\pi + 2\pi k$ и $\pi + 2\pi(k+1)$), также равно $2\pi$. Так как $10 > 2\pi$, в промежуток обязательно попадёт и хотя бы одна точка минимума.

Следовательно, на любом числовом промежутке длиной 10 наибольшее значение функции $y=\cos x$ будет равно 1, а наименьшее — -1.

Ответ: Период функции $y = \cos x$ равен $2\pi \approx 6.28$. Любой числовой промежуток длиной 10 длиннее, чем один полный период функции ($10 > 2\pi$). Следовательно, на любом таком промежутке функция $y = \cos x$ успевает принять все свои возможные значения из отрезка $[-1, 1]$, включая наибольшее значение $y_{наиб} = 1$ и наименьшее значение $y_{наим} = -1$.

4. Верно ли, что для функции $y = \cos x$ на любом числовом промежутке длиной 5 справедливы соотношения $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$? Если да, то объясните почему. Если нет, то приведите пример.

Утверждение неверно.

Функция $y=\cos x$ является периодической с периодом $T=2\pi$. Свои экстремальные значения, $y_{наиб}=1$ и $y_{наим}=-1$, она принимает в следующих точках:

• $y=1$ при $x=2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $0, 2\pi, 4\pi, \ldots$).
• $y=-1$ при $x=\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $\pi, 3\pi, 5\pi, \ldots$).

Расстояние между двумя соседними точками максимума (например, между $x=0$ и $x=2\pi$) равно $2\pi$. Аналогично, расстояние между двумя соседними точками минимума (например, между $x=\pi$ и $x=3\pi$) также равно $2\pi$.

Оценим значение $2\pi$: $2\pi \approx 2 \times 3.14159 = 6.28318$.

Поскольку длина промежутка, на котором ищутся экстремумы, равна 5, а расстояние между двумя последовательными максимумами (или минимумами) равно $2\pi \approx 6.28$, что больше 5, то можно подобрать такой промежуток длиной 5, который не будет содержать ни одной точки максимума или ни одной точки минимума.

Пример:

Рассмотрим числовой промежуток $[0.5, 5.5]$. Его длина равна $5.5 - 0.5 = 5$.

Проверим, достигаются ли на этом промежутке значения $1$ и $-1$.

• Наибольшее значение: Точки, в которых $\cos x = 1$, имеют вид $x=2\pi k$. При $k=0$, $x=0$, что не принадлежит промежутку $[0.5, 5.5]$. При $k=1$, $x=2\pi \approx 6.28$, что также не принадлежит этому промежутку. Другие значения $k$ дают точки, еще более удаленные от нашего промежутка. Следовательно, на промежутке $[0.5, 5.5]$ функция $y=\cos x$ не достигает значения $1$. Наибольшее значение на этом отрезке равно $\cos(0.5) < 1$.
• Наименьшее значение: Точки, в которых $\cos x = -1$, имеют вид $x=\pi + 2\pi k$. При $k=0$, получаем $x=\pi \approx 3.14$. Так как $0.5 < \pi < 5.5$, эта точка принадлежит нашему промежутку. Следовательно, $y_{наим}=-1$ на данном промежутке достигается.

Таким образом, мы нашли промежуток длиной 5, на котором $y_{наим}=-1$, но $y_{наиб} < 1$. Это опровергает исходное утверждение.

Ответ: Нет, неверно. Например, для промежутка $[0.5, 5.5]$ длиной 5 наименьшее значение функции $y=\cos x$ равно $-1$ (достигается в точке $x=\pi$), а наибольшее значение $\cos(0.5) < 1$, так как ни одна точка вида $x=2\pi k$ не попадает в этот промежуток.

5. Можно ли утверждать, что функция $y = \cos x$ ограничена снизу?
ограничена сверху?

Можно ли утверждать, что функция y = cos x ограничена снизу?

Да, такое утверждение верно. Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение функции никогда не будет меньше -1. Таким образом, выполняется неравенство $\cos x \ge -1$. В качестве числа $m$, ограничивающего функцию снизу, можно взять -1.

Ответ: Да, можно утверждать, так как для любого $x$ выполняется неравенство $\cos x \ge -1$.

ограничена сверху?

Да, функция $y = \cos x$ также ограничена сверху. Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$. Как уже было сказано, область значений функции $y = \cos x$ — это $[-1, 1]$. Следовательно, для любого действительного числа $x$ значение функции никогда не превысит 1. Таким образом, выполняется неравенство $\cos x \le 1$. В качестве числа $M$, ограничивающего функцию сверху, можно взять 1.

Ответ: Да, можно утверждать, так как для любого $x$ выполняется неравенство $\cos x \le 1$.

6. Объясните, почему уравнение $\lvert\cos x\rvert = 1$ имеет решения на любом числовом промежутке длиной 4.

6.

Для того чтобы объяснить, почему уравнение $|\cos x| = 1$ имеет решения на любом числовом промежутке длиной 4, проанализируем само уравнение и его решения.

Уравнение $|\cos x| = 1$ равносильно совокупности двух уравнений:

1. $\cos x = 1$
2. $\cos x = -1$

Решениями первого уравнения являются значения $x$, для которых $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

Решениями второго уравнения являются значения $x$, для которых $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединив эти два множества решений, мы получим все корни исходного уравнения. Их можно записать в виде одной формулы: $x = \pi m$, где $m$ — любое целое число ($m \in \mathbb{Z}$).

Эти решения образуют на числовой оси последовательность точек: $\dots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \dots$. Расстояние между любыми двумя соседними решениями в этой последовательности постоянно и равно $\pi \cdot (m+1) - \pi m = \pi$.

Теперь рассмотрим произвольный числовой промежуток длиной 4. Его можно представить в виде $[a, a+4]$ для любого действительного числа $a$.

Нам известно, что число $\pi$ иррационально и его значение приблизительно равно $3.14159...$. Важно, что $3 < \pi < 4$.

Поскольку расстояние между соседними корнями уравнения равно $\pi$, а длина рассматриваемого промежутка равна 4, и при этом $4 > \pi$, то невозможно "разместить" промежуток длиной 4 между двумя соседними корнями. Следовательно, любой такой промежуток обязательно будет содержать хотя бы один корень уравнения.

Формально: нам нужно доказать, что для любого $a \in \mathbb{R}$ существует такое целое $m$, что $a \le \pi m \le a+4$. Это неравенство равносильно $a/\pi \le m \le a/\pi + 4/\pi$. Длина промежутка $[a/\pi, a/\pi + 4/\pi]$ равна $4/\pi$. Так как $\pi < 4$, то $4/\pi > 1$. Любой промежуток на числовой оси, длина которого больше 1, гарантированно содержит хотя бы одно целое число. Таким образом, всегда найдется целое число $m$, удовлетворяющее этому неравенству, а значит, всегда найдется решение $x = \pi m$ в промежутке $[a, a+4]$.

Ответ: Решениями уравнения $|\cos x| = 1$ являются числа вида $x = \pi m$ для всех целых $m$. Расстояние между двумя последовательными решениями равно $\pi \approx 3.14$. Поскольку длина любого рассматриваемого числового промежутка равна 4, что больше, чем расстояние между соседними решениями ($4 > \pi$), такой промежуток обязательно содержит по крайней мере одно решение.

7. Каков характер монотонности функции $y = \cos x$ на отрезках $[0; 1]$, $[2; 3]$, $[5; 6]$?

Для определения характера монотонности функции $y = \cos x$ на заданных отрезках необходимо исследовать знак ее производной. Производная данной функции: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Характер монотонности функции зависит от знака производной: если $y'(x) > 0$ на некотором интервале, то функция на этом интервале возрастает; если $y'(x) < 0$, то функция убывает.

Знак производной $y' = -\sin x$ противоположен знаку функции $\sin x$. Известно, что $\sin x > 0$ при $x \in (0; \pi)$ и $\sin x < 0$ при $x \in (\pi; 2\pi)$. Для анализа будем использовать приближенные значения: $\pi \approx 3,14$ и $2\pi \approx 6,28$.

[0; 1]

Рассмотрим отрезок $[0; 1]$. Так как $0 < 1 < \pi \approx 3,14$, то весь отрезок $[0; 1]$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$. На этом интервале $\sin x > 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x$ будет отрицательной для всех $x \in (0; 1)$. Таким образом, функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0; 1]$.

Ответ: на отрезке $[0; 1]$ функция убывает.

[2; 3]

Рассмотрим отрезок $[2; 3]$. Так как $0 < 2 < 3 < \pi \approx 3,14$, то весь отрезок $[2; 3]$ также принадлежит интервалу $(0; \pi)$. На этом интервале $\sin x > 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x$ отрицательна на интервале $(2; 3)$. Это означает, что функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[2; 3]$.

Ответ: на отрезке $[2; 3]$ функция убывает.

[5; 6]

Рассмотрим отрезок $[5; 6]$. Так как $\pi \approx 3,14 < 5 < 6 < 2\pi \approx 6,28$, то весь отрезок $[5; 6]$ принадлежит интервалу $(\pi; 2\pi)$. На этом интервале $\sin x < 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x = -(\text{отрицательное число})$ будет положительной на интервале $(5; 6)$. Это означает, что функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[5; 6]$.

Ответ: на отрезке $[5; 6]$ функция возрастает.

8. Можно ли утверждать, что функция $y = \cos x$ монотонна на отрезке $[-1; 1]$?

Для того чтобы определить, является ли функция $y = \cos x$ монотонной на отрезке $[-1; 1]$, необходимо исследовать ее поведение на этом отрезке. Функция называется монотонной на некотором промежутке, если на всем этом промежутке она только возрастает или только убывает (включая случаи нестрогого возрастания/убывания).

Для анализа монотонности функции найдем ее производную:

$y' = (\cos x)' = -\sin x$

Знак производной указывает на характер монотонности функции: если $y' > 0$, функция возрастает, а если $y' < 0$, функция убывает. Рассмотрим знак производной $y' = -\sin x$ на отрезке $[-1; 1]$ (здесь и далее углы измеряются в радианах).

1. На интервале $[-1; 0)$:
Для $x \in [-1; 0)$, значение $\sin x$ отрицательно ($\sin x < 0$).
Следовательно, производная $y' = -\sin x$ положительна ($y' > 0$).
Это означает, что на отрезке $[-1; 0]$ функция $y = \cos x$ возрастает.

2. В точке $x = 0$:
Производная $y' = -\sin(0) = 0$. Эта точка является точкой экстремума (максимума).

3. На интервале $(0; 1]$:
Для $x \in (0; 1]$ (поскольку $1 < \pi \approx 3.14159$), значение $\sin x$ положительно ($\sin x > 0$).
Следовательно, производная $y' = -\sin x$ отрицательна ($y' < 0$).
Это означает, что на отрезке $[0; 1]$ функция $y = \cos x$ убывает.

Таким образом, на отрезке $[-1; 1]$ функция $y = \cos x$ сначала возрастает (на промежутке $[-1; 0]$), а затем убывает (на промежутке $[0; 1]$). Поскольку функция не является ни только возрастающей, ни только убывающей на всем отрезке $[-1; 1]$, она не является монотонной на этом отрезке.

Это можно также увидеть, сравнив значения функции в трех точках: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
$y(-1) = \cos(-1) = \cos(1) \approx 0.54$
$y(0) = \cos(0) = 1$
$y(1) = \cos(1) \approx 0.54$
Так как $y(-1) < y(0)$ и $y(0) > y(1)$, условие монотонности не выполняется.

Ответ: нет, утверждать, что функция $y = \cos x$ монотонна на отрезке $[-1; 1]$, нельзя.